المصفوفة التكميلية الصغرى والمساعده والمساعده

في هذا القسم سنرى ما هي وكيفية حساب المصفوفة التكميلية والمجاورة والمصفوفة المجاورة . بالإضافة إلى ذلك، ستجد أمثلة، حتى تفهم تمامًا، وتمارين تم حلها خطوة بخطوة، حتى تتمكن من التدرب.

ما هو القاصر التكميلي؟

ويسمى المكمل الصغير للعنصر.

$a_{ij}$

إلى المحدد الذي تم الحصول عليه عن طريق حذف السطر

$i$

والعمود

$j$

من المصفوفة.

كيفية حساب القاصر التكميلي للعنصر؟

دعونا نرى كيف يتم حساب القاصر التكميلي للعنصر باستخدام بعض الأمثلة:

مثال 1:

احسب المكملة الصغرى لواحدة من المصفوفات المربعة 3 × 3 التالية:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

القاصر التكميلي للـ 1 هو محدد المصفوفة التي تبقى عند حذف الصف والعمود حيث يقع 1. أي إزالة الصف الأول والعمود الثاني:

$\left( \begin{tabular}{ccc} \cellcolor[HTML]{F5B7B1}6 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & 0 \\ & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} & \\[-2ex] 5 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}8 & 4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 1} = \begin{vmatrix} 3 & 0 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{vmatrix} = \bm{12}$

مثال 2:

هذه المرة سوف نقوم بحساب القاصر التكميلي 0 لنفس المصفوفة كما كان من قبل:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 6 & 1 & 7 \\[1.1ex] 3 & 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & 8 & 4 \end{array} \right)$

القاصر التكميلي للصفر هو محدد المصفوفة عن طريق إزالة الصف والعمود حيث يكون الصفر:

$\left( \begin{tabular}{ccc} 6 & 1 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}7 \\ & & \cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{F5B7B1} 3 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}2 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}0 \\ & &\cellcolor[HTML]{F5B7B1} \\[-2ex] 5 & 8 & \cellcolor[HTML]{F5B7B1}4 \end{tabular} \right)$

$\text{Menor complementario de 0} = \begin{vmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 5 & 8 \end{vmatrix} = \bm{43}$

تمارين محلولة للقاصرين التكميلية

التمرين 1

احسب أصغر مكمل لثلاثة من المصفوفة 3×3 التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 5 & 1 & 2 \\[1.1ex] 3 & 4 & 7 \\[1.1ex] -1 & 6 & 7 \end{pmatrix}$

انظر الحل

القاصر التكميلي لـ 3 هو محدد المصفوفة التي تبقى بعد إزالة الصف والعمود حيث يكون 3:

$\text{Menor complementario de 3} = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\[1.1ex] 6 & 7 \end{vmatrix} = \bm{-5}$

تمرين 2

أوجد القاصر التكميلي لـ 5 من المصفوفة التالية من الرتبة 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2 & 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 5 & 8 & 1 \end{pmatrix}$

انظر الحل

القاصر التكميلي للرقم 5 هو محدد المصفوفة التي نحصل عليها عن طريق حذف الصف والعمود حيث يكون الرقم 5:

$\text{Menor complementario de 5} = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} = \bm{22}$

التمرين 3

احسب المكمل الصغير لـ 6 من المصفوفة 4×4 التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 2 & 6 & -1 & 8 \\[1.1ex] 3 & 9 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix}$

انظر الحل

القاصر التكميلي للرقم 6 هو محدد المصفوفة التي تبقى بعد إزالة الصف والعمود حيث يكون الرقم 6:

$\text{Menor complementario de 6} = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5& 1 & 3 \end{vmatrix}$

نحل المحدد باستخدام قاعدة ساروس:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 4 \\[1.1ex] 5 & 1 & 3 \end{vmatrix}=-3+60+12+20-4-27 = \bm{58}$

ما هو الملحق لعنصر المصفوفة؟

النائب

$a_{ij}$

، أي البند

$i$

والعمود

$j$

، يتم الحصول عليها بالصيغة التالية:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

كيفية الحصول على المجاورة لعنصر المصفوفة؟

دعونا نرى كيف يتم حساب مجاورة العنصر من خلال عدة أمثلة:

مثال 1:

احسب المجاورة لـ 4 من المصفوفة التالية من الرتبة 3:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

الرقم 4 موجود في الصف 2 والعمود 1 ، لذلك في هذه الحالة

$i = 2$

$j = 1 :$

$\text{Adjunto de } 4 = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 4$

وكما رأينا سابقًا، فإن المكمل الأصغر للعدد 4 هو محدد المصفوفة، مما يؤدي إلى حذف الصف والعمود الذي يوجد به الرقم 4. لذلك:

$\text{Adjunto de} 4 = \displaystyle(-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 8 & 9 \end{vmatrix}$

الآن نحل المحدد ونجد المجاور للعدد 4:

$\text{Adjunto de } 4 = (-1)^{3} \bm{\cdot} (-5) = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

تذكر أن العدد السالب المرفوع إلى أس زوجي يكون موجبًا. لذلك، إذا تم رفع -1 إلى رقم زوجي، فإنه يصبح موجبًا.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^2=\bm{+1}$

ومن ناحية أخرى، إذا تم رفع عدد سالب إلى أس فردي، فإنه يكون سالبًا. لذلك، إذا تم رفع -1 إلى رقم فردي، فسيكون دائمًا سالبًا.

$\bm{\longrightarrow}(-1)^3=\bm{-1}$

مثال 2:

سنجد نائب 5 لنفس المصفوفة السابقة:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 5 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 5$

$\text{Adjunto de} 5 = \displaystyle(-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 7 & 9 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-12) = \bm{-12}$

مثال 3:

لنجعل نائب 3 من نفس المصفوفة:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 5 & 6 \\[1.1ex] 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de } 3 = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } 3$

$\text{Adjunto de} 3 \displaystyle = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 5 \\[1.1ex] 7 & 8 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

يتم استخدام المادة المجاورة للعنصر لحساب المحددات كما سنرى لاحقاً، ولحساب المصفوفة المجاورة وهو ما سنراه الآن.

تمارين محلولة للمساعدين

التمرين 1

احسب المجاورة لـ 2 من المصفوفة 3×3 التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\[1.1ex] -1 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}$

انظر الحل

للحصول على نتيجة مجاورة 2، ما عليك سوى تطبيق صيغة مجاورة العنصر:

$\text{Adjunto de 2} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 2}$

$\text{Adjunto de 2} \displaystyle = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 & 5 \\[1.1ex] 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-18) = \bm{-18}$

تمرين 2

أوجد المصفوفة المجاورة لـ 4 من المصفوفات التالية من الرتبة 3:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 9 & 4 \\[1.1ex] 6 & 5 & -3 \end{pmatrix}$

انظر الحل

للحصول على نائب 4، يجب علينا استخدام صيغة نائب العنصر:

$\text{Adjunto de 4} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 4}$

$\text{Adjunto de 4} \displaystyle = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 6 & 5 \end{vmatrix} = -1 \cdot 9 = \bm{-9}$

التمرين 3

أوجد نائب 7 للمصفوفة 4×4 التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & 1 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & -1 & 4 & 0 \\[1.1ex] 2 & 7 & 9 & -4 \end{pmatrix}$

انظر الحل

لإنشاء ملحق للرقم 7، نطبق صيغة ملحق العنصر:

$\text{Adjunto de 7}=(-1)^{4+2} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de 7}$

$\text{Adjunto de 7} \displaystyle = (-1)^{4+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 5 & -2 \\[1.1ex] 3 & -3 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0\end{vmatrix}$

نطبق قاعدة ساروس لحل محدد الدرجة الثالثة:

$\displaystyle = (-1)^{6} \bm{\cdot} \bigl[0+30-24-12-12-0\bigr]$

$\displaystyle = 1 \bm{\cdot} \bigl[-18 \bigr] = \bm{-18}$

ما هي المصفوفة المرفقة؟

المصفوفة المرفقة هي مصفوفة تم فيها استبدال جميع عناصرها بنوابها.

كيفية حساب المصفوفة المجاورة؟

لحساب نواب المصفوفة ، نحتاج إلى استبدال جميع عناصر المصفوفة بنوابهم.

دعونا نرى كيف يتم إنشاء المصفوفة المرتبطة من خلال مثال:

مثال:

احسب المصفوفة المجاورة للمصفوفة المربعة التالية ذات البعد 2×2:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\[1.1ex] 3 & 2 \end{pmatrix}$

لحساب المصفوفة المجاورة، يجب علينا حساب المجاورة لكل عنصر من عناصر المصفوفة . لذلك، سوف نقوم أولاً بحل المجاورات لجميع العناصر باستخدام الصيغة:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

$\text{Adjunto de } 4 =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de } 3 =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1) = \bm{1}$

$\text{Adjunto de } 2 =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

الآن علينا فقط استبدال كل عنصر في المصفوفة

$A$

من قبل نائبه للعثور على نائب مصفوفة

$\bm{A} :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{2} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{1} & \bm{4} \end{pmatrix}$

وبهذه الطريقة يتم العثور على نائب المصفوفة. لكن ربما تتساءل لماذا كل هذه الحسابات؟ حسنًا، إحدى أدوات ربط المصفوفة هي حساب معكوس المصفوفة . في الواقع، الطريقة الأكثر شيوعًا للعثور على المصفوفة العكسية هي طريقة المصفوفة المجاورة.

حل مشاكل المصفوفة المجاورة

التمرين 1

احسب المصفوفة المجاورة للمصفوفة المربعة 2×2 التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] -4 & 1 \end{pmatrix}$

انظر الحل

لحساب المصفوفة المجاورة، يجب علينا حساب المجاورة لكل عنصر من عناصر المصفوفة. لذلك، سوف نقوم أولاً بحل المجاورات لجميع العناصر باستخدام الصيغة:

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -4 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -4} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 = \bm{2}$

الآن علينا فقط استبدال كل عنصر في المصفوفة

$A$

من قبل نائبه للعثور على نائب مصفوفة

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{1} & \bm{4} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{2} \end{pmatrix}$

تمرين 2

أوجد المصفوفة المجاورة للمصفوفة الثانية التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & -2 \\[1.1ex] 3 & -7 \end{pmatrix}$

انظر الحل

$\text{Adjunto de 6} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -7 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 6 \end{vmatrix} = 1 \cdot 6 = \bm{6}$

الآن علينا فقط استبدال كل عنصر في المصفوفة

$A$

من قبل نائبه للعثور على نائب مصفوفة

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{2} & \bm{6} \end{pmatrix}$

التمرين 3

احسب المصفوفة المجاورة للمصفوفة 3×3 التالية:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 & 0 \\[1.1ex] 5 & 0 & -2 \end{pmatrix}$

انظر الحل

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & 0 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot (-8) = \bm{-8}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 0 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -1} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2 & 4 \\[1.1ex] 5 & 0\end{vmatrix} = 1 \cdot (-20) = \bm{-20}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & -2\end{vmatrix} = -1 \cdot (-6) = \bm{6}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 5 & -2\end{vmatrix} = 1 \cdot 3 = \bm{3}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 5 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-15) = \bm{15}$

$\text{Adjunto de 5} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 4 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 0} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

الآن علينا فقط استبدال كل عنصر في المصفوفة

$A$

من قبل نائبه للعثور على نائب مصفوفة

$A :$

$\text{Adj} (A) = \begin{pmatrix} \bm{-8} & \bm{4} & \bm{-20} \\[1.1ex] \bm{6} & \bm{3} & \bm{15} \\[1.1ex] \bm{4} & \bm{-2} & \bm{-2} \end{pmatrix}$

المصفوفة التكميلية الثانوية والمساعده والمساعده

ما هو القاصر التكميلي؟

كيفية حساب القاصر التكميلي للعنصر؟

مثال 1:

مثال 2:

تمارين محلولة للقاصرين التكميلية

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

ما هو الملحق لعنصر المصفوفة؟

كيفية الحصول على المجاورة لعنصر المصفوفة؟

مثال 1:

مثال 2:

مثال 3:

تمارين محلولة للمساعدين

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

ما هي المصفوفة المرفقة؟

كيفية حساب المصفوفة المجاورة؟

مثال:

حل مشاكل المصفوفة المجاورة

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

اترك تعليقاً إلغاء الرد