ستجد في هذه الصفحة معنى المتجه المقيس وكيفية تطبيع أي متجه مع عدة أمثلة، في بعدين وثلاثة أبعاد. وبالإضافة إلى ذلك، سوف تجد الأدوات المساعدة لتطبيع المتجه.
ماذا يعني تطبيع المتجه؟
تعني تسوية المتجه تحويله إلى متجه له نفس الاتجاه ونفس الاتجاه ولكن بوحدة تساوي 1. وبعبارة أخرى، تتضمن عملية تسوية المتجه تغيير طوله مع الاحتفاظ باتجاهه واتجاهه.
وبالتالي، يتم استخدام المتجه المقيس بشكل أساسي للإشارة إلى الاتجاه والمعنى.
من ناحية أخرى، عندما تقوم بتطبيع متجه، فإنك تحسب أيضًا متجه الوحدة في نفس الوقت، لأن متجه الوحدة هو أي متجه حجمه هو 1.
صيغة لتطبيع ناقلات
لتطبيع المتجه، يجب تقسيم كل مكون من مكونات المتجه على الوحدة النمطية الخاصة به:
ذهب
هو ناقلات تطبيع
مثال لتطبيع المتجه في R2
على سبيل المثال، سنقوم بتطبيع المتجه ثنائي الأبعاد التالي:
نحتاج أولاً إلى حساب المعامل (أو السعة) للمتجه. في حال كنت لا تتذكر كيفية القيام بذلك، يمكنك التحقق من صيغة حجم المتجه هنا. لذلك نستخدم هذه الصيغة:
ثم نقسم المتجه على وحدته للحصول على المتجه المقيس:
عادة عندما يتم تسوية المتجه فإنه يظل ككسر، ولكن يمكنك تمريره إلى الكسور العشرية دون مشكلة.
مثال لتطبيع المتجه في R3
لذا يمكنك أن ترى مثالًا آخر، سنقوم بتطبيع المتجه ثلاثي الأبعاد التالي:
أولا، نحسب حجم المتجه:
وأخيرًا، نقسم المتجه على وحدته لتطبيعه:
ما هو الهدف من تطبيع المتجه؟
إن رؤية تطبيقات تطبيع المتجهات ليس بالأمر السهل، بل قد يبدو أن المتجه المقيس أسوأ من المتجه “العادي”، لأنه غالبًا ما يحتوي على كسور ويكون العمل مع الكسور أكثر صعوبة.
ومع ذلك، يتم تبسيط بعض عمليات المتجهات إلى حد كبير إذا تم استخدام المتجهات المقيسة. على سبيل المثال، يكون إيجاد الزاوية بين متجهين أسهل إذا كان لكل منهما معامل (أو مقدار) يساوي واحدًا. علاوة على ذلك، فإن الزاوية التي يشكلها متجهان لا تعتمد على طولهما بل على اتجاههما، لذا فمن الممكن تمامًا تسوية المتجهين أولًا ثم إيجاد الزاوية التي يشكلانها.
إذا كنت مهتمًا أكثر بكيفية حساب الزاوية بين متجهين ولماذا يكون من الأسهل القيام بذلك باستخدام المتجهات المقيسة، فيمكنك التحقق من صفحة الزاوية بين متجهين . ستجد هنا جميع الشروحات بالإضافة إلى الأمثلة والتمارين المحلولة.
هذه الخاصية الخاصة بالمتجهات المقيسة مفيدة جدًا على المستوى الحسابي. نظرًا لأن الوقت الذي توفره لإجراء عملية متجهة واحدة منخفض حقًا. ولكن إذا كان لا بد من إجراء عشرات الآلاف من العمليات، كما هو الحال مع جهاز الكمبيوتر، فإن توفير الوقت يكون كبيرًا.
أخيرًا، قواعد المتجهات شائعة الاستخدام هي قواعد متعامدة، لأنه من الأسهل التعبير عن إحداثيات المتجه، بالإضافة إلى أنها تسهل العديد من العمليات الحسابية باستخدام المصفوفات في الجبر الخطي. حسنًا، جميع المتجهات لهذا النوع من القواعد هي متجهات مقيسة. على سبيل المثال، نظام الإحداثيات الديكارتية هو أساس متعامد.
في الختام، المتجهات المقيسة ليست ضرورية تمامًا حيث يمكن إجراء جميع العمليات بين المتجهات بدونها، ولكنها تسهل العمليات الحسابية إلى حد كبير.