الاستقراء الخطي

تشرح هذه الصفحة معنى استقراء دالة. ستجد أيضًا مثالاً لكيفية إجراء الاستقراء الخطي، وأخيرًا، الاختلافات بين الاستيفاء والاستقراء.

ما هو الاستقراء؟

تعريف الاستقراء هو كما يلي:

لذلك، عند الاستقراء، نفترض دائمًا أن الدالة ستكون بطريقة معينة لأنه لا توجد لدينا بيانات خارج حدود الفترة. لذلك، لا يمكن أبدًا ضمان أن الدالة ستأخذ هذه القيمة التقريبية.

ما الفرق بين الاستيفاء والاستقراء؟

الاستيفاء والاستقراء لهما معاني متشابهة جدًا، حيث يتضمن كلاهما تقدير قيمة دالة عند نقطة من نقطتين معروفتين.

ومع ذلك، فإن الاستقراء يعادل تقدير قيمة الدالة عند نقطة تقع خارج الفترة التي تشكلها هاتان النقطتان المعروفتان. بدلاً من ذلك، يتضمن الاستيفاء تقريب نقطة ضمن النطاق الذي تشكله هاتان النقطتان المعروفتان.

كما ترون في الرسم البياني أعلاه، النقاط المعروفة هي (2،3) و (6،5). في هذه الحالة نريد إجراء استيفاء عند x=4، لأنه يقع بين النقاط المعروفة، ومن ناحية أخرى نريد إجراء استيفاء عند x=8، لأنه يقع خارج الفترة المعروفة.

من الواضح أن القيمة المحرفة أكثر موثوقية من القيمة المستقرة، لأننا في الاستقراء نفترض أن الدالة ستتبع مسارًا مشابهًا. ومع ذلك، من الممكن أن يتغير ميل الدالة خارج حدود الفترة المعروفة ويكون التقدير خاطئًا. ولهذا السبب، يكون التنبؤ بالقيمة أكثر موثوقية حيث أن النقطة المستقرة قريبة من الفاصل الزمني المعروف.

الاستقراء الخطي

الاستقراء الخطي يعني تقريب الدالة من دالة خطية أو متقاربة، أي إلى دالة متعددة الحدود من الدرجة 1.

إن أبسط طريقة لإجراء الاستقراء الخطي هي الاستيفاء النيوتوني متعدد الحدود. في هذه الحالة، يتم استخدام كثيرة الحدود من الدرجة الأولى لمحاولة التنبؤ بقيمة الدالة عند نقطة ما.

يمكننا التحقق من أن هذه الصيغة تتوافق مع معادلة نقطة الميل للخط.

مثال على الاستقراء الخطي

ثم سنرى مشكلة كمثال للانتهاء من فهم مفهوم الاستقراء الخطي:

• يعتمد سعر الرحلة بالحافلة للشخص الواحد خطيًا على عدد الكيلومترات المقطوعة. تبلغ تكلفة قطع مسافة 70 كيلومترًا 15 يورو، بينما تبلغ تكلفة قطع مسافة 120 كيلومترًا 20 يورو. احسب تكلفة رحلة 150 كيلومترا.

أولًا، نحتاج إلى تحديد الدالة الخطية التي تربط عدد الكيلومترات المقطوعة بسعر الرحلة. في هذه الحالة، سيكون X هو عدد الكيلومترات المقطوعة وسيكون Y هو السعر. لأن السعر سيختلف حسب الكيلومترات المقطوعة، أي أن السعر يعتمد على الكيلومترات المقطوعة، وليس العكس.

ومن العبارة نعلم أن الدالة تمر بالنقطتين (70.15) و (120.20). لذلك يكفي تطبيق الصيغة لاستقراء هذه النقطة

نعوض بقيم النقاط في المعادلة:

ونقوم بالحسابات:

لذا فإن القيام برحلة بطول 150 كيلومترًا سيكلف 23 يورو.

بهذه الطريقة نكون قد حللنا التمرين بالفعل، كما رأيت، فهو ليس معقدًا للغاية. ولا تنس أنه يمكنك ترك أي أسئلة لديك في التعليقات!