معادلات المصفوفة

في هذه الصفحة سوف تتعلم ما هي المعادلات المصفوفية وكيفية حلها. بالإضافة إلى ذلك، ستجد أمثلة وتمارين محلولة للمعادلات باستخدام المصفوفات.

ما هي المعادلات المصفوفية؟

معادلات المصفوفات تشبه المعادلات العادية، ولكن بدلاً من أن تتكون من أرقام، فهي مكونة من مصفوفات. على سبيل المثال:

$\displaystyle AX=B$

ولذلك، فإن الحل X سيكون أيضًا مصفوفة.

كما تعلمون، لا يمكن تقسيم المصفوفات. ولذلك، لا يمكن مسح المصفوفة X بقسمة المصفوفة التي ضربتها على الجانب الآخر من المعادلة:

$\renewcommand{\CancelColor}{\color{red}} \xcancel{X =\cfrac{B}{A}}$

على العكس من ذلك، لمسح مصفوفة X، يجب اتباع الإجراء بأكمله. لذلك دعونا نرى كيفية حل معادلات المصفوفات من خلال تمرين تم حله:

كيفية حل معادلات المصفوفات. مثال:

حل معادلة المصفوفة التالية:

$\displaystyle AX+B = C$

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 5 \end{pmatrix} \qquad C =\begin{pmatrix} 2 & 1 \\[1.1ex] 6 & -3\end{pmatrix}$

أول شيء يتعين علينا القيام به هو إيجاد المصفوفة X. لذلك نطرح المصفوفة B من الجانب الآخر من المعادلة:

$\displaystyle AX+B = C$

$\displaystyle AX = C-B$

لإنهاء مسح المصفوفة لا يمكن تقسيمها. ولكن يجب علينا القيام بما يلي:

يجب علينا ضرب طرفي المعادلة في معكوس المصفوفة التي تضرب المصفوفة X ، بالإضافة إلى ضرب كلا الطرفين في الجانب الذي توجد فيه المصفوفة المذكورة.

في هذه الحالة، المصفوفة التي تضرب X هي A، وتقع على يسارها. لذلك نضرب في طرفي المعادلة الأيسر بعكس A (A ^-1 ):

$\displaystyle AX = C-B$

$\displaystyle \definecolor{vermell}{HTML}{F44336} \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot AX = \color{vermell}\bm{A^{-1}} \color{black} \cdot (C-B)$

المصفوفة مضروبة في معكوسها تساوي مصفوفة الهوية. حتى الآن

$\bm{A^{-1} \cdot A = I }:$

$\displaystyle IX = A^{-1} \cdot (C-B)$

أي مصفوفة مضروبة في مصفوفة الهوية تعطي نفس المصفوفة. حتى الآن:

$\displaystyle X = A^{-1} \cdot (C-B)$

وبهذه الطريقة قمنا بالفعل بمسح X. الآن قم فقط بإجراء عمليات المصفوفة. لذلك نقوم أولاً بحساب المصفوفة العكسية 2 × 2 لـ A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

نحسب المجاورة للمصفوفة A:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -4 \\[1.1ex] -1 & 2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

وبمجرد العثور على المصفوفة المجاورة، ننتقل إلى حساب المصفوفة المنقولة لتحديد المصفوفة العكسية:

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}3 & -1 \\[1.1ex] -4 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1 \end{pmatrix}$

الآن نعوض جميع المصفوفات في التعبير لحساب X:

$\displaystyle X = A^{-1} \cdot (C-B)$

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix} \cdot \left(\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}} 2 & 1 \\[1.3ex] 6 & -3\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} \vphantom{\frac{3}{2}}3 & -1 \\[1.3ex] 0 & 5 \end{pmatrix}\right)$

وننتقل إلى حل العمليات باستخدام المصفوفات. نحسب الأقواس أولًا عن طريق طرح المصفوفات:

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\[1.3ex] -2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} -1 & 2 \\[1.1ex] 6 & -8 \end{pmatrix}$

وأخيرًا، نضرب المصفوفات:

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} \frac{3}{2}\cdot (-1) + \left(-\frac{1}{2} \right) \cdot 6 & \frac{3}{2}\cdot 2 + \left(-\frac{1}{2} \right)\cdot (-8) \\[1.3ex] -2\cdot (-1)+1\cdot 6 & -2\cdot 2 +1\cdot (-8) \end{pmatrix}$

$\displaystyle X = \begin{pmatrix} -\frac{3}{2} -\frac{6}{2} & 3 + 4 \\[1.3ex] 2+6 & -4-8 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X =} \begin{pmatrix} \bm{-} \frac{\bm{9}}{\bm{2}} & \bm{7} \\[1.3ex] \bm{8} & \bm{-12} \end{pmatrix}$

حل مسائل المعادلات المصفوفية

لكي تتمكن من التدرب وبالتالي فهم المفهوم جيدًا، نتركك أدناه عدة معادلات مصفوفية تم حلها. يمكنك محاولة القيام بالتمارين ومعرفة ما إذا كنت قد نجحت في الحلول. ولا تنس أنه يمكنك أيضًا طرح أي أسئلة علينا في التعليقات.

التمرين 1

يكون

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

المصفوفات المربعة التالية ذات البعد 2×2:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

احسب المصفوفة

$X$

الذي يحقق معادلة المصفوفة التالية:

$\displaystyle AX=B$

انظر الحل

يجب عليك أولاً إفراغ المصفوفة

$X$

من معادلة المصفوفة:

$\displaystyle AX=B$

$\displaystyle A^{-1} \cdot AX=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle IX=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle X=A^{-1} \cdot B$

بمجرد حصولنا على المصفوفة

$X$

واضحة، تعمل فقط مع المصفوفات. لذلك نحسب أولاً المصفوفة العكسية لـ A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & -1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{1} \cdot \begin{pmatrix}0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}$

الآن نعوض بجميع المصفوفات في المعادلة لحساب المصفوفة

$X :$

$\displaystyle X=A^{-1} \cdot B$

$\displaystyle X= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] -1 & 3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 3 \end{pmatrix}$

وأخيرًا، نقوم بضرب المصفوفات:

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \bm{3} \\[1.1ex] \bm{-7} & \bm{7}\end{pmatrix}$

تمرين 2

يكون

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

$\displaystyle C$

الترتيب التالي 2 المصفوفات:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.1ex] 2 & -1 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{pmatrix}$

احسب المصفوفة

$X$

الذي يحقق معادلة المصفوفة التالية:

$\displaystyle A+ XB=C$

انظر الحل

أول شيء يتعين علينا القيام به هو إفراغ المصفوفة.

$X$

من معادلة المصفوفة:

$\displaystyle A+ XB=C$

$\displaystyle XB=C-A$

$\displaystyle XB \cdot B^{-1}=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle XI=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X = \left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

بمجرد عزل المصفوفة

$X$

، فمن الضروري أن تعمل مع المصفوفات. لذلك نقوم أولاً بحساب المصفوفة العكسية لـ B:

$\displaystyle B =\begin{pmatrix} -2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -3 \\[1.1ex] -1 & -2 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{3} \cdot \begin{pmatrix} -3 & -1 \\[1.1ex] -3 & -2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

الآن نعوض بجميع المصفوفات في المعادلة لحساب المصفوفة

$X :$

$\displaystyle X=\left(C-A\right)\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X=\left(\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 3 & -2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 & 6 \\[1.3ex] 2 & -1 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

نحل الأقواس بطرح المصفوفات:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 3 & -2 \\[1.3ex] 1 & -1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -1 & -\frac{1}{3} \\[1.3ex] -1 & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

وأخيرًا، نضرب المصفوفات:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} -3+2 & -1+\frac{4}{3} \\[1.3ex] -1+1 & -\frac{1}{3}+\frac{2}{3} \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{ -1} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \\[1.3ex] \bm{0} & \frac{\bm{1}}{\bm{3}} \end{pmatrix}$

التمرين 3

يكون

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

$\displaystyle C$

مصفوفات الدرجة الثانية التالية:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}\qquad C = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.1ex] 22 & 14 \end{pmatrix}$

العثور على المصفوفة

$X$

الذي يحقق معادلة المصفوفة التالية:

$\displaystyle AXB=C$

انظر الحل

أولا نحن بحاجة إلى مسح المصفوفة

$X$

من معادلة المصفوفة:

$\displaystyle AXB=C$

$\displaystyle A^{-1}\cdot AXB\cdot B^{-1}=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displastyle IXI=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displastyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

بمجرد قيامنا بإفراغ المصفوفة

$X$

، فمن الضروري أن تعمل مع المصفوفات. لذلك نحسب أولاً المصفوفة العكسية لـ A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} -1 & 1 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] -1 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.1ex] 1 & 1 \end{pmatrix}$

ونقوم أيضًا بعكس المصفوفة B:

$\displaystyle B =\begin{pmatrix} 4 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{\vert B \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(B)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -1 \\[1.1ex] 2 & 4 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle B^{-1} = \cfrac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\[1.1ex] -1 & 4 \end{pmatrix}$

$\displaystyle B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

الآن نعوض بجميع المصفوفات في التعبير لحساب المصفوفة

$X :$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot C\cdot B^{-1}$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] 1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 6 & 4 \\[1.3ex] 22 & 14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

نقوم أولاً بحل عملية الضرب على اليسار

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0+22 & 0+14 \\[1.3ex] 6+22 & 4+14 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 22 & 14 \\[1.3ex] 28 & 18 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[1.3ex] -\frac{1}{2} & 2 \end{pmatrix}$

وأخيرًا، نقوم بعملية الضرب المتبقية:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 0-7 & 22+28 \\[1.3ex] 0-9 & 28+36 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \bm{X=} \begin{pmatrix}\bm{-7} & \bm{50} \\[1.3ex] \bm{-9} & \bm{64} \end{pmatrix}$

التمرين 4

يكون

$\displaystyle A$

$\displaystyle B$

المصفوفات التالية ذات البعد 3×3 :

$\displaystyle A =\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

احسب المصفوفة

$X$

الذي يحقق معادلة المصفوفة التالية:

$\displaystyle B^{t}- AX=B$

انظر الحل

أولا نقوم بمسح المصفوفة

$X$

من معادلة المصفوفة:

$\displaystyle B^t- AX=B$

$\displaystyle B^t- B=AX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=A^{-1}\cdot AX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=IX$

$\displaystyle A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)=X$

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)$

بمجرد عزل المصفوفة

$X$

، فمن الضروري أن تعمل مع المصفوفات. لذلك نحسب أولاً المصفوفة العكسية لـ A:

$\displaystyle A =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{\vert A \vert } \cdot \Bigl( \text{Adj}(A)\Bigr)^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\\[4ex] -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \\[4ex] \begin{vmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = \cfrac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -2 \\[1.1ex] 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}^{\bm{t}}$

$\displaystyle A^{-1} = -1 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 2 & 1 \\[1.1ex] 0 & 1 & 0 \\[1.1ex] 1 & -2 & -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}$

الآن نعوض جميع المصفوفات في التعبير لحساب X:

$\displaystyle X=A^{-1}\cdot \left(B^t- B \right)$

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix}^t- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$

نقوم بتبديل المصفوفة B:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 1 \\[1.1ex] 0 & -2 & -1 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\[1.1ex] 2 & 3 & -2 \\[1.1ex] -3 & 1 & -1 \end{pmatrix} \right)$

نحل الأقواس بطرح المصفوفات:

$\displaystyle X=\begin{pmatrix} 2 & -2 & -1 \\[1.1ex] 0 & -1 & 0 \\[1.1ex] -1 & 2 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 0 & 3 & -3 \\[1.1ex] -3 & 0 & 3 \\[1.1ex] 3 & -3 & 0 \end{pmatrix}$

وأخيرًا، نقوم بضرب المصفوفة:

$\displaystyle \bm{X=}\begin{pmatrix} \bm{3} & \bm{9} & \bm{-12} \\[1.1ex] \bm{3} & \bm{0} & \bm{-3} \\[1.1ex] \bm{-3} & \bm{-6} & \bm{9} \end{pmatrix}$

ما هي المعادلات المصفوفية؟

كيفية حل معادلات المصفوفات. مثال:

حل مسائل المعادلات المصفوفية

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

اترك تعليقاً إلغاء الرد