الموقع النسبي لطائرتين في الفضاء

ستجد في هذه الصفحة جميع المواضع النسبية المحتملة لمستويين (المستويات الجافة أو المتوازية أو المتوازية). سوف تكتشف أيضًا كيفية حساب الموضع النسبي بين مستويين، بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها.

ما هي المواقع النسبية لطائرتين؟

في الهندسة التحليلية، هناك ثلاثة مواضع نسبية محتملة فقط بين مستويين: المستويات القاطعة، والمستويات المتوازية، والمستويات المتطابقة.

المستويات المتقاطعة : يتقاطع المستويان إذا تقاطعا على خط واحد فقط.
المستويان المتوازيان : يكون المستويان متوازيين إذا لم يتقاطعا في أي نقطة.
المستويان المتطابقان : تكون المستويتان متطابقتين إذا كانت بينهما نقاط مشتركة.

طائرات متقاطعة

طائرات متوازية

طائرات متزامنة

هناك طريقتان لإيجاد الموضع النسبي بين مستويين: إحداهما من معاملات المعادلات العامة للطائرتين والأخرى عن طريق حساب رتب مصفوفتين. وفيما يلي شرح لكل إجراء.

كيفية تحديد الموضع النسبي لطائرتين بواسطة المعاملات

إحدى الطرق لمعرفة الموقع النسبي بين مستويين هي استخدام معاملات معادلاتهما العامة (أو الضمنية).

خذ بعين الاعتبار المعادلة العامة (أو الضمنية) لطائرتين مختلفتين:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

يعتمد الموقع النسبي بين المستويين في الفضاء ثلاثي الأبعاد (في R3) على تناسب معاملاتها أو معلماتها:

ولذلك، فإن المستويين سوف يتقاطعان عندما يكون أحد المعاملات A أو B أو C غير متناسب مع المعاملات الأخرى. ومن ناحية أخرى، سيكون المستويان متوازيين عندما تكون الحدود المستقلة فقط غير متناسبة. وأخيرًا، سيتطابق المخططان عندما تكون جميع معاملات المعادلتين متناسبة.

على سبيل المثال، دعونا نحسب الموضع النسبي للمستويين التاليين:

$\pi_1 : \ 6x-2y+4z+5=0$

$\pi_2 : \ -3x+y-2z+4=0$

لمعرفة نوع الطائرة، عليك التحقق من المعاملات المتناسبة:

$\cfrac{6}{-3} = \cfrac{-2}{1} =\cfrac{4}{-2} \neq \cfrac{5}{4}$

تتناسب المعاملات A وB وC مع بعضها البعض ولكن ليس مع المعامل D، لذا فإن المستويين متوازيان .

كيفية حساب الموضع النسبي لطائرتين حسب النطاقات

هناك طريقة أخرى لمعرفة الموقع النسبي لمستويين محددين تتمثل في حساب مدى مصفوفتين مكونتين من معاملات المستويين المذكورين.

وبالتالي، دعونا نكون المعادلة العامة (أو الضمنية) لطائرتين مختلفتين:

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D=0$

$\pi_2 : \ A'x+B'y+C'z+D'=0$

نسمي A المصفوفة المكونة من المعاملات A وB وC للمعادلتين:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} A&B&C\\[1.1ex] A&B&C\end{pmatrix}$

ولتكن المصفوفة A’ هي المصفوفة الموسعة بجميع معاملات المعادلتين:

$\displaystyle A' =\begin{pmatrix} A&B&C&D\\[1.1ex] A&B&C&D'\end{pmatrix}$

يمكن معرفة الموقع النسبي للطائرتين من خلال مدى المصفوفتين السابقتين:

يمكن إثبات أن المواضع النسبية تعتمد على صفوف هاتين المصفوفتين من نظرية روش-فروبينيوس (نظرية تستخدم لحل أنظمة المعادلات الخطية). ومع ذلك، في هذه الصفحة لن نقوم بالتوضيح لأنه ليس من الضروري معرفتها كما أنها لا تقدم الكثير أيضًا.

حتى تتمكن من رؤية كيفية القيام بذلك، سوف نقوم بحساب الموضع النسبي بين المستويين التاليين:

$\pi_1 : \ 2x+3y-z+1=0$

$\pi_2 : \ 3x-4y+2=0$

أول ما يجب فعله هو إنشاء المصفوفة A والمصفوفة الموسعة A’ بمعاملات معادلتي المستويين:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 2&3&-1\\[1.1ex] 3&-4&0\end{pmatrix} \qquad \qquad A' =\begin{pmatrix} 2&3&-1&1\\[1.1ex] 3&-4&0&2\end{pmatrix}$

والآن علينا حساب رتبة كل مصفوفة. نوجد أولاً مدى المصفوفة A بالمحددات:

$rg(A) = \ ?$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 3&-4\end{vmatrix} =-17\neq 0$

$rg(A) = 2$

تحتوي المصفوفة A على مصفوفة فرعية 2×2 يختلف محددها عن الصفر، لذا فهي مصفوفة من الرتبة 2.

ومن ناحية أخرى، من الضروري أيضًا حساب رتبة المصفوفة A’. ورتبة المصفوفة الموسعة A’ ستكون دائمًا على الأقل نفس مرتبة المصفوفة A، وبالتالي، في هذه الحالة المحددة، رتبة المصفوفة A’ تساوي أيضًا 2.

$rg(A') = 2$