الاستيفاء الخطي والتربيعي

في هذه الصفحة سوف تتعلم ما يعنيه استيفاء وظيفة. على وجه التحديد، يتم شرح الاستيفاء الخطي والاستيفاء التربيعي. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية أمثلة متعددة بحيث لا يكون لديك أدنى شك حول كيفية استيفاء الدالة.

ما هو الاستيفاء وظيفة؟

تعريف الاستيفاء هو كما يلي:

في الرياضيات، الاستيفاء هو إجراء يستخدم لتقريب القيمة التي تأخذها الدالة عند نقطة على فترة زمنية تكون نقاط نهايتها معروفة.

ما الفرق بين الاستيفاء والاستقراء؟

الاستيفاء والاستقراء لهما معاني متشابهة جدًا، حيث يتضمن كلاهما تقدير قيمة دالة عند نقطة من نقطتين معروفتين.

ومع ذلك، يتكون الاستيفاء من عمل تقريب لنقطة تقع في الفاصل الزمني الذي تشكله هاتان النقطتان المعروفتان. بدلًا من ذلك، الاستقراء يعني تقدير قيمة الدالة عند نقطة خارج الفترة التي تتكون منها هاتان النقطتان المعروفتان.

الاستيفاء والاستقراء أو الاستيفاء والاستقراء

كما ترون في الرسم البياني أعلاه، النقاط المعروفة هي (2،3) و (6،5). في هذه الحالة، نريد الاستقراء إلى x=4، لأنه يقع بين النقاط المعروفة، ومن ناحية أخرى، نريد الاستقراء إلى x=8، لأنه يقع خارج الفترة المعروفة.

من الواضح أن القيمة المحرفة أكثر موثوقية من القيمة المستقرة، لأننا في الاستقراء نفترض أن الدالة ستتبع مسارًا مشابهًا. ومع ذلك، من الممكن أن يتغير ميل الدالة خارج حدود الفترة المعروفة ويكون التقدير خاطئًا.

الاستيفاء الخطي

الاستيفاء الخطي هو حالة خاصة من الاستيفاء النيوتوني متعدد الحدود. في هذه الحالة، يتم استخدام كثيرة الحدود من الدرجة الأولى، أي دالة خطية أو متقاربة، لتخمين قيمة الدالة عند نقطة ما.

بالنظر إلى نقطتين معروفتين،

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

، صيغة إجراء الاستيفاء الخطي هي:

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

ذهب

$x$

$y$

هي إحداثيات النقطة المحرفة.

يمكننا التحقق من أن هذه الصيغة تتوافق مع معادلة نقطة الميل للخط.

مثال على الاستيفاء الخطي

بعد ذلك سنرى مشكلة كمثال للانتهاء من فهم مفهوم الاستيفاء الخطي:

في المصنع، يتم إنتاج صنفين في 4 ساعات و10 أصناف في 8 ساعات. إذا كان عدد العناصر المنتجة له علاقة خطية بساعات العمل، فما عدد العناصر التي سيتم إنتاجها خلال 5 ساعات؟

أولاً، نحتاج إلى تحديد الدالة الخطية التي تربط ساعات العمل بالعناصر المنتجة. في هذه الحالة، ستكون X عبارة عن ساعات العمل وY ستكون العناصر المصنعة. لأنه سيتم إنتاج أصناف أكثر أو أقل حسب ساعات العمل، أو بمعنى آخر يعتمد الإنتاج على ساعات العمل، وليس العكس.

ومن العبارة نعلم أن الدالة تمر بالنقطتين (4،2) و (8،10). لذلك يكفي تطبيق صيغة الاستيفاء عند هذه النقطة

$x=5:$

$y=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\cdot(x-x_1) + y_1$

نعوض بقيم النقاط في المعادلة:

$y=\cfrac{10-2}{8-4}\cdot(5-4) + 2$

ونقوم بالعمليات:

$y=\cfrac{8}{4}\cdot1 + 2 = 2\cdot 1 +2 = 4$

$\bm{y=4}$

لذا فإن 5 ساعات ستنتج 4 عناصر .

الاستيفاء التربيعي

يتضمن الاستيفاء التربيعي الاستيفاء مع كثيرة الحدود من الدرجة الثانية بدلاً من كثيرة الحدود من الدرجة 1. لذلك، في هذه الحالة، يتم استخدام دالة تربيعية أو دالة القطع المكافئ .

$y = ax^2+bx+c$

بشكل عام، يعد الاستيفاء من الدرجة الثانية أكثر دقة من الاستيفاء من الدرجة الأولى لأنه ذو درجة أعلى. على العكس من ذلك، هناك حاجة إلى نقطة أخرى لتتمكن من إجراء الاستيفاء.

طور عالم الرياضيات لاغرانج صيغة لإيجاد دالة الاستيفاء من الرتبة n. بالنسبة لحالة الدرجة الثانية، فإن استيفاء لاغرانج متعدد الحدود هو كما يلي:

$y=\cfrac{(x-x_1)(x-x_2)}{(x_0-x_1)(x-x_2)}\cdot y_0+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_2)}{(x_1-x_0)(x_0-x_2)}\cdot y_1+ \cfrac{(x-x_0)(x-x_1)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)}\cdot y_2$

حيث النقاط المعروفة

$P_1(x_1,y_1)$

$P_2(x_2,y_2)$

$P_3(x_3,y_3)$

يتم استخدامها للعثور على قيمة الوظيفة على الإحداثي السيني

$x.$

ومع ذلك، من الناحية العملية، لا يتم استخدام طريقة استيفاء لاغرانج بشكل عام، ولكن يتم حساب الدالة التربيعية من النقاط الثلاث المرصودة، ومن ثم يتم تقييم النقطة المراد استيفاءها في الدالة. فيما يلي تمرين تم حله لمعرفة كيفية القيام بذلك:

مثال على الاستيفاء التربيعي

حدد الدالة التربيعية التي تمر بالنقاط (0,1) و(1,0) و(3,4) ثم أدخل قيمة
$x=-1.$

بما أن الدوال التربيعية هي متعددات حدود من الدرجة الثانية، فإن دالة الاستيفاء ستكون كما يلي:

$y = ax^2+bx+c$

ولذلك فمن الضروري حساب المعاملات

$a$

$b$

$c$

. للقيام بذلك، نعوض بإحداثيات النقاط المعروفة في الدالة:

$\left.\begin{array}{l} 1 = a\cdot 0^2+b\cdot 0+c \\[2ex] 0 = a\cdot 1^2+b\cdot 1+c \\[2ex] 4 = a\cdot 3^2+b\cdot 3+c \end{array} \right\} \longrightarrow \left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\}$

نحن الآن نحل نظام المعادلات:

$\left.\begin{array}{l} 1 = c \\[2ex] 0 = a+b+c \\[2ex] 4 = 9a+3b+c \end{array} \right\} \begin{array}{l} \\[2ex] \xrightarrow{c \ = \ 1} \\[2ex] & \end{array} \left.\begin{array}{l} c=1 \\[2ex] 0 = a+b+1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}$

نحن نعرف بالفعل قيمة

$c$

يمكننا بالتالي حل النظام بطريقة الاستبدال: نمحو المجهول

$a$

من المعادلة الثانية ونعوض بالتعبير الموجود في المعادلة الأخيرة:

$\left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9a+3b+1 \end{array}\right\}\longrightarrow \left.\begin{array}{l} a=-b-1 \\[2ex] 4 = 9(-b-1)+3b+1 \end{array}\right\}$

نجد المجهول

$b$

من المعادلة الأخيرة:

$4 = -9b-9+3b+1$

$12 =-6b$

$b=\cfrac{12}{-6} = -2$

وإيجاد قيمة

$a$

مع المعادلة الثانية للنظام :

$a=-(-2)-1 = 1$

وبالتالي فإن الدالة التربيعية هي كما يلي:

$\bm{y = x^2-2x+1}$

أخيرًا، نقوم بإدخال الإحداثي

$x=-1$

لحساب قيمة الدالة عند هذه النقطة:

$y=(-1)^2-2\cdot(-1)+1=1+2+1=\bm{4}$

تطبيقات الاستيفاء

على الرغم من أن الأمر قد لا يبدو كذلك، إلا أن الاستيفاء مفيد جدًا في الرياضيات والإحصاء. على سبيل المثال، يتم استخدامه لمحاولة التنبؤ بقيمة دالة: من سلسلة من البيانات المجمعة، يتم حساب خط الانحدار ومن خلاله يمكنك الحصول على تقدير تقريبي لقيمة الدالة في كل نقطة.

يمكن إجراء استيفاء الدالة يدويًا، كما رأينا، أو باستخدام برامج الكمبيوتر مثل Excel أو MATLAB. من الواضح أن القيام بذلك باستخدام الكمبيوتر هو أكثر راحة وأسرع.

من ناحية أخرى، يتم استخدام الاستيفاء أيضًا لتبسيط العمليات الحسابية. هناك بعض البرامج التي تحتاج إلى إجراء عمليات حسابية معقدة بوظائف طويلة جدًا، لذلك في بعض الأحيان يتم إجراء الاستيفاء الخطي لهذه الوظائف لتبسيط العمليات.