المتجهات المتعامدة أو المتعامدة

ستجد في هذه الصفحة كل شيء عن المتجهات المتعامدة (أو المتعامدة): ما هي، عندما يكون متجهان متعامدين، كيفية العثور على متجه متعامد مع آخر، خصائص المتجهات المتعامدة،… بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية عدة أمثلة وتمارين محلولة للمتجهات المتعامدة أو المتعامدة.

ما هما المتجهان المتعامدان أو المتعامدان؟

في الرياضيات، يكون المتجهان متعامدين (أو متعامدين ) عندما يشكلان زاوية قائمة (90 درجة) لبعضهما البعض.

في الرسم البياني التالي، يمكنك رؤية متجهين متعامدين:

عندما يقال أن متجهين متعامدين أو متعامدين

من ناحية أخرى، فإن عمودي المتجهين يعتمد فقط على اتجاههما، وليس على وحدتهما (أو حجمهما) أو، بوضوح، على اتجاههما. أي أن المتجهين سيكونان متعامدين إذا شكلا زاوية قياسها 90 درجة، سواء كانا متساويين في الطول أم لا.

كيف يمكنك معرفة ما إذا كان المتجهان متعامدين أم متعامدين؟

كما رأينا للتو، من السهل جدًا من الناحية الرسومية معرفة ما إذا كان المتجهان متعامدين أم لا. ومع ذلك، يمكنك أيضًا تحديد ما إذا كان المتجهان متعامدين دون رسمهما بيانيًا:

عدديًا، يكون المتجهان متعامدين أو متعامدين عندما يكون حاصل ضربهما النقطي صفرًا (0).

على سبيل المثال، سنوضح أن المتجهين التاليين متعامدان دون تمثيلهما بيانيًا:

$\vv{\text{u}}=(3,2) \qquad\vv{\text{v}}=(-2,3)$

للتأكد من أن هذه المتجهات متعامدة (أو متعامدة)، نطبق صيغة الضرب العددية :

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(3,2)\cdot (-2,3) \\[1.5ex]&=3\cdot (-2) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -6+6 \\[1.5ex] & =\bm{0} \end{aligned}$

نتيجة الضرب النقطي للمتجهين هي صفر، لذا فإن هذين المتجهين متعامدان (أو متعامدان) مع بعضهما البعض.

$\vv{\text{u}}\bm{\perp} \vv{\text{v}}$

لاحظ أنه يُشار إلى المتجهين بشكل متعامد بالرمز

$\bm{\perp}}.$

ومن ثم، فإن حاصل الضرب النقطي بين متجهين متعامدين هو صفر. ومع ذلك، فإن المنتج المتجه لمتجهين (نوع آخر من الضرب بين المتجهات) يعطي العكس: متجه عمودي على المتجهين الآخرين. ولذلك، من المهم معرفة كيفية التمييز بين نوعي العمليات، ويمكنك رؤية الاختلافات بينهما في خصائص الضرب الاتجاهي .

كيف يتم حساب المتجه المتعامد أو المتعامد مع المتجه الآخر؟

إن أبسط طريقة لحساب متجه متعامد مع آخر في المستوى (في R2) هي تشذير إحداثيات المتجه وكذلك تغيير الإشارة إلى واحدة.

وللحصول على متجه متعامد مع آخر في الفضاء (في R3) من الضروري تداخل إحداثيين مع بعضهما البعض، ثم تغيير إشارة أحدهما، وأخيراً ضبط الإحداثيات على الصفر المتبقي.

لكي تتمكن من رؤية الاختلافات في حساب متجه متعامد مع متجه آخر اعتمادًا على ما إذا كان لديهم إحداثيين أو ثلاثة، سنحل تمرينًا مع كل نوع من المتجهات.

أوجد متجهًا متعامدًا أو متعامدًا في المستوى الديكارتي

حدد المتجه العمودي على المتجه ثنائي الأبعاد التالي:

$\vv{\text{v}}=(4,1)$

نظرًا لأنه متجه يتكون من مكونين فقط، للحصول على متجه متعامد، فمن الضروري تبديل مكوناته وإلغاء أحدهما:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(-1,4)}$

يمكننا التحقق من صيغة الضرب النقطي أن هذه المتجهات متعامدة بالفعل:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(4,1)\cdot (-1,4) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

تحديد المتجه العمودي أو المتعامد في الفضاء الديكارتي

احسب المتجه المتعامد مع المتجه ثلاثي الأبعاد التالي:

$\vv{\text{v}}=(2,3,-1)$

في هذه الحالة، لدينا متجه ثلاثي المكونات، لذا للحصول على متجه متعامد، نحتاج إلى تبديل عنصرين من مكوناته، وتغيير إشارة أحدهما وتحويل الإحداثيات المتبقية إلى صفر:

$\vv{\mathbf{u}}\bm{=(3,-2,0)}$

يمكننا التحقق باستخدام صيغة المنتج العددية من أن هذه المتجهات متعامدة بالفعل:

$\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}=(2,3,-1)\cdot (3,-2,0) =0$

$\vv{\text{v}}\bm{\perp} \vv{\text{u}}$

خصائص المتجهات المتعامدة والمتعامدة

تتميز المتجهات المتعامدة بالخصائص التالية:

العلاقة التناظرية : إذا كان المتجه عموديًا على متجه آخر، فإن هذا المتجه يكون أيضًا عموديًا على المتجه الأول.

$\vv{\text{u}} \bm{\perp} \vv{\text{v}} \ \longrightarrow \ \vv{\text{v}} \bm{\perp} \vv{\text{u}}$

الخاصية غير الانعكاسية : من الواضح أنه لا يمكن لأي متجه أن يكون متعامدا مع نفسه.

$\vv{\text{v}} \ \cancel{\bm{\perp}}} \ \vv{\text{v}}$

في الهندسة الإقليدية (في R2)، يجب بالضرورة أن يكون أي زوج من المتجهات المتعامدة مع متجه ثالث متوازيًا. أي أنه إذا كان المتجه عموديًا على متجه آخر وكان هذا المتجه عموديًا أيضًا على متجه ثالث، فإن المتجهين الأول والأخير متوازيان. ويرجع ذلك إلى مسلمة إقليدس الخامسة .

من ناحية أخرى، يجب أن تعلم أيضًا أنه بفضل هذه الخصائص يمكن استخدام قاعدة المفتاح. تسهل هذه التقنية حساب نوع من عمليات المتجهات التي، بدون هذه القاعدة، قد يستغرق حلها وقتًا طويلاً. يمكنك معرفة ما هو هذا من خلال النقر على شرح قاعدة المفتاح .

المفاهيم المتعلقة بالمتجهات المتعامدة أو المتعامدة

هناك نوعان من المتجهات قريبان جدًا من المتجهات المتعامدة: المتجهات العادية والمتجهات المتعامدة. وعلى الرغم من أنها جميعها مرتبطة ببعضها البعض، إلا أننا نريد توضيح كيفية اختلافها لتجنب أي لبس محتمل.

المتجه العادي هو متجه عمودي على المستوى. وبالتالي، يمكن أيضًا تضمينه في مفهوم تعامد المتجه، لكنه في هذه الحالة يكون متعامدًا على مستوى بدلاً من متجه آخر.

من ناحية أخرى، فإن النواقل المتعامدة هما متجهان متعامدان بشكل متبادل، علاوة على ذلك، هما متجهان للوحدة (بحجم يساوي 1).

أخيرًا، تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه من الشائع جدًا استخدام القواعد المتعامدة (قواعد متجهة تتكون من ناقلات متعامدة مع بعضها البعض) وحتى قواعد متعامدة . في الواقع، الإطار المرجعي الديكارتي هو قاعدة متعامدة.