كيفية حساب المصفوفة العكسية -

في هذه الصفحة سوف تتعلم ما هو وكيفية حساب معكوس المصفوفة بطريقة المحددات (أو المصفوفة المجاورة) وبواسطة طريقة غاوس. ستشاهد أيضًا جميع خصائص المصفوفة العكسية، وستجد أيضًا أمثلة وتمارين محلولة خطوة بخطوة لكل طريقة حتى تفهمها تمامًا. أخيرًا، نشرح صيغة لعكس مصفوفة 2×2 بسرعة وحتى أعظم فائدة لعملية المصفوفة هذه: حل نظام من المعادلات الخطية.

ما هو معكوس المصفوفة؟

يكون

$A$

مصفوفة مربعة. المصفوفة العكسية ل

$A$

انه مكتوب

$A^{-1}$

، وهذه المصفوفة هي التي ترضي:

$A \cdot A^{-1} = I$

$A^{-1}\cdot A = I$

ذهب

$I$

هي مصفوفة الهوية.

متى يمكنك عكس المصفوفة ومتى لا يمكنك ذلك؟

إن أبسط طريقة لتحديد قابلية عكس المصفوفة هي استخدام محددها:

إذا كان محدد المصفوفة المعنية يختلف عن 0، فهذا يعني أن المصفوفة قابلة للعكس. وفي هذه الحالة نقول إنها مصفوفة عادية. علاوة على ذلك، فهذا يعني أن المصفوفة ذات رتبة قصوى.

ومن ناحية أخرى، إذا كان محدد المصفوفة يساوي 0، فلا يمكن عكس المصفوفة. وفي هذه الحالة، نقول إنها مصفوفة فردية أو منحلة.

بشكل أساسي، هناك طريقتان لعكس أي مصفوفة: طريقة المحددات أو المصفوفة المجاورة وطريقة غاوس. ستجد أدناه شرحًا للأول، ولكن يمكنك أيضًا الرجوع أدناه إلى كيفية قلب مصفوفة باستخدام طريقة غاوس.

قلب مصفوفة باستخدام الطريقة المحددة (أو باستخدام المصفوفة المجاورة)

لحساب معكوس المصفوفة

$\displaystyle A^{-1}$

، يجب تطبيق الصيغة التالية:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

ذهب:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}$

هو محدد المصفوفة

$A$
$\text{Adj}(A)$

هي المصفوفة المجاورة ل

$A$
العارض
$\bm{t}$

يشير إلى تبديل المصفوفة، أي أنه ينبغي نقل المصفوفة المرفقة.

تعليق: تستخدم بعض الكتب صيغة مصفوفة عكسية مختلفة قليلاً: فهي تقوم أولاً بتبديل المصفوفة A ثم حساب المصفوفة المجاورة لها، بدلاً من حساب المصفوفة المجاورة أولاً ثم تبديلها. في الواقع، الترتيب لا يهم لأن النتيجة هي نفسها تمامًا. نترك لك هنا الصيغة لعكس المصفوفة المعدلة في حال كنت تفضل استخدام هذه:

صيغة المصفوفة العكسية مع المصفوفة المجاورة للتحويل

سنرى بعد ذلك كيفية إيجاد معكوس المصفوفة عن طريق حل تمرين كمثال:

مثال لحساب المصفوفة العكسية باستخدام طريقة المحدد (أو المصفوفة المجاورة):

احسب معكوس المصفوفة التالية:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

لتحديد معكوس المصفوفة، يجب علينا تطبيق الصيغة التالية:

لكن إذا كان محدد المصفوفة صفراً فهذا يعني أن المصفوفة غير قابلة للعكس. لذلك، أول شيء يجب فعله هو حساب محدد المصفوفة والتحقق من أنها مختلفة عن 0:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{vmatrix} = -4- (-6) = 2$

المحدد ليس 0 ، وبالتالي فإن المصفوفة قابلة للعكس .

لذلك، بالتعويض عن قيمة المحدد في الصيغة، سيكون معكوس المصفوفة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

يجب علينا الآن حساب نائب المصفوفة A. وللقيام بذلك، يجب علينا استبدال كل عنصر من عناصر المصفوفة A بنائبه.

تذكر أن لحساب مرفق

$a_{ij}$

، وهذا يعني عنصر الصف

$i$

والعمود

$j$

، يجب تطبيق الصيغة التالية:

$\text{Adjunto de } a_{ij} = (-1)^{i+j} \bm{\cdot} \text{Menor complementario de } a_{ij}$

حيث القاصر المكمل ل

$a_{ij}$

هو محدد المصفوفة التي تقضي على الصف

$i$

والعمود

$j$

وبالتالي فإن نواب عناصر المصفوفة A هم:

$\displaystyle A = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 3 & -1 \end{pmatrix}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) = \bm{-1}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de -1} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

تعليق: لا تخلط بين المحدد 1×1 والقيمة المطلقة، لأنه في المحدد 1×1 لا يتم تحويل الرقم إلى موجب.

بمجرد حساب النواب، ما عليك سوى استبدال عناصر A بنوابهم للعثور على المصفوفة النائبة لـ A :

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}$

تعليق: في أماكن معينة تكون المصفوفة المجاورة هي تبديل المصفوفة المجاورة التي نحددها هنا.

لذلك نعوض بالمصفوفة المرفقة في صيغة المصفوفة العكسية وتصبح:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix} ^{\bm{t}}$

العارض

$\bm{t}$

يخبرنا هذا أننا بحاجة إلى تبديل المصفوفة . ولتحويل مصفوفة عليك تغيير صفوفها إلى أعمدة ، أي أن الصف الأول من المصفوفة يصبح العمود الأول للمصفوفة، والصف الثاني يصبح العمود الثاني:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] -3 & 4 \end{pmatrix}$

وأخيرًا، نضرب كل حد من حدود المصفوفة في

$\cfrac{1}{2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{-1}{2} & \sfrac{2}{2} \\[1.1ex] \sfrac{-3}{2} & \sfrac{4}{2} \end{pmatrix}$

تمارين محلولة على المصفوفات العكسية بطريقة المحددات (أو المصفوفة المجاورة)

التمرين 1

اقلب المصفوفة التالية ذات البعد 2×2 باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{pmatrix}$

انظر الحل

صيغة المصفوفة العكسية هي:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

نحسب أولاً محدد المصفوفة:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 2 & 7 \end{vmatrix} = 7-6 = 1$

المحدد يختلف عن 0، لذلك يمكن عكس المصفوفة.

دعونا الآن نحسب المصفوفة المجاورة لـ A:

$\text{Adjunto de 1} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 7 \end{vmatrix} = 1 \cdot 7 = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 3} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2\end{vmatrix} = -1 \cdot 2 = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 2} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3 \end{vmatrix} = -1 \cdot 3 = \bm{-3}$

$\text{Adjunto de 7} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 = \bm{1}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}$

بمجرد حساب محدد المصفوفة والمجاور لها، نعوض بقيمتهما في الصيغة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 7 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

نقوم بتغيير المصفوفة المرفقة:

$\displaystyle A^{-1} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية لـ A هي:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{7} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-2} & \bm{1} \end{pmatrix}$

تمرين 2

اقلب المصفوفة المربعة التالية باستخدام طريقة المحدد:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4 \end{pmatrix}$

انظر الحل

صيغة المصفوفة العكسية هي:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

نحسب أولاً محدد المصفوفة:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & 4\end{vmatrix} = -12+10 = -2$

المحدد يختلف عن 0، لذلك يمكن عكس المصفوفة.

دعونا الآن نحسب المصفوفة المجاورة لـ A:

$\text{Adjunto de -3} =\displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 4 = \bm{4}$

$\text{Adjunto de -2} =\displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 5\end{vmatrix} = -1 \cdot 5 = \bm{-5}$

$\text{Adjunto de 5} =\displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-2) = \bm{2}$

$\text{Adjunto de 4} =\displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-3) = \bm{-3}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}$

بمجرد العثور على محدد المصفوفة والمجاور لها، نعوض بقيمتهما في الصيغة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & -5 \\[1.1ex] 2 & -3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

نقوم بتغيير المصفوفة المرفقة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -5 & -3 \end{pmatrix}$

نحن نضرب كل عنصر في

$\cfrac{1}{-2} :$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \cfrac{4}{-2} & \cfrac{2}{-2} \\[3ex] \cfrac{-5}{-2} & \cfrac{-3}{-2} \end{pmatrix}$

وبالتالي فإن المصفوفة العكسية لـ A هي:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \bm{-2} & \bm{-1} \\[2ex] \cfrac{\bm{5}}{\bm{2}} & \cfrac{\bm{3}}{\bm{2}} \end{pmatrix}$

التمرين 3

اقلب المصفوفة التالية ذات البعد 3×3 باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3\end{pmatrix}$

انظر الحل

صيغة المصفوفة العكسية هي:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

نقوم أولاً بحل محدد المصفوفة باستخدام قاعدة ساروس:

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2&3&-2\\[1.1ex] 1&4&1\\[1.1ex] 2&1&-3 \end{vmatrix} = -24+6-2+16-2+9 = 3$

المحدد يختلف عن 0، لذلك يمكن عكس المصفوفة.

بمجرد حل المحدد، نجد المصفوفة المجاورة لـ A:

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4&1\\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-13) = \bm{-13}$

$\text{Adjunto de 3} = \displaystyle (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&-3\end{vmatrix} = -1 \cdot (-5) = \bm{5}$

$\text{Adjunto de -2} = \displaystyle (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1&4\\[1.1ex] 2&1 \end{vmatrix} = 1\cdot (-7) = \bm{-7}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2 \\[1.1ex] 1&-3 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-7) = \bm{7}$

$\text{Adjunto de 4} = \displaystyle (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 2&-3 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-2) = \bm{-2}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 2&1\end{vmatrix} = -1 \cdot (-4) = \bm{4}$

$\text{Adjunto de 2} = \displaystyle (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 3&-2\\[1.1ex] 4&1\end{vmatrix} = 1 \cdot 11 = \bm{11}$

$\text{Adjunto de 1} = \displaystyle (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&-2\\[1.1ex] 1&1\end{vmatrix} = -1 \cdot 4 = \bm{-4}$

$\text{Adjunto de -3} = \displaystyle (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 2&3\\[1.1ex] 1&4 \end{vmatrix} = 1 \cdot 5 = \bm{5}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}$

بمجرد أن نحسب محدد المصفوفة والمجاور لها، نعوض بقيمتهما في الصيغة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 5 & -7 \\[1.1ex] 7 & -2 & 4 \\[1.1ex] 11 & -4 & 5 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

نقوم بتغيير المصفوفة المرفقة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -13 & 7 & 11 \\[1.1ex] 5 & -2 & -4 \\[1.1ex] -7 & 4 & 5 \end{pmatrix}$

والمصفوفة المقلوبة A هي:

$\displaystyle \bm{A^{-1} =} \begin{pmatrix} \sfrac{\bm{-13}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{11}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-2}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{-4}}{\bm{3}} \\[1.1ex] \sfrac{\bm{-7}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{4}}{\bm{3}} & \sfrac{\bm{5}}{\bm{3}}\end{pmatrix}$

التمرين 4

اعكس الترتيب التالي للمصفوفة 3 باستخدام طريقة المصفوفة المجاورة:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1\end{pmatrix}$

انظر الحل

صيغة المصفوفة العكسية هي:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

نحتاج إلى حساب محدد المصفوفة أولًا، لأنه إذا كان المحدد 0، فهذا يعني أن المصفوفة ليس لها معكوس.

$\displaystyle \begin{vmatrix}A\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 4&5&-1\\[1.1ex] -1&3&2\\[1.1ex] 3&8&1 \end{vmatrix} = 12+30+8+9-64+5 = \bm{0}$

محدد A هو 0، لذلك لا يمكن عكس المصفوفة.

التمرين 5

اقلب المصفوفة المربعة 3 × 3 التالية بطريقة المصفوفة المحددة:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2\end{pmatrix}$

انظر الحل

صيغة المصفوفة العكسية هي:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

أولًا، نحل محدد المصفوفة باستخدام قاعدة ساروس:

$\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 1 & 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 1 & 0 \\[1.1ex] -1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2+0-12-3-0+16 = 3$

المحدد يختلف عن 0، لذلك يمكن عكس المصفوفة.

بمجرد حل المحدد، نجد المصفوفة المجاورة لـ A:

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{1+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-0) = \bm{2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 4} = (-1)^{1+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (-4-0) = \bm{4}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -3} = (-1)^{1+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(4-(-1)\bigr) = \bm{5}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{2+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] -2 & 2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} (8-6) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 1} = (-1)^{2+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} (2-3) = \bm{-1}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 0} = (-1)^{2+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{vmatrix} = -1 \bm{\cdot} \bigl(-2-(-4)\bigr) = \bm{-2}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -1} = (-1)^{3+1} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 4 & -3 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(0-(-3)\bigr) = \bm{3}$

$\displaystyle \text{Adjunto de -2} = (-1)^{3+2} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] -2 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (0-6) = \bm{6}$

$\displaystyle \text{Adjunto de 2} = (-1)^{3+3} \bm{\cdot} \begin{vmatrix} 1 & 4 \\[1.1ex] -2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \bm{\cdot} \bigl(1-(-8)\bigr) = \bm{9}$

$\displaystyle \displaystyle \text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9 \end{pmatrix}$

بمجرد أن نحسب محدد المصفوفة والمجاور لها، نعوض بقيمتهما في الصيغة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 & 5 \\[1.1ex] -2 & -1 & -2 \\[1.1ex] 3 & 6 & 9\end{pmatrix}^{\bm{t}}$

نقوم بتغيير المصفوفة المرفقة:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -2 & 3 \\[1.1ex] 4 & -1 & 6 \\[1.1ex] 5 & -2 & 9 \end{pmatrix}$

وأخيرًا نعمل:

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \sfrac{2}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{3}{3} \\[1.1ex] \sfrac{4}{3} & \sfrac{-1}{3} & \sfrac{6}{3} \\[1.1ex] \sfrac{5}{3} & \sfrac{-2}{3} & \sfrac{9}{3} \end{pmatrix}$

تمرين تم حله خطوة بخطوة للمصفوفة العكسية بطريقة المصفوفة المجاورة 3x3

عكس المصفوفة باستخدام طريقة غاوس:

لحساب معكوس مصفوفة بطريقة غاوس ، يجب عليك إجراء عمليات على صفوف المصفوفة (سنرى ذلك لاحقا). لذلك قبل الاطلاع على كيفية استخدام طريقة غاوس، من المهم أن تعرف جميع العمليات التي يمكن إجراؤها على صفوف المصفوفات:

تحويلات الخط المسموح بها في الطريقة الغوسية

تغيير ترتيب صفوف المصفوفة.

على سبيل المثال، يمكننا تغيير ترتيب السطرين 2 و 3 من المصفوفة:

$\left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{ f_2 \rightarrow f_3}} \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 \rightarrow f_2}} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 3 & 5 & -2 \\[2ex] 6 & 1 & -3 \\[2ex] -2 & 4 & -1 \end{array} \right)$

ضرب أو قسمة جميع الحدود في صف واحد على رقم غير 0.

على سبيل المثال، يمكننا ضرب السطر 1 في 4 وتقسيم السطر 3 على 2:

$\left( \begin{array}{ccc} 1 & -2 & 3 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 2 & -4 & -2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{4 f_1} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{ f_3 / 2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc} 4 & -8 & 12 \\[2ex] 3 & -1 & 5 \\[2ex] 1 & -2 & -1 \end{array} \right)$

استبدل صفًا بمجموع الصف نفسه بالإضافة إلى صف آخر مضروبًا في رقم.

على سبيل المثال، في المصفوفة التالية، نضيف الصف 3 مضروبًا في 1 إلى الصف 2:

$\left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 2 & 4 & 1 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2 + 1\cdot f_3} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc} -1 & -3 & 4 \\[2ex] 3 & 2 & 4 \\[2ex] 1 & -2 & 3 \end{array} \right)$

مثال لحساب المصفوفة العكسية باستخدام طريقة غاوس:

دعونا نرى بمثال كيفية تطبيق طريقة غاوس لعكس المصفوفة:

احسب معكوس المصفوفة التالية:

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1 \\[2ex] 0 & 2 & 1 \\[2ex] 1 & 5 & 4 \end{array} \right)$

أول شيء يتعين علينا القيام به هو الجمع بين المصفوفة A ومصفوفة الهوية في مصفوفة واحدة . المصفوفة A على اليسار ومصفوفة الهوية على اليمين:

$\displaystyle \bigl( A \ \lvert \ I \bigr)$

تمرين تم حله خطوة بخطوة للمصفوفة العكسية بطريقة 3x3 غاوس

لحساب المصفوفة العكسية، نحتاج إلى تحويل المصفوفة اليسرى إلى مصفوفة الهوية. وللقيام بذلك، نحتاج إلى تطبيق التحويلات على الصفوف حتى نصل إلى هناك.

سننتقل إلى الأعمدة، أي أننا سنجري عمليات على الصفوف لتحويل الأرقام الموجودة في العمود الأول أولاً، ثم تلك الموجودة في العمود الثاني، وأخيرًا تلك الموجودة في العمود الثالث.

إن الرقمين 1 و0 في العمود الأول مناسبان بالفعل، نظرًا لأن مصفوفة الهوية تحتوي أيضًا على 1 و0 في هذه المواضع. ولذلك، ليست هناك حاجة لتطبيق تحويل على هذه الصفوف في هذا الوقت.

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} \color{blue}\boxed{\color{black}1} & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right)$

ومع ذلك، فإن مصفوفة الهوية تحتوي على 0 في العنصر الأخير من العمود الأول، حيث لدينا الآن 1. لذلك نحن بحاجة إلى تحويل 1 إلى 0. للقيام بذلك، أضفنا الصف 1 مضروبًا في – إلى الصف 3.1 :

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \\ + & -1 & 0 & -1 & -1 & 0 & 0 \\ \hline & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_1} \\ \phantom{hline} \\ \end{array}$

فإذا قمنا بهذا المجموع، سنحصل على المصفوفة التالية:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - f_1} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

وبذلك نجحنا في تحويل 1 إلى 0.

الآن دعنا ننتقل إلى العمود الثاني من المصفوفة اليسرى. العنصر الأول هو 0، وهو أمر جيد لأن مصفوفة الهوية لديها 0 في نفس الموضع. ومع ذلك، بدلاً من 2 يجب أن يكون هناك 1، لذلك نقسم السطر الثاني على 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\[2ex] 1 & 5 & 4 &0 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2/2}\\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right)$

بالإضافة إلى ذلك، في العمود الثاني نحتاج أيضًا إلى تحويل 5 إلى 0. حسنًا، نظرًا لأن 5 أكبر بخمس مرات من 1 في الصف الثاني، فسنضيف الصف 2 مضروبًا في -5 إلى الصف 3:

$\begin{array}{lrrr|rrr} & 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ + & 0 & -5 & \sfrac{-5}{2} & 0 & \vphantom{\Bigl(}\sfrac{-5}{2} & 0 \\ \hline & 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} \vphantom{\Bigl(} & 1 \end{array} \begin{array}{l} \color{blue}\bm{\leftarrow f_3} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -5f_2}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

لذلك، بإجراء هذه العملية، ننتهي بالمصفوفة التي تحتوي على 0 في العنصر الأخير من العمود الثاني:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 5 & 3 & -1 & 0 & 1 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{f_3 - 5f_2} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)$

وأخيرا، سنقوم بتحويل العمود الأخير من المصفوفة إلى اليسار، ولكن هذه المرة يجب أن نبدأ من الأسفل. ولذلك فمن الضروري تحويل

$\sfrac{1}{2}$

إلى 1. لذلك، نضرب السطر الأخير في 2:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \sfrac{1}{2} & -1 & \sfrac{-5}{2} & 1 \end{array} \right)\begin{array}{c} \\[2ex] \\[2ex] \xrightarrow{2f_3} \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}1} & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

يجب علينا الآن تحويل

$\sfrac{1}{2}$

باقي العمود الأخير هو 0. ومع ذلك، هذه المرة لا يمكننا ضرب الصف بـ 2، لأننا سنقوم أيضًا بتحويل 1 إلى 2 (عندما تحتوي مصفوفة الهوية على 1 في هذا الموضع). لذلك، سنضيف السطر 3 مقسومًا على -2 إلى السطر 2:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 0 & 1 & \vphantom{\Bigl(} \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\ + & 0 & 0 &\vphantom{\Bigl(} -\sfrac{1}{2} & 1 & \sfrac{5}{2} & -1 \\ \hline & 0 & 1 & 0\phantom{0} & 1 & 3 \vphantom{\Bigl(} & -1 \end{array} \begin{array}{l}\vphantom{\Bigl(} \color{blue}\bm{\leftarrow f_2} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow f_3/(-2)}\vphantom{\Bigl(} \\ \phantom{hline} \vphantom{\Bigl(} \end{array}$

ومن خلال القيام بهذه العملية، تمكنا من تحويل

$\sfrac{1}{2}$

في 0:

$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \sfrac{1}{2} & 0 & \sfrac{1}{2} & 0 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \\[2ex] \xrightarrow{f_2-f_3/2} \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

أخيرًا، نحتاج فقط إلى تحويل 1 في الصف الأول من العمود الثالث إلى 0. يحتوي الصف الثالث أيضًا على 1 في نفس العمود، لذلك سنضيف الصف 3 مضروبًا في -1 إلى الصف 1:

$\begin{array}{lrrr|rcr} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ + & 0 & 0 & -1 & 2 & 5 & -2 \\ \hline & 1 & 0 & 0 & 3 & 5 & -2 \end{array} \begin{array}{l}\color{blue}\bm{\leftarrow f_1} \\ \color{blue}\bm{\leftarrow -f_3}\\ \phantom{hline} \end{array}$

ومن خلال القيام بهذه العملية نتمكن من تحويل 1 إلى 0:

$\ \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\[2ex] 0 & 1 &0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right) \begin{array}{c} \xrightarrow{f_1-f_3} \\[2ex] \\[2ex] & \end{array} \left( \begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & \color{blue}\boxed{\color{black}0} & 3 & 5 & -2 \\[2ex] 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & -1 \\[2ex] 0 & 0 & 1 & -2 & -5 & 2 \end{array} \right)$

بمجرد نجاحنا في تحويل المصفوفة اليسرى إلى مصفوفة هوية، فإننا نعرف أيضًا المصفوفة العكسية. لأن المصفوفة العكسية هي المصفوفة التي نحصل عليها في الجانب الأيمن عن طريق تحويل المصفوفة اليسرى إلى مصفوفة الهوية . وبالتالي فإن معكوس المصفوفة هو: