مشتق من الثدي

نشرح في هذه المقالة كيفية إنشاء مشتق الجيب (الصيغة). ستجد أمثلة على مشتقات الدوال الجيبية وتمارين محلولة خطوة بخطوة للتدرب عليها. بالإضافة إلى ذلك، نعرض لك المشتقة الثانية لجيب الجيب، والمشتقة العكسية لجيب الجيب، كما نعرض صيغة مشتقة جيب الجيب.

ما هو مشتق جيب؟

مشتق دالة الجيب هو دالة جيب التمام. ولذلك، فإن مشتق جيب التمام x يساوي جيب التمام x.

f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)

إذا كانت هناك دالة في وسيطة الجيب، فإن مشتق الجيب هو جيب تمام الدالة المذكورة مضروبًا في مشتق الدالة.

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

يتم الحصول على هذه الصيغة الثانية لمشتق الجيب من خلال تطبيق قاعدة السلسلة على الصيغة الأولى. لذا، باختصار، صيغة مشتقة دالة الجيب هي:

مشتق من الثدي

أمثلة على مشتق الجيب

بمجرد أن عرفنا ما هي صيغة مشتقة الجيب، سنشرح عدة أمثلة لهذا النوع من المشتقات المثلثية حتى تفهم تمامًا كيفية اشتقاق دالة الجيب.

مثال 1: مشتق جيب التمام 2x

f(x)=\text{sen}(2x)

في وسيطة الجيب لدينا دالة مختلفة عن x، لذلك نحتاج إلى استخدام الصيغة التالية لاشتقاق الجيب:

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

مشتق 2x هو 2، لذا فإن مشتق الجيب 2x هو حاصل ضرب جيب تمام 2x في 2.

f(x)=\text{sen}(2x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(2x)\cdot 2=2\text{cos}(2x)

مثال 2: مشتق جيب x تربيع

f(x)=\text{sen}(x^2)

صيغة مشتقة دالة الجيب هي:

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

وبما أن مشتقة x 2 تساوي 2x، فإن مشتقة جيب الزاوية x مرفوعة للأس 2 هي:

f(x)=\text{sen}(x^2) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^2)\cdot 2x

مثال 3: مشتقة الجيب مكعبة

f(x)=\text{sen}^3(x^5+4x)

في هذا المثال، تتكون دالة الجيب من دالة أخرى، لذلك يجب علينا استخدام القاعدة التالية للتمييز بين الجيب:

f(x)=\text{sen}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u'

وبالتالي فإن مشتق الدالة هو:

f'(x)=3\text{sen}^2(x^5+4x)\cdot \text{cos}(x^5+4x)\cdot (5x^4+4)

➤ من أجل اشتقاق هذه الدالة، يجب عليك أيضًا تطبيق صيغة مشتق القوة .

المشتقة الثانية من الجيب

سنقوم بعد ذلك بتحليل المشتقة الثانية لدالة الجيب، لأنها دالة مثلثية، ولها خصائص معينة.

كما رأينا أعلاه، مشتقة الجيب هي جيب التمام. حسنًا، مشتق جيب التمام هو جيب التمام ولكنه تغير في الإشارة. وهو ما يعني أن المشتقة الثانية للجيب هي الجيب نفسه ولكن تغيرت علامته .

\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(x)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(x)\\[2ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(x)\end{array}

ومع ذلك، إذا لم تكن وسيطة الجيب x، يتغير هذا الشرط لأننا نحتاج إلى سحب مصطلح قاعدة السلسلة:

\begin{array}{c}f(x)=\text{sen}(u)\\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f'(x)=\text{cos}(u)\cdot u' \\[1.5ex] \quad\color{orange}\bm{\downarrow}\quad\color{black} \\[1.5ex] f''(x)=-\text{sen}(u)\cdot u'^2 +\text{cos}(u)\cdot u'' \end{array}

مشتق جيبي معكوس

كما تعلم جيدًا، كل دالة مثلثية لها دالة عكسية، لذا فإن الجيب العكسي قابل للاشتقاق أيضًا.

مشتقة الجيب العكسي تساوي حاصل قسمة مشتقة الدالة الوسيطة على الجذر التربيعي لواحد ناقص مربع الدالة الوسيطة.

f(x)=\text{sen}^{-1}(u) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{u'}{\sqrt{1-u^2}}

تذكر أن الجيب العكسي يسمى أيضًا قوس الجيب.

على سبيل المثال، مشتق الجيب العكسي لـ 5x هو:

f(x)=\text{sen}^{-1}(5x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{5}{\sqrt{1-(5x)^2}}=\cfrac{5}{\sqrt{1-25x^2}}

تمارين محلولة على مشتقة الجيب

احسب مشتقات الدوال الجيبية التالية:

\text{A) }f(x)=\text{sen}(7x)

\text{B) }f(x)=\text{sen}(x^2+5x-9)

\text{C) }\displaystyle f(x)=\text{sen}\left(\frac{x}{4}\right)

\text{D) }f(x)=\text{sen}^4(5x^3-10x^2)

\text{E) }f(x)=\text{sen}\bigl(\ln(x)\bigr)

\text{F) }f(x)=2\text{sen}(x^4-3x^3)-7\text{sen}^2(x^5)

\text{A) }f'(x)=7\text{cos}(7x)

\text{B) }f'(x)=\text{cos}(x^2+5x-9)\cdot (2x+5)

\text{C) }\displaystyle f'(x)=\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)\cdot \frac{1}{4}=\frac{\text{cos}\left(\frac{x}{4}\right)}{4}

\text{D) }f'(x)=4\text{sen}^3(5x^3-10x^2)\cdot \text{cos}(5x^3-10x^2)\cdot (15x^2-20x)

\text{E) }f'(x)=\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)\cdot \cfrac{1}{x} =\cfrac{\text{cos}\bigl(\ln(x)\bigr)}{x}

\text{F) }f'(x)=2\text{cos}(x^4-3x^3)\cdot (4x^3-9x^2)-14\text{sen}(x^5)\cdot \text{cos}(x^5)\cdot 5x^4

مظاهرة مشتق الجيب

سنبين في هذا القسم أن مشتقة جيب التمام لـ x هي جيب تمام x باستخدام تعريف المشتقة وهي:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

في هذه الحالة، الدالة المطلوب اشتقاقها هي sin(x)، وبالتالي:

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x+h)-\text{sen}(x)}{h}

يمكن إعادة كتابة جيب المجموع بتطبيق الهوية المثلثية التالية:

\text{sen}(a+b)=\text{sen}(a)\text{cos}(b)+\text{cos}(a)\text{sen}(b)

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(x)\text{cos}(h)+\text{cos}(x)\text{sen}(h)-\text{sen}(x)}{h}

نحول الكسر إلى كسرين لهما نفس المقام. يمكننا إجراء هذه العملية بفضل قانون نهاية المبلغ.

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\left[\frac{\text{sen}(x)(\text{cos}(h)-1)}{h}+\frac{\text{cos}(x)\text{sen}(h)}{h}\right]

\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\text{sen}(x)\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\lim_{h \to 0}\text{cos}(x)\frac{\text{sen}(h)}{h}

➤ انظر: قوانين الحدود

شروط جيب x وجيب التمام x لا تعتمد على قيمة h، وبالتالي يمكننا إخراجهم من الحد:

\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{cos}(h)-1}{h}+\text{cos}(x)\cdot\lim_{h \to 0}\frac{\text{sen}(h)}{h}

كل ما علينا فعله الآن هو تطبيق هاتين النهايتين المثلثيتين:

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\text{sen}(x)}{x}=1

\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\text{cos}(x)}{x}=0

➤ ملحوظة: يمكنك البحث عن توضيح الحدين المثلثيين السابقين في محرك البحث الخاص بموقعنا.

\displaystyle f'(x)=\text{sen}(x)\cdot 0+\text{cos}(x)\cdot 1

\displaystyle f'(x)=\text{cos}(x)

وبذلك نظهر أن مشتق جيب التمام لـ x هو جيب التمام لـ x.

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

Scroll to Top