مجموعة الأعداد الصحيحة عبارة عن مجموعة من جميع الأرقام الموجبة والسالبة. في هذه المقالة، سنتحدث عن خصائص هذه الأرقام، وكيفية تمثيلها على خط الأعداد، وما هي العمليات التي يمكنك إجراؤها بها، وغير ذلك الكثير.
ما هي الأعداد الصحيحة؟
الأعداد الصحيحة كلها أعداد طبيعية وسالبة ، وليست أعدادًا عشرية. لذلك، في الرياضيات، مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة جميع الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى مجموعة الأعداد السالبة والعدد صفر . هذه المجموعة هي بدورها فئة فرعية من مجموعة الأعداد النسبية .
الأعداد الصحيحة هي الأعداد الطبيعية بالإضافة إلى الأعداد السالبة. لذلك، تتضمن الأعداد الصحيحة النطاق التالي: {-∞، …، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، …، ∞}. ولذلك، فمن الأهمية بمكان أن يكون لدينا فهم جيد لمجموعة الأعداد الطبيعية ومعكوساتها (السالبة) ، من أجل فهم الأعداد الصحيحة.
مجموعات فرعية من أرقام Z
ومما أوضحناه حتى الآن يمكن أن نستنتج أن هناك نوعين من الأعداد الصحيحة : الأعداد الصحيحة الموجبة (الطبيعية) والأعداد الصحيحة السالبة (السلبية). تسمى هاتان المجموعتان من الأرقام مجموعات فرعية من الأعداد الصحيحة.
ومع ذلك، يمكننا أيضًا جمع مجموعات فرعية أخرى، مثل الأعداد الزوجية والفردية، والأعداد الأولية والمركبة. لأن نظرية المجموعات المطبقة على الحساب تسمح لنا بتجميع الأرقام حسب أي خاصية رياضية تصفها.
أمثلة على الأعداد الصحيحة
لتوضيح قليلًا ما هو العدد الصحيح، إليك بعض الأمثلة بالترتيب:
-8، -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8.
كما ترى، هذه هي الأعداد الثمانية الموجبة الأولى (1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8)، والصفر ومقلوبات الأعداد الطبيعية السابقة. ومن الواضح أن هذه الأمثلة السبعة عشر ليست سوى جزء من الكل. ولكن، من هذه المجموعة الصغيرة من القيم، يمكنك تصور أي عدد صحيح.
خصائص مجموعة الأعداد الصحيحة
تتميز هذه المجموعة الرقمية بعدد من الخصائص:
- وهي لا نهائية، لأنها مكونة من مجموعتين عدديتين لا نهائيتين (الأعداد الطبيعية والأعداد السالبة).
- جميع القيم في هذه المجموعة موقعة: موجبة (+) أو سالبة (-)، باستثناء الصفر.
- لديهم ترتيب معين: الأرقام السالبة أقل من الصفر والأرقام الموجبة أكبر من الصفر: السالبة <0 < الموجبة.
- جميع الأعداد الصحيحة نسبية، لكنها ليست كسرية.
- لكل عدد صحيح موجب يوجد عدد صحيح سالب مساوي له ولكن له إشارة معاكسة.
تمثيل الأعداد الصحيحة
لقد علقنا في القسم السابق على ترتيب الأعداد الصحيحة. ولكن، لرؤيتها بشكل أكثر وضوحًا، سنعرض لك ممثلًا علىخط الأعداد .
كما ترون، خط الأعداد هذا هو مزيج من خطوط الأعداد للأعداد الطبيعية والأعداد السالبة. باختصار، الأرقام السالبة ذات القيمة المطلقة الأكبر هي تلك التي تذهب إلى أقصى اليسار (الأصغر). في حين أن الأرقام الموجبة ذات القيمة المطلقة الأكبر هي تلك التي تذهب إلى أقصى اليمين (الأكبر).
خصائص الأعداد الصحيحة
قبل تعلم كيفية إجراء العمليات على الأعداد الصحيحة، من المهم جدًا معرفة سلسلة من الخصائص . بهذه الطريقة يمكننا العمل بسهولة ودون ارتكاب أخطاء.
ونعرض لك هذه الخصائص في هذه القائمة:
- التبادلية: بخلاف جمع وضرب قيمتين صحيحتين، لا يهم ترتيب العوامل. لذلك، لجميع الأعداد الصحيحة أ و ب:
أ + ب = ب + أ
أب = با
- ترابطي: بخلاف إضافة وضرب ثلاث قيم صحيحة أو أكثر، لا يهم ترتيب العوامل. ولذلك، لجميع الأعداد الصحيحة أ، ب، ج.
أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج
أ · (ب · ج) = (أ · ب) · ج
- التوزيع: ضرب رقم في مجموع يعادل أخذ قاسم مشترك:
أ(ب + ج) = أب + أس
- العنصر المحايد: هناك رقمان لا يؤديان عند المشاركة في عملية بأعداد صحيحة إلى تعديل القيمة الأولية. للضرب 1 وللجمع 0.
1 = واحد
إلى + 0 = إلى
- القيمة المطلقة: أي عدد صحيح سالب له عدد صحيح موجب مطابق له، ولكن بدون الإشارة. ينطبق هذا أيضًا على الأعداد الصحيحة الموجبة، لكن القيمة المطلقة للأعداد الموجبة هي في حد ذاتها موجبة.
|-أ| = ل
|أ| = ل
إذا كنت تريد معرفة المزيد عن هذه الخصائص، ننصحك بإلقاء نظرة على مقالتنا حول الخصائص الرياضية للعمليات .
العمليات مع الأعداد الصحيحة
أنت الآن تعرف خصائص المجموعة Z (عدد صحيح) وما ترتيبها وخصائص هذه المجموعة لحل العمليات. لذلك، يمكننا أن نتحدث بالفعل عن العمليات نفسها.
- جمع الأعداد الصحيحة: إذا أضفنا عددين صحيحين لنفس الإشارة، فإننا ببساطة نضيف قيمهما المطلقة ونضيف الإشارة التي أمامهما. أما إذا أضفنا موجبًا وسالبًا، فيجب علينا طرح قيمتيهما المطلقة وكتابة إشارة العدد الصحيح ذو القيمة المطلقة الأكبر:
4 + 5 = 9
(-4) + (-5) = -9
4 + (-5) = -1
- طرح الأعداد الصحيحة: عند طرح عددين صحيحين يجب تطبيق قانون العلامات . لأنه يسمح لنا بتبسيط عمليات الطرح التي تحتوي على أكثر من علامة واحدة على التوالي. ومن ثم نقوم بتحويلها إلى مبالغ، والتي نعرف بالفعل كيفية حلها (تم شرحها في القسم السابق). والجدول التالي يوضح قانون العلامات:
(+) · (+) = (+)
(+) · (-) = (-)
(-) · (+) = (-)
(-) · (-) = (+)
بعد ذلك، نعرض جميع الحالات التي يمكننا العثور عليها:
4 – 5 = 4 + (-5) = -1
5 – 4 = 5 + (-4) = 1
(-4) – 5 = (-4) + (-5) = -9
4 – (-5) = 4 + 5 = 9
(-4) – (-5) = (-4) + 5 = 1
(-5) – (-4) = (-5) + 4 = -1
- ضرب الأعداد الصحيحة: لحل عمليات ضرب الأعداد الصحيحة، ما عليك سوى ضرب القيم المطلقة. ثم أضف الإشارة المقابلة باستخدام قانون العلامات الموضح أعلاه. والآن نعرض لك حالات الضرب الأربع الموجودة:
4 5 = 20
(-4) 5 = -20
4 · (-5) = -20
(-4) · (-5) = 20
- قسمة الأعداد الصحيحة: أخيرًا، لدينا عمليات القسمة، لحلها يجب علينا إيجاد حاصل القيم المطلقة وإضافة العلامة، بناءً على قانون العلامات. وبعد ذلك، نعرض لك الحالات الأربع التي يمكنك العثور عليها:
20 ÷ 5 = 4
(-20) ÷ 5 = -4
20 ÷ (-5) = -4
(-20) ÷ (-5) = 4
كيف يتم استخدام مجموعة الأعداد الصحيحة في الحياة اليومية؟
يتم استخدام مجموعة الأعداد الصحيحة في الحياة اليومية بعدة طرق. على سبيل المثال، عند محاولة قياس شيء ما ، عادةً ما يتم استخدام الأعداد الصحيحة، وخاصة الأعداد الصحيحة الموجبة.
كما أنها تستخدم لإجراء العمليات الحسابية الأساسية ، مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة. وهذا ينطبق على جميع الأعمال اليومية التي نقوم بها، مثل: الشراء، حساب العملة، قياس مسافة الرحلة، تتبع الوقت…
تشمل الطرق الأخرى لاستخدام الأعداد الصحيحة في الحياة اليومية ترتيب الأشياء (على سبيل المثال، وضع الكتب على الرف بالترتيب الأبجدي) وتتبع المواقع (على سبيل المثال، العثور على مبنى على الخريطة). في الختام، كل ما تفعله تقريبًا له قيم صحيحة تحيط به.