▷ مشتق المجموع (الصيغة والتمارين المحلولة)

نوضح هنا كيفية استخلاص مجموع الدوال (الصيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية أمثلة على مشتقات المجموع، كما ستتمكن من التدرب على حل التمارين على مشتقة المجموع. وأخيرًا، ستجد توضيحًا لصيغة مشتقة المجموع.

صيغة مشتقة المبلغ

مشتق مجموع دالتين يساوي مجموع مشتقات كل دالة على حدة.

$z(x)=f(x)+g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)+g'(x)$

بمعنى آخر، اشتقاق دالتين منفصلتين ثم إضافتهما يعادل إضافة الدالتين أولاً ثم أخذ المشتقة.

لاحظ أن قاعدة مشتقة الجمع تنطبق أيضًا على الطرح، لذلك إذا كانت الدالة تحتوي على علامة سالبة أمامها بدلاً من علامة موجبة، فيجب علينا أيضًا استخدام نفس الصيغة للتمييز بينها.

$z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)$

بالإضافة إلى ذلك، الجمع عبارة عن عملية لها خاصية الدمج، مما يعني أن عدد الإضافات المتضمنة في عملية الجمع غير مهم، حيث أن مشتقة الدالة بأكملها ستظل إضافة مشتقة كل دالة.

$\begin{array}{c}z(x)=f(x)\pm g(x) \pm h(x)\pm \dots\\[1.5ex]\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex]z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\pm h'(x)\pm \dots\end{array}$

أمثلة على مشتقات المبلغ

بمجرد أن نرى ما هي صيغة مشتقة المجموع، سنرى عدة أمثلة لمشتقات هذا النوع من العمليات لفهم كيفية اشتقاق مجموع الدوال بشكل كامل.

مثال 1: مشتق من مجموع الدوال المحتملة

$f(x)=3x^2+5x$

مشتقة مجموع دالتين تساوي مشتقة كل دالة على حدة. لذلك، نقوم أولاً بحساب مشتقة كل دالة على حدة:

$\cfrac{d}{dx} \ 3x^2=6x$

$\cfrac{d}{dx}\ 5x=5$

وبالتالي فإن مشتقة الدالة بأكملها ستكون مجموع المشتقتين المحسوبتين:

$f'(x)=6x+5$

مثال 2: مشتقة مجموع الدوال المختلفة

$f(x)=\text{sen}(x)+\ln(x)$

للتمييز بين مجموع الدوال، يجب عليك التمييز بين الدالتين بشكل منفصل ثم إضافتهما. لذلك نستنتج الوظائف:

$\cfrac{d}{dx} \ \text{sen}(x)=\text{cos}(x)$

$\cfrac{d}{dx}\ \ln (x)=\cfrac{1}{x}$

ثم نضيف المشتقتين الموجودتين:

$f'(x)=\text{cos}(x)+\cfrac{1}{x}$

مثال 3: مشتقة مجموع مربع

$f(x)=\left(3x^4+7x^2+1\right)^2$

في هذه الحالة لدينا دالة مركبة، حيث أن لدينا مجموع الدوال مرفوعًا إلى قوة. لذلك، نحن بحاجة إلى تطبيق قاعدة السلسلة لاشتقاق الدالة بأكملها:

$f(x)=2\left(3x^4+7x^2+1\right)\cdot (12x^3+14x)$

➤ انظر: اشتق قوة

تمارين محلولة على مشتقات مجموع الدوال

استنتج مجموع الدوال التالية

$\text{A) } f(x)=6x^3+9x^2$

$\text{B) } f(x)=x^4+10x^3+5x$

$\text{C) } f(x)=3x^2-4x+7$

$\text{D) } f(x)=\text{cos}(x)+e^{3x}$

$\text{E) } f(x)=\left(x^3+4x^2+6x\right)^3$

$\text{F) } f(x)=\log_3(8x^2+2x)-x^7+e^{x^2}$

انظر الحل

$\text{A) } f'(x)=18x^2+18x$

$\text{B) } f'(x)=4x^3+30x^2+5$

$\text{C) } f'(x)=6x-4$

$\text{D) } f'(x)=-\text{sen}(x)+3e^{3x}$

$\text{E) } f'(x)=3\left(x^3+4x^2+6x\right)^2\cdot (3x^2+8x+6)$

$\text{F) } f'(x)=\cfrac{16x+2}{(8x^2+2x)\ln(3)}-7x^6+2x\cdot e^{x^2}$

توضيح صيغة مشتق المبلغ

في هذا القسم الأخير، سنوضح صيغة مشتقة مجموع الدوال. وللقيام بذلك نلجأ إلى التعريف الرياضي للمشتقة، وهو كما يلي:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ثم دع z يكون مجموع وظيفتين مختلفتين:

$z(x)=f(x)+g(x)$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{z(x+h)-z(x)}{h}$

نستبدل الآن z بمجموع الدوال في التعبير الحدي:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\bigl[f(x+h)+g(x+h)\bigr]-\bigl[f(x)+g(x)\bigr]}{h}$

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}$

نقوم بتحويل الكسر إلى مجموع كسرين، كل منهما يتوافق مع كل دالة جمع:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right]$

بفضل خصائص النهايات، يمكننا فصل التعبير السابق إلى حدين، حيث أن نهاية المجموع تعادل مجموع النهايات:

$\displaystyle z'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim_{h \to 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}$

وكما رأينا أعلاه في تعريف المشتقة، فإن كل نهاية تقابل مشتقة الدالة. وبالتالي يتم تحقيق المساواة التالية:

$\displaystyle z'(x)=f'(x)+g'(x)$

مشتقة من المبلغ