مشتق أركسين القطعي

ستجد هنا ما هو مشتق قوس الجيب الزائدي (الصيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من التمارين التي تم حلها حول مشتقات قوس الجيب الزائدي للدالة. وأخيرًا، نعرض لك صيغة مشتقة هذا النوع من الدوال المثلثية.

صيغة مشتقة أركسين الزائدية

مشتق قوس الجيب الزائدي لـ x هو واحد على الجذر التربيعي لـ x تربيع زائد 1.

$f(x)=\text{arcsenh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

إذن، مشتقة قوس جيب الزاوية الزائدي لدالة تساوي حاصل قسمة مشتقة تلك الدالة على الجذر التربيعي لتلك الدالة تربيع زائد واحد.

$f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}$

الصيغة الثانية تشبه الأولى ولكنها تطبق قاعدة السلسلة. أي أنه باستخدام الصيغة الأولى، يمكن فقط اشتقاق قوس جيب التمام الزائدي لـ xy، بينما باستخدام الصيغة الثانية، يمكن اشتقاق قوس جيب الجيب الزائدي لأي دالة.

ضع في اعتبارك أن قوس الجيب الزائدي هو الدالة العكسية للجيب الزائدي، والذي يمكنك رؤية مشتقته هنا:

➤ انظر: صيغة مشتقة الجيب الزائدي

أمثلة على مشتق أركسين القطعي

مثال 1

$f(x)=\text{arcsenh}(3x)$

لحل مشتق دالة أركسين، نستخدم الصيغة الموضحة أعلاه:

$f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}$

مشتقة 3x هي 3، لذا فإن 3 تدخل في البسط. وفي المقام نحتاج ببساطة إلى وضع الجذر التربيعي لـ 3x تربيع زائد 1:

$f(x)=\text{arcsenh}(3x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3}{\sqrt{(3x)^2+1}}=\cfrac{3}{\sqrt{9x^2+1}}$

مثال 2

$f(x)=\text{arcsenh}(x^3)$

لاشتقاق قوس الجيب الزائدي للدالة x مكعبة، يجب علينا تطبيق نفس الصيغة:

$f(x)=\text{arcsenh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{u^2+1}}$

مشتق x مكعب هو 3x ² ، لذا فإن مشتق قوس جيب التمام الزائدي لـ x مرفوعًا إلى 3 سيكون:

$f(x)=\text{arcsenh}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{3x^2}{\sqrt{\left(x^3\right)^2+1}}=\cfrac{3x^2}{\sqrt{x^6+1}}$