معادلة خط المماس -

في هذه المقالة سوف نرى كيفية إيجاد معادلة المماس للمنحنى. بالإضافة إلى ذلك، يمكنك التدرب باستخدام تمارين محلولة بمستويات صعوبة مختلفة.

معادلة خط المماس للدالة عند نقطة ما

معادلة المماس للدالة f(x) عند النقطة x=x ₀ هي:

$y -y_0= m(x-x_0)$

حيث النقطة P(x ₀ ,y ₀ ) هي النقطة التي يتطابق فيها المماس والدالة. وميل المماس m يساوي مشتقة المنحنى عند النقطة x ₀ ، أي m=f'(x ₀ ).

في الصورة أعلاه يمكنك رؤية منحنى

$f(x)$

ممثلة باللون الأزرق وخط برتقالي مماس للوظيفة

$f(x)$

عن

$x=x_0$

لأن لديهم هذه النقطة المشتركة فقط. حسنًا، معادلة هذا المماس هي

$y -y_0= m(x-x_0)$

، ومنحدره هو

$m=f'(x_0)$

كيفية العثور على معادلة الظل

للعثور على معادلة المماس لدالة عند نقطة ما، عليك القيام بما يلي:

أوجد ميل خط المماس عن طريق حساب مشتقة الدالة عند نقطة التماس.
تحديد نقطة على خط المماس.
أوجد معادلة خط المماس باستخدام الميل المحسوب ونقطة خط المماس.

مثال على معادلة المماس للمنحنى

بعد أن رأينا نظرية معادلة المماس، دعونا نرى كيفية حساب معادلة المماس عن طريق حل مثال خطوة بخطوة:

احسب معادلة المماس للمنحنى
$f(x)=x^2+x$

عن

$x=1$

.

نحن نعلم أن معادلة الظل تكون دائمًا بالشكل التالي:

$y -y_0= m(x-x_0)$

أول شيء يجب فعله هو حساب ميل الخط. وبالتالي فإن ميل الظل ،

$m$

، ستكون قيمة مشتق المنحنى عند نقطة التماس x=1، أي

$m=f'(1).$

ومن ثم، فإننا نشتق الدالة ثم نحسب

$f'(1):$

$f(x)=x^2+x \quad \longrightarrow \quad f'(x)=2x+1$

$f'(1)= 2\cdot 1+1=2+1=3$

$m=f'(1)=3$

بمجرد أن نعرف قيمة

$m$

، نحن بحاجة إلى العثور على نقطة

$(x_0,y_0)$

من خط المماس لإكمال معادلة خط المماس.

تحتوي معادلة المماس والمنحنى دائمًا على نقطة مشتركة ، وهي في هذه الحالة

$x=1$

. لذلك، مثل المنحنى

$f(x)$

إذا مر بهذه النقطة، يمكننا إيجاد المكون الآخر للنقطة عن طريق الحساب

$f(1):$

$f(x)=x^2+x$

$f(1)=1^2+1=2$

وبالتالي فإن نقطة التماس هي:

$P(1,2)$

يمر كل من المنحنى والمماس بهذه النقطة، لذا يمكننا استخدامها أيضًا لإيجاد معادلة المماس.

كل ما تبقى هو استبدال القيم الموجودة للمنحدر ونقطة المماس في معادلتها:

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=3 \qquad P(1,2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -2= 3(x-1)$

وباختصار فإن معادلة الظل هي:

$\bm{y-2=3(x-1)}$

يمكنك أيضًا التعبير عن معادلة خط المماس بالمعادلة الصريحة للخط:

$\bm{y=3x-1}$

أدناه يمكنك رؤية المنحنى ممثلا

$f(x)=x^2+x$

وخط المماس لها

$x=1,$

$y-2=3(x-1):$

كما ترون، المنحنى

$f(x)=x^2+x$

والظل

$y-2=3(x-1)$

لديهم فقط نقطة مشتركة

$(1,2)$

، بالضبط كما حسبنا.

تمارين محلولة على معادلة الظل

التمرين 1

احسب معادلة المماس للمنحنى

$f(x)=2x^2-4x+3$

عن

$x=2 .$

انظر الحل

ستكون معادلة الظل دائمًا بالشكل التالي:

$y-y_0=m(x-x_0)$

الخطوة 1: حساب ميل خط المماس

الميل m هو قيمة مشتقة المنحنى عند نقطة التماس. لذلك، في هذه الحالة

$m = f'(2):$

$f(x)=2x^2-4x+3 \ \longrightarrow \ f'(x)= 4x-4$

$f'(2)= 4\cdot 2-4=8-4=4$

$m=f'(2)=4$

الخطوة الثانية: ابحث عن نقطة على خط المماس

تحتوي معادلة المماس والمنحنى دائمًا على نقطة مشتركة، وهي في هذه الحالة

$x=2$

. لذلك، مثل المنحنى

$f(x)$

إذا مر بهذه النقطة، يمكننا إيجاد المكون الآخر للنقطة عن طريق الحساب

$f(2):$

$f(x)=2x^2-4x+3$

$f(2)=2\cdot 2^2-4\cdot 2+3 =2 \cdot 4 -8 +3 = 3$

وبالتالي، فإن النقطة التي يمر من خلالها كل من المنحنى والمماس هي النقطة

$(2,3).$

الخطوة 3: اكتب معادلة الظل

كل ما تبقى هو استبدال القيم الموجودة للمنحدر ونقطة المماس في معادلتها:

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=4 \qquad P(2,3) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -3= 4(x-2)$

وبالتالي فإن معادلة الظل هي:

$\bm{y -3= 4(x-2)}$

تمرين 2

احسب معادلة المماس للمنحنى

$\displaystyle f(x)=-3x^2+2x$

في أصل الإحداثيات.

انظر الحل

يشير أصل الإحداثيات إلى النقطة

$(0,0).$

لذا، يجب علينا حساب مماس الدالة عند هذه النقطة

$(0,0) .$

أولاً، نحدد قيمة ميل المماس عن طريق حساب المشتقة عند أصل الإحداثيات:

$f(x)=-3x^2+2x \ \longrightarrow \ f'(x)= -6x+2$

$f'(0)= -6\cdot 0+2=2$

$m=f'(0)=2$

في هذه الحالة، نحن نعرف بالفعل النقطة التي يمر بها المماس. لأن العبارة تخبرنا أن الخط يجب أن يكون مماسًا للمنحنى عند أصل الإحداثيات، أي عند النقطة

$(0,0).$

لذا فإن النقطة التي يشارك فيها المنحنى والظل هي النقطة

$(0,0).$

أخيرًا، ما عليك سوى التعويض بالقيم الموجودة للميل ونقطة المماس في معادلتك:

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=2 \qquad P(0,0) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -0= 2(x-0)$

في الختام، معادلة الظل هي:

$y -0= 2(x-0)$

$\bm{y = 2x}$

التمرين 3

احسب خط المماس للمنحنى

$f(x)=x^2-2x-1$

والذي يتوازى مع اليمين

$y-4x-6=0$

انظر الحل

في هذه المسألة، قيل لنا أن المماس يجب أن يكون موازيًا للخط المستقيم

$y-4x-6=0 .$

ويكون الخطان متوازيين إذا كان لهما نفس الميل. ولذلك يجب أن يكون للظل نفس ميل الخط

$y-4x-6=0.$

وهذا يعني أن علينا إيجاد ميل الخط المستقيم

$y-4x-6=0 .$

للقيام بذلك، نقوم بمسح المتغير و:

$y-4x-6=0 \ \longrightarrow \ y =4x+6$

وبالتالي فإن ميل الخط

$y=4x+5$

هو 4، لأن ميل الخط هو الرقم الذي يضرب x عندما يكون y واضحًا.

لذلك، يجب أن يكون ميل المماس أيضًا 4، لأنه لكي يكونا متوازيين، يجب أن يكون لهما نفس الميل.

$m=4$

في هذه الحالة، لا يخبروننا بنقطة التماس بين المنحنى والمماس. لكننا نعلم أن مشتقة المنحنى عند نقطة التماس تساوي ميل المماس، أي

$m=f'(x_0)$

. طيب كيف نعرف قيمة

$m$

يمكننا إيجاد x ₀ من المعادلة

$m=f'(x_0):$

للقيام بذلك، نحسب أولًا مشتقة

$f(x):$

$f(x)= x^2-2x-1 \ \longrightarrow \ f'(x)=2x-2$

والآن نحل

$m=f'(x_0)$

مع العلم أن

$m = 4 :$

$m =f'(x_0)$

$4 =2(x_0)-2$

$4+2 =2x_0$

$6 =2x_0$

$\cfrac{6}{2} =x_0$

$3=x_0$

وبمجرد أن نعرف الإحداثي x للنقطة، يمكننا إيجاد الإحداثي الآخر للنقطة عن طريق الحساب

$f(3):$

$f(3)=3^2-2\cdot 3-1= 9-6-1=2$

وبالتالي، فإن النقطة التي يمر من خلالها كل من المنحنى والمماس هي النقطة

$(3,2).$

كل ما تبقى هو استبدال القيم الموجودة للمنحدر ونقطة المماس في معادلتها:

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=4 \qquad P(3,2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -2= 4(x-3)$

ومعادلة المماس هي:

$\bm{y -2=4(x-3)}$

التمرين 4

احسب خط المماس للمنحنى

$f(x)=2x^2+5x+1$

والتي تشكل زاوية 45 درجة مع المحور X.

انظر الحل

يخبرنا بيان المشكلة أن خط المماس يجب أن يشكل زاوية قدرها 45 درجة مع المحور X. في هذه الحالات، يجب تطبيق الصيغة التالية للعثور على قيمة الميل:

$m = \text{tg}\left(\alpha\right)$

$m = \text{tg}\left(45^{\text{o}}\right) = 1$

لا تحدد العبارة نقطة التماس بين المنحنى وخط المماس. لكننا نعلم أن مشتقة المنحنى عند نقطة التماس تعادل ميل المماس، أي

$m=f'(x_0)$

. وبالتالي يمكننا حساب x ₀ عن طريق حل المعادلة

$m=f'(x_0):$

للقيام بذلك، نحسب أولًا مشتقة

$f(x):$

$f(x)=2x^2+5x+1\ \longrightarrow \ f'(x)=4x+5$

والآن نحل

$m=f'(x_0)$

مع العلم أن

$m = 1 :$

$m =f'(x_0)$

$1 =4(x_0)+5$

$1-5 =4x_0$

$-4 =4x_0$

$\cfrac{-4}{4} =x_0$

$-1=x_0$

وبمجرد أن نعرف الإحداثي x للنقطة، يمكننا إيجاد الإحداثي الآخر للنقطة عن طريق الحساب

$f(-1):$

$f(-1)=2(-1)^2+5(-1)+1=2\cdot 1 -5 + 1 = -2$

وبالتالي، فإن النقطة التي يمر من خلالها كل من المنحنى والمماس هي النقطة

$(-1,-2).$

كل ما تبقى هو استبدال القيم الموجودة للمنحدر ونقطة المماس في معادلتها:

$\left. \begin{array}{c} y -y_0= m(x-x_0) \\[3ex] m=1 \qquad P(-1,-2) \end{array} \right\} \longrightarrow \ y -(-2)= 1(x-(-1))$

وأخيرًا، نقوم بتنفيذ العمليات لإيجاد معادلة المماس:

$y -(-2)=1(x-(-1))$

$y +2=1(x+1)$

$\bm{y + 2=x+1}$