مشتق القاطع الزائدي

نشرح في هذه المقالة كيفية اشتقاق القاطع الزائدي للدالة. ستجد صيغة مشتقة القاطع الزائدي والعديد من الأمثلة العملية لهذا النوع من المشتقات.

صيغة مشتق القاطع الزائدي

مشتق القاطع الزائد لـ x يساوي ناقص حاصل ضرب القاطع الزائد لـ x في المماس الزائدي لـ x.

$f(x)=\text{sech}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sech}(x)\cdot \text{tanh}(x)$

ولذلك، فإن مشتقة القاطع الزائد للدالة هو ناقص حاصل ضرب القاطع الزائد للدالة في المماس الزائدي للدالة في مشتق الوظيفة المذكورة.

$f(x)=\text{sech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sech}(u)\cdot \text{tanh}(u)\cdot u'$

باختصار، صيغة مشتقة الدالة القاطعة الزائدية هي:

لاحظ أن كلا التعبيرين ينتميان بالفعل إلى صيغة واحدة. والفرق الوحيد هو أنه في الصيغة الثانية يتم تطبيق قاعدة السلسلة.

الآن بعد أن عرفنا صيغة مشتقة القاطع الزائدي، سنرى عدة تمارين محلولة لهذا النوع من المشتقات المثلثية.

$f(x)=\text{sech}(2x)$

في هذا المثال لدينا دالة مختلفة عن x في الوسيطة القاطعة الزائدية، لذا لاشتقاقها نحتاج إلى استخدام صيغة قاعدة السلسلة.

$f(x)=\text{sech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sech}(u)\cdot \text{tanh}(u)\cdot u'$

بما أن الدالة 2x خطية، فإن مشتقتها هي 2. لذلك، للعثور على المشتقة، نستبدل ببساطة u بـ 2x و u’ بـ 2 في الصيغة:

$f(x)=\text{sech}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sech}(2x)\cdot \text{tanh}(2x)\cdot 2$

$f(x)=\text{sech}(x^2)$

وظيفة هذا التمرين مركبة، حيث أن القاطع الزائدي له وظيفة أخرى في وسيطته. لذلك يجب علينا استخدام الصيغة القاطعة الزائدية مع قاعدة السلسلة لاشتقاقها:

$f(x)=\text{sech}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sech}(u)\cdot \text{tanh}(u)\cdot u'$

مشتق x مرفوع إلى 2 يعطي 2x، وبالتالي فإن مشتق القاطع الزائدي لـ x تربيع هو:

$f(x)=\text{sech}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sech}(x^2)\cdot \text{tanh}(x^2)\cdot 2x$