وظيفة جيب التمام

ستجد في هذه الصفحة كل شيء عن دالة جيب التمام: ما هي، ما هي صيغتها، وكيفية تمثيلها في الرسم البياني، وخصائص الدالة، والسعة، والفترة، وما إلى ذلك. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية أمثلة مختلفة لوظائف جيب التمام لفهم المفهوم بشكل كامل. حتى أنه يشرح نظرية جيب التمام والعلاقات التي تربط دالة جيب التمام بالنسب المثلثية الأخرى.

صيغة وظيفة جيب التمام

دالة جيب التمام للزاوية α هي دالة مثلثية يتم تعريف صيغتها على أنها النسبة بين الساق المتجاورة (أو المجاورة) والوتر في المثلث القائم (المثلث ذو الزاوية القائمة).

يُسمى هذا النوع من الوظائف الرياضية أيضًا بوظيفة جيب التمام أو جيب التمام أو جيب التمام.

دالة جيب التمام هي واحدة من أفضل ثلاث نسب مثلثية معروفة، بالإضافة إلى جيب الزاوية وظلها.

القيم المميزة لوظيفة جيب التمام

تتكرر بعض الزوايا بشكل متكرر، وبالتالي، من المناسب معرفة قيمة دالة جيب التمام عند هذه الزوايا:

وبالتالي فإن إشارة دالة جيب التمام تعتمد على الربع الذي تقع فيه الزاوية: إذا كانت الزاوية في الربع الأول أو الرابع يكون جيب التمام موجباً، من ناحية أخرى إذا كانت الزاوية تقع في الربع الثاني أو الثالث ، سيكون جيب التمام سلبيا.

تمثيل رسومي لوظيفة جيب التمام

باستخدام جدول القيم الذي رأيناه في القسم السابق، يمكننا رسم بياني لدالة جيب التمام. وبرسم دالة جيب التمام نحصل على:

كما ترون من الرسم البياني، فإن قيم صور دالة جيب التمام تكون دائمًا بين +1 و -1، أي أنها محددة من الأعلى بـ +1 ومن الأسفل بـ -1. بالإضافة إلى ذلك، تتكرر القيم كل 360 درجة (2π راديان)، لذا فهي دالة دورية دورتها 360 درجة.

من ناحية أخرى، في هذا الرسم البياني نقدر تمامًا أن دالة جيب التمام متساوية، لأن عناصرها المتقابلة لها نفس الصورة، أي أنها متماثلة بالنسبة لمحور الكمبيوتر (المحور Y). على سبيل المثال، جيب تمام 90 درجة هو 0 و -90 درجة هو 0.

خصائص وظيفة جيب التمام

تتميز وظيفة جيب التمام بالخصائص التالية:

مجال دالة جيب التمام هو جميع الأعداد الحقيقية، لأنه، كما يوضح الرسم البياني، توجد الدالة لأي قيمة للمتغير المستقل x.

$\text{Dom } f = \mathbb{R}$

مسار أو نطاق دالة جيب التمام هو من سالب 1 إلى موجب 1 (كلاهما شاملاً).

$\text{Im } f= [-1,1]$

إنها دالة مستمرة وزوجية بدورية 2π.

$\displaystyle \text{cos }x = \text{cos}(-x)$

هذا النوع من الدوال المثلثية له نقطة تقاطع واحدة مع محور OY عند النقطة (0،1).

$(0,1)$

بدلاً من ذلك، فإنه يعترض بشكل دوري الإحداثي السيني (المحور X) عند إحداثيات متعددة فردية لمتوسط pi.

$\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}+k\pi ,0\right) \qquad k \in \mathbb{Z}$

الحد الأقصى لوظيفة جيب التمام يحدث عندما:

$x = 2\pi k \qquad k \in \mathbb{Z}$

وعلى العكس من ذلك، الحد الأدنى من وظيفة جيب التمام يحدث في:

$x = \pi(2k +1 ) \qquad k \in \mathbb{Z}$

مشتق دالة جيب التمام هو الجيب مع تغيير علامته:

$f(x)=\text{cos } x \ \longrightarrow \ f'(x)= -\text{sen } x$

وأخيرًا، تكامل دالة جيب التمام هو جيب التمام:

$\displaystyle \int \text{cos } x \ dx= \text{sen } x + C$

الفترة وسعة وظيفة جيب التمام

وكما رأينا في الرسم البياني الخاص به، فإن دالة جيب التمام هي دالة دورية، أي أن قيمها تتكرر بتكرار. بالإضافة إلى ذلك، فإن القيم القصوى والدنيا التي تتأرجح بينها تعتمد على اتساعها. لذلك، هناك خاصيتان مهمتان تحددان دالة جيب التمام هما دورتها وسعةها:

$\displaystyle f(x)= A\text{cos}(wx)$

فترة دالة جيب التمام هي المسافة بين نقطتين يتكرر عندهما الرسم البياني ويتم حسابها بالصيغة التالية:

$\displaystyle \text{Periodo}=T=\cfrac{2\pi}{w}$

إن حجم دالة جيب التمام يعادل المعامل الموجود أمام حد جيب التمام.

$\displaystyle \text{Amplitud}=A$

يمكنك أدناه رؤية رسم بياني يوضح تأثيرات تغيير الفترة أو السعة:

في الدالة الموضحة باللون الأخضر، يمكننا أن نرى أنه من خلال مضاعفة السعة، تنتقل الدالة من +2 إلى -2، بدلاً من +1 إلى -1. من ناحية أخرى، في الدالة الموضحة باللون الأحمر، يمكنك أن ترى كيف أنها تسير بسرعة مضاعفة مثل دالة جيب التمام “المعتمدة”، حيث تم تخفيض دورها إلى النصف.

نظرية جيب التمام

على الرغم من أن صيغة جيب التمام تستخدم عادةً في المثلثات القائمة، إلا أن هناك أيضًا نظرية يمكن تطبيقها على أي نوع من المثلثات: نظرية جيب التمام أو جيب التمام.

تربط نظرية جيب التمام بين أضلاع وزوايا أي مثلث على النحو التالي: