معادلة الخط الذي يمر بنقطتين (صيغة)

ستجد هنا صيغة للعثور بسرعة على معادلة الخط الذي يمر عبر نقطتين. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على حل التمارين لمعادلات خطية محددة بنقطتين.

صيغة معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

مشكلة المعادلة الخطية النموذجية هي حساب معادلة الخط المحدد بنقطتين محددتين. على الرغم من وجود عدة طرق لحل هذا النوع من المشاكل، إليك صيغة يمكنك من خلالها العثور مباشرة على معادلة الخط المذكور بسرعة وسهولة:

النظر في نقطتين تقع على الخط:

$P_1(x_1,y_1) \qquad \qquad P_2(x_2,y_2)$

صيغة العثور على معادلة الخط من نقطته هي:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

يتم استنتاج صيغة معادلة الخط بمعلومية نقطتين من معادلة نقطة الميل للخط :

$y-y_1= m (x-x_1)$

حيث يمكن حساب ميل الخط بالتعبير التالي:

$m=\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

اتضح أن صيغة المعادلة تعطى إحداثيات نقطتين:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

لذا، لتحديد معادلة الخط، تحتاج فقط إلى معرفة النقطتين اللتين يمر بهما.

مثال لكيفية إيجاد معادلة الخط بمعلومية نقطتين

بمجرد أن رأينا صيغة معادلة الخط الموضحة بنقطتين أعلاه، فلنرى الآن كيف يتم حل تمرين نموذجي لمعادلات الخط:

ما معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين؟

$P_1 (3,1) \qquad \qquad P_2(-2,5)$

وبما أننا نعرف بالفعل نقطتين على الخط، فإننا نستخدم الصيغة مباشرة لحساب معادلتها:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

الآن نعوض إحداثيات النقاط في الصيغة:

$y-1= \cfrac{5-1}{-2-3} (x-3)$

وأخيرًا، نحسب ميل الخط:

$y-1= \cfrac{4}{-5} (x-3)$

وبالتالي فإن معادلة الخط الذي يمر عبر هاتين النقطتين هي:

$\bm{y-1=-} \mathbf{\cfrac{4}{5}}\bm{ (x-3)}$

وبما أن العبارة لا تخبرنا بخلاف ذلك، فليست هناك حاجة إلى تبسيط معادلة الخط بشكل أكبر، حتى لو كان هناك كسر متبقي.

حل مسائل معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

التمرين 1

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$P_1 (4,-1) \qquad \qquad P_2(5,2)$

انظر الحل

وبما أننا نعرف بالفعل نقطتين على الخط، فإننا نطبق مباشرة صيغة معادلة الخط على نقطتين محددتين:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

الآن نعوض بالإحداثيات الديكارتية للنقاط في الصيغة:

$y-(-1)= \cfrac{2-(-1)}{5-4} (x-4)$

وأخيرًا، نحسب ميل الخط:

$y+1= \cfrac{3}{1} (x-4)$

$y+1= 3(x-4)$

وبالتالي فإن معادلة الخط الذي يمر عبر هاتين النقطتين هي:

$\bm{y+1= 3(x-4)}$

تمرين 2

أوجد معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$P_1 (-2,0) \qquad \qquad P_2(-3,1)$

انظر الحل

وبما أننا نعرف بالفعل نقطتين تنتميان إلى الخط، فإننا نستخدم مباشرة صيغة معادلة الخط المعلوم بنقطتين:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

الآن نعوض إحداثيات النقاط في الصيغة:

$y-0= \cfrac{1-0}{-3-(-2)} (x-(-2))$

وأخيرا نقوم بتنفيذ العمليات:

$y= \cfrac{1}{-1} (x+2)$

$y= -(x+2)$

$y= -x-2$

وبالتالي فإن معادلة الخط الذي يمر عبر هاتين النقطتين هي:

$\bm{y= -x-2}$

التمرين 3

دون إجراء أي حسابات، حدد النقطة التي تقع على السطر التالي:

$y-2= 4(x+1)$

انظر الحل

يمكن استنتاج نقطة على الخط من صيغة معادلة الخط الذي يمر بنقطتين:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

سيكون الإحداثي Y للنقطة هو الحد الموجود قبل المتغير

$y$

تم تغيير الإشارة، وسيكون إحداثي X للنقطة هو الرقم الموجود داخل الأقواس السالبة:

$\bm{P(-1,2)}$

التمرين 4

ابحث عن نقطة ثالثة على الخط المحدد بالنقطتين التاليتين:

$P_1 (4,1) \qquad \qquad P_2(2,-3)$

انظر الحل

يجب علينا أولاً إيجاد معادلة الخط بالصيغة:

$y-y_1= \cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (x-x_1)$

$y-1= \cfrac{-3-1}{2-4} (x-4)$

$y-1= \cfrac{-4}{-2} (x-4)$

$y-1= 2(x-4)$

وبمجرد العثور على معادلة الخط الذي يمر بالنقطتين، نحسب نقطة ثالثة مع إعطاء أي قيمة لأحد المتغيرين. على سبيل المثال، سوف نقوم بذلك

$x=0:$

$y-1= 2(x-4) \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ y-1= 2(0-4)$

$y-1=2\cdot (-4)$

$y-1=-8$

$y=-8+1$

$y=-7$

إذن إحداثيات نقطة أخرى تنتمي إلى الخط هي:

$\bm{P(0,-7)}$

صيغة معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

مثال لكيفية إيجاد معادلة الخط بمعلومية نقطتين

حل مسائل معادلة الخط الذي يمر بنقطتين

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

اترك تعليقاً إلغاء الرد