كيفية حساب محدد مصفوفة 4×4 بالمكملات أو العوامل المساعدة

في هذه الصفحة، سنرى كيفية حل المحدد عن طريق الإضافات أو العوامل المساعدة وأيضًا كيفية حساب محدد مصفوفة البعد 4×4 . ومع ذلك، لحل محدد مصفوفة من الرتبة 4، يجب عليك أولاً معرفة كيفية حساب المحدد باستخدام مجاورات صف أو عمود. لذلك، سنرى أولاً كيفية العثور على المحدد بواسطة العوامل المجاورة أو العوامل المرافقة، ثم كيفية إنشاء محدد من الرتبة 4 .

كيفية حساب المحدد عن طريق الإضافات أو العوامل المساعدة؟

يمكن حساب المحدد عن طريق إضافة منتجات العناصر في أي صف أو عمود من خلال مكملاتها (أو العوامل المساعدة) .

تسمى هذه الطريقة بحل المحدد بواسطة العوامل المجاورة أو العوامل المساعدة، أو حتى أن هناك علماء رياضيات يخبرونك أيضًا بقاعدة لابلاس (أو نظرية لابلاس).

مثال على حل المحدد بالنواب:

دعونا نرى مثالًا عمليًا لحل محدد مصفوفة 3 × 3 بالمجاورات. لنجعل المحدد التالي:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix}$

أولًا، علينا اختيار عمود أو صف من المحدد. في هذه الحالة، نختار العمود الأول ، لأنه يحتوي على 0 وبالتالي سيكون حله أسهل.

يجب علينا الآن أن نضرب عناصر العمود الأول في نوابهم :

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} \displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

لا يلزم حساب مكمل 0، لأن ضربه في 0 سيؤدي إلى إلغائه. لذلك يمكننا تبسيط:

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

$\displaystyle = 2\bm{\cdot} \text{Adj(2)} + 3 \bm{\cdot} \text{Adj(3)}$

ننتقل الآن إلى حساب المكملات :

$\displaystyle = 2\cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} -2 & 5 \\[1.1ex] 7 & -4 \end{vmatrix} + 3 \cdot (-1)^{3+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] -2 & 5 \end{vmatrix}$

تذكر أن لحساب نائب

$a_{ij}$

، أي البند

$i$

والعمود

$j$

، يجب تطبيق الصيغة التالية:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

حيث القاصر المكمل ل

$a_{ij}$

هو محدد المصفوفة عن طريق إزالة الصف

$i$

والعمود

$j$

نحل القوى والمحددات:

$= 2 \cdot 1 \cdot (8-35) + 3 \cdot 1 \cdot \bigl(15-(-2)\bigr)$

$= 2 \cdot 1 \cdot (-27) + 3 \cdot 1 \cdot 17$

ونعمل بالآلة الحاسبة:

$= -54 + 51$

$= \bm{-3}$

وبالتالي فإن نتيجة المحدد هي -3.

لاحظ أنه إذا قمنا بحساب المحدد بقاعدة ساروس، فسنحصل على نفس النتيجة:

$\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & 5 \\[1.1ex] 3 & 7 & -4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot (-2) \cdot (-4) + 3 \cdot 5 \cdot 3 + 0 \cdot 7 \cdot 1 - 3 \cdot (-2) \cdot 1 - 7 \cdot 5 \cdot 2- 0 \cdot 3 \cdot (-4) \\ & = 16 +45 + 0 +6 - 70 -0 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}$

بمجرد أن عرفنا كيفية حساب المحدد بواسطة النواب، يمكننا الآن معرفة كيفية إيجاد نتيجة محدد الترتيب 4:

كيفية حساب محدد 4 × 4؟

لحل محدد مصفوفة من الرتبة 4 ، يجب علينا تطبيق الإجراء الذي رأيناه للتو للنواب. أي أننا نختار أي صف أو عمود، ونجمع حاصل ضرب عناصره حسب مكملاتها.

ومع ذلك، باستخدام هذا الإجراء مع محدد 4 × 4، يجب حساب العديد من المحددات 3 × 3، وهذه تميل إلى أن تستغرق وقتًا طويلاً. لذلك، قبل حساب المجاورات ، يتم إجراء التحويلات على الخطوط ، على غرار الطريقة الغوسية. حيث يمكن استبدال صف من المحدد بمجموع نفس الصف بالإضافة إلى صف آخر مضروبًا في رقم.

لذلك، لحساب محدد الترتيب 4 من قبل النواب، يجب اختيار العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار ، لأن ذلك سيسهل الحسابات. ومن ثم نقوم بإجراء العمليات الداخلية على الصفوف، بحيث تكون جميع العناصر الموجودة في العمود فارغة باستثناء عنصر واحد.

دعونا نرى كيف يتم إنشاء محدد 4×4 بمثال:

مثال لحل المحدد 4×4:

سنحل هذا المحدد للمصفوفة المربعة 4×4 التالية:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

في هذه الحالة، العمود الذي يحتوي على أكبر عدد من الأصفار هو العمود الأول. ولذلك، نختار العمود الأول.

وبالاستفادة من حقيقة وجود 1 في هذا العمود، سنقوم بتحويل جميع العناصر الأخرى في العمود الأول إلى 0. نظرًا لأنه من الأسهل إجراء العمليات الحسابية مع الصف الذي يحتوي على 1.

لذلك، لتحويل جميع العناصر الأخرى في العمود إلى 0، نضيف الصف الأول إلى الصف الثاني ، ونطرح الصف الأول مضروبًا في 2 من الصف الرابع . لا يحتاج الصف الثالث إلى التغيير، لأنه يحتوي بالفعل على 0 في العمود الأول.

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -1 & 3 & 2 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 2 & 1 & -3 & 2 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 + f_1} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 2f_1} \end{matrix} \begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

بمجرد تحويل جميع العناصر باستثناء عنصر واحد في العمود المختار إلى 0، نقوم بحساب المحدد بواسطة النواب. وهذا يعني أننا نضيف منتجات عناصر العمود بواسطة نوابهم:

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 0 & 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] 0 & -7 & -7 & 0 \end{vmatrix} \displaystyle = 1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

الحدود مضروبة في 0 تلغي، لذلك نقوم بتبسيطها:

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$=1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}$

$=\text{Adj(1)}$

لذلك يكفي حساب المجاورة لـ 1:

$\displaystyle = (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 3 & 5 & 3 \\[1.1ex] 5 & 7 & -4 \\[1.1ex] -7 & -7 & 0 \end{vmatrix}$

نحسب المحدد بقاعدة ساروس والقوة:

$\inlinestyle = 1 \cdot \bigl[ 3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0 \bigr]$

$=3 \cdot 7 \cdot 0 + 5 \cdot (-4) \cdot (-7) + 5 \cdot (-7) \cdot 3 - (-7)\cdot 7 \cdot 3 - (-7) \cdot (-4) \cdot 3 - 5 \cdot 5 \cdot 0$

وأخيرًا نحل العمليات باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle =0+140-105 +147 - 84 - 0$

$\displaystyle =\bm{98}$

تمارين محلولة لمحددات 4×4

التمرين 1

حل محدد الترتيب 4 التالي:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

انظر الحل

سنجد نتيجة المحدد 4×4 باستخدام طريقة العامل المساعد. لكن أولاً نقوم بإجراء عمليات على الصفوف لتعيين جميع عناصر العمود إلى الصفر باستثناء عنصر واحد:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_3 + f_2} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$

والآن نحل المحدد 4×4 بالمجاورات مع العمود الأخير:

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 & 0 \\[1.1ex] 0 & 1 & 1 & 1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 & 0 \\[1.1ex] 4 & 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

نحن نبسط الشروط:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

نحسب المجاورة لـ 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+4} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 2 \\[1.1ex]4 & 1 & 2 \end{vmatrix}$

وأخيرًا، نحسب المحدد 3×3 باستخدام قاعدة ساروس:

$\displaystyle = (-1)^{6} \cdot \bigl[16+24-2+16-4-12 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[38 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{38}$

تمرين 2

احسب المحدد التالي للترتيب 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

انظر الحل

سنقوم بحساب المحدد 4×4 بواسطة العوامل المساعدة. لكن للقيام بذلك، نقوم أولاً بإجراء عمليات على الصفوف لتعيين جميع عناصر العمود إلى الصفر باستثناء عنصر واحد:

$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -2 & 2 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 5 & -1 & 3 & 1 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 - 3f_3} \\[1.1ex] \\[1.1ex] \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + f_3} \end{matrix} \begin{vmatrix}-2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4 \end{vmatrix}$

الآن نحل المحدد 4×4 بالمجاورات مع العمود الثاني:

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 0 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 6 & 0 & 5 & 4\end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

نحن نبسط الشروط:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

نحسب المجاورة لـ 1:

$\displaystyle = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix}-2 & -8 & -7 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & 4\end{vmatrix}$

وأخيرًا، نحسب المحدد 3×3 باستخدام قاعدة ساروس والآلة الحاسبة:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[-8-192-70+42+40+64 \bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-124 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{124}$

التمرين 3

أوجد نتيجة المحدد التالي للترتيب 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

انظر الحل

سنقوم بحل محدد 4×4 بواسطة النواب. على الرغم من أننا نقوم أولاً بإجراء عمليات على الصفوف لتحويل جميع العناصر الموجودة في العمود باستثناء عنصر واحد إلى صفر:

$\begin{vmatrix}2 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 & 5 \end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + f_2} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 + 4f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix}$

الآن نحل المحدد 4×4 بالنواب مع العمود الثالث:

$\begin{vmatrix}6 & 1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 & 1 & -2 \\[1.1ex] -5 & -1 & 0 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & 0 & -3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}+ 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

نحن نبسط الشروط:

$= \cancel{0\bm{\cdot}+ \text{Adj(0)}} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)}+\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

نحسب المجاورة لـ 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix}6 & 1 & 1 \\[1.1ex] -5 & -1 & 1 \\[1.1ex] 19 & 10 & -3\end{vmatrix}$

وأخيرًا، قمنا بحل المحدد 3×3 باستخدام قاعدة ساروس والآلة الحاسبة:

$\displaystyle = (-1)^{5} \cdot \bigl[18+19-50+19-60-15\bigr]$

$\displaystyle = -1 \cdot \bigl[-69 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{69}$

التمرين 4

احسب نتيجة المحدد التالي للترتيب 4:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{pmatrix}$

انظر الحل

سوف نقوم بحل المحدد 4×4 باستخدام قاعدة لابلاس. ولكن يجب عليك أولاً إجراء عمليات على الصفوف لتعيين جميع العناصر الموجودة في العمود إلى صفر باستثناء عنصر واحد:

$\begin{vmatrix}3 & 4 & -2 & -1 \\[1.1ex] 2 & -2 & 5 & -5 \\[1.1ex] -3 & 5 & 2 & 6 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix} \begin{matrix} \xrightarrow{f_1 + 3f_4} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_2 +2f_4} \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 - 3f_4} \\[1.1ex] \ \end{matrix} \begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3\end{vmatrix}$

الآن نحل بواسطة نواب المحدد 4×4 مع العمود الأول:

$\begin{vmatrix}0 & -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]0 & -6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & 11 & 5 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 & -1 & 3 \end{vmatrix} = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

نحن نبسط الشروط:

$= \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}-1\bm{\cdot} \text{Adj(-1)}$

$=- \text{Adj(-1)}$

نحسب المجاورة لـ -1:

$\displaystyle =- (-1)^{4+1} \begin{vmatrix} -2 & -5 & 8 \\[1.1ex]-6 & 3 & 1 \\[1.1ex] 11 & 5 & -3 \end{vmatrix}$

وأخيرًا، قمنا بحل المحدد 3×3 باستخدام قاعدة ساروس والآلة الحاسبة:

$\displaystyle = -(-1)^{5} \cdot \bigl[18-55-240-264+10+90\bigr]$

$\displaystyle = -(-1) \cdot \bigl[-441 \bigr]$

$\displaystyle = - \bigl[+441 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{-441}$

مع كل هذه الممارسة، ربما تكون تعرف بالفعل كيفية حل محددات سيارات الدفع الرباعي. رائع! نأمل أن تتمكن الآن من خلال كل هذه التمارين من حساب مدى مصفوفة ذات أبعاد 4×4 والتي تكلف الكثير من الأشخاص.

كيفية حساب محدد مصفوفة 4×4 عن طريق المكملات أو العوامل المساعدة

كيفية حساب المحدد عن طريق الإضافات أو العوامل المساعدة؟

مثال على حل المحدد بالنواب:

كيفية حساب محدد 4 × 4؟

مثال لحل المحدد 4×4:

تمارين محلولة لمحددات 4×4

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

اترك تعليقاً إلغاء الرد