مشتق من جيب التمام الزائدي

نشرح في هذه المقالة كيفية استخلاص جيب التمام الزائدي للدالة. بالإضافة إلى ذلك، ستجد أمثلة على مشتقات جيب التمام الزائدية، وأخيرًا، سنعرض لك صيغة هذا النوع من المشتقات المثلثية.

صيغة مشتقة من جيب التمام الزائدي

مشتق جيب التمام الزائدي لـ x هو الجيب الزائدي لـ x.

f(x)=\text{cosh}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x)

ولذلك، فإن مشتق جيب التمام الزائدي للدالة يساوي منتج جيب التمام الزائدي للدالة ومشتق تلك الوظيفة.

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

الصيغة الثانية مطابقة للأولى، والفرق الوحيد هو أنه في الثانية يتم تطبيق قاعدة السلسلة. لذلك، يمكن استخدام الصيغة الأولى فقط لاشتقاق جيب التمام الزائدي لـ x، بينما يمكن استخدام الصيغة الثانية لاشتقاق جيب التمام الزائدي لأي نوع من الوظائف.

كما ترون، فإن صيغة مشتق جيب التمام الزائدي تختلف عن صيغة مشتق جيب التمام، على الرغم من أنهما يشتركان في بعض أوجه التشابه.

➤ انظر: صيغة مشتق جيب التمام

أمثلة على مشتق جيب التمام الزائدي

بالنظر إلى صيغة مشتق جيب التمام الزائدي، فإننا نحل عدة أمثلة لمشتقات هذا النوع من الدوال المثلثية أدناه. تذكر أنه يمكنك طرح أي أسئلة تطرأ في التعليقات.

مثال 1: مشتق من جيب التمام الزائدي لـ 2x

f(x)=\text{cosh}(2x)

في هذا المثال لدينا في وسيطة جيب التمام الزائدي دالة مختلفة عن x، لذلك يجب علينا استخدام صيغة مشتق جيب التمام الزائدي مع قاعدة السلسلة:

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

مشتق 2x هو 2، وبالتالي فإن مشتق جيب التمام الزائدي 2x هو جيب التمام الزائدي 2x ضرب 2.

f(x)=\text{cosh}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(2x)\cdot 2=2\text{cosh}(2x)

مثال 2: مشتق جيب التمام الزائدي لـ x تربيع

f(x)=\text{cosh}(x^2)

كما رأينا أعلاه، فإن قاعدة مشتقة دالة جيب التمام الزائدية هي:

f(x)=\text{cosh}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(u)\cdot u'

وهكذا نستنتج من ناحية الدالة التربيعية x 2 والتي تعطي 2x، ثم نحسب مشتقة الدالة بأكملها:

f(x)=\text{cosh}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{senh}(x^2)\cdot 2x

إثبات صيغة مشتق جيب التمام الزائدي

أخيرًا، سنعرض لك الصيغة المشتقة من جيب التمام الزائدي حتى تتمكن من معرفة مصدرها. إذا بدأنا من التعبير عن جيب التمام الزائدي:

\text{cosh}(x)=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}

نستنتج من طرفي التعبير:

\displaystyle\bigl(\text{cosh}(x)\bigr)'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'

على الجانب الأيمن لدينا القسمة، لذلك نطبق صيغة مشتقة خارج القسمة لإيجاد المشتقة:

\displaystyle\text{cosh}'(x)=\frac{(e^x-e^{-x})\cdot 2}{2^2}=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

➤ انظر: القاعدة المشتقة من خارج القسمة

إذا نظرت عن كثب، فإن التعبير الذي تم الحصول عليه يتوافق مع الجيب الزائدي، مما يعني أن المساواة التالية متكافئة:

\displaystyle\text{cosh}'(x)=\text{senh}(x)

وهكذا وصلنا إلى قاعدة مشتقة جيب التمام الزائدي، والتي تم إثباتها.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

Scroll to Top