ما هو الفاصل الرياضي؟

فترات الرياضيات هي مجموعة من الأرقام التي تقع بين قيمتين محددتين.

قد يتم أو لا يتم تضمين هذه القيم في الفاصل الزمني الذي يُشار إليه برموز خاصة. تُستخدم الفواصل الزمنية في الرياضيات والإحصاء لوصف مجموعة من القيم.

بعبارات بسيطة، لفهم الفاصل الرياضي بشكل أفضل، فهو عبارة عن أرقام حقيقية بين النقطة A والنقطة B. ومن الجدير بالذكر أنه يُعرف أيضًا باسم مجموعة فرعية من الخط الحقيقي.

على سبيل المثال، إذا أردنا تمثيل نطاق الأعداد الحقيقية من 1 إلى 5، فسنكتبه بالشكل [1،5]، حيث تشير الأقواس إلى أن النهايات متضمنة في النطاق.

بشكل عام، يتم تمثيل الفاصل الرياضي بواسطة [a,b]، حيث “a” هي القيمة الدنيا و”b” هي القيمة القصوى.

ومع ذلك، اعتمادًا على السياق، يمكن أيضًا استخدام رموز أخرى، مثل (a,b) للإشارة إلى أن الحدود غير متضمنة في الفترة، أو (a, +∞) أو (-∞,b) لتمثيل اللانهاية فترات في اتجاه واحد أو آخر.

كيف يتم تصنيف الفواصل الرياضية؟

يمكن تصنيف الفترات الرياضية حسب طولها المتري إلى نوعين:

• الفترات المحدودة : هي الفترات التي تحتوي على عدد محدود من العناصر وبداية ونهاية محددة. على سبيل المثال، الفترة [2، 5] هي فترة محدودة تتضمن الأرقام 2، 3، 4 و5.
• الفترات اللانهائية : هي الفترات التي تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر وبداية أو نهاية غير محددة. على سبيل المثال، الفترة (-∞، 5) هي فترة لا نهائية تتضمن جميع الأعداد الحقيقية الأقل من 5، من اللانهاية السالبة إلى 5.

في الرياضيات والإحصاء، من المهم ملاحظة ما إذا كانت الفترة محدودة أم لا نهائية، لأن الفترات المحدودة واللانهائية لها خصائص مختلفة وتستخدم بطرق مختلفة.

على سبيل المثال، يمكن استخدام الفواصل الزمنية المحدودة لوصف نطاق منفصل من القيم، بينما يتم استخدام الفواصل اللانهائية لوصف نطاق مستمر من القيم.

ما هي أنواع الفترات الرياضية لحل عدم المساواة؟

بالإضافة إلى تصنيفها، يجب أن نأخذ في الاعتبار أن هناك ثلاثة أنواع من الفترات حسب خصائصها الطوبولوجية. نحن وصف كل أدناه.

1. الفاصل الزمني المفتوح

ويظهر بين قوسين ولا يشمل الأطراف.

على سبيل المثال، تتضمن الفترة (3، 5) جميع الأعداد الحقيقية بين 3 و5، ولكنها لا تتضمن 3 أو 5. ويمكن تمثيلها بيانيًا كخط به نقطتان في نهايته وسهمين للداخل يشيران إلى أن النهايتين متساويتان. غير مشمول.

نصيحة : عند العمل بفواصل زمنية مفتوحة، من المهم ملاحظة أن نقاط النهاية غير متضمنة وأن هناك أرقامًا حقيقية تقع ضمن الفترة.

2. فاصل زمني مغلق

يتم تمثيله بين قوسين ويتضمن النهايات.

على سبيل المثال، يتضمن الفاصل الزمني [3، 5] 3 و5. ويمكن تمثيله بيانيًا كخط به نقطتان عند نقطتي النهاية وسهمين للخارج يشيران إلى تضمين نقطتي النهاية.

نصيحة : عند العمل بفواصل زمنية مغلقة، من المهم ملاحظة أن نقاط النهاية مضمنة وأن أي رقم بين نقاط النهاية يقع أيضًا ضمن الفاصل الزمني.

3. الفاصل الزمني شبه المفتوح

يتم تمثيله بقوسين وقوسين ويتضمن فترة أخيرة واحدة فقط.

على سبيل المثال، تتضمن الفترة (3، 5) جميع الأعداد الحقيقية بين 3 و5، بما في ذلك 5، ولكن ليس 3.

يمكن تمثيله بيانيًا كخط به نقطتان في أحد طرفيه، وسهم للداخل في أحد الطرفين، وسهم للخارج في الطرف الآخر للإشارة إلى أن أحد الطرفين متضمن والآخر غير متضمن.

لاحظ أن هذه الفترات ممثلة إما نصف مفتوحة على اليسار أو نصف مفتوحة على اليمين.

نصيحة : عند العمل بفواصل نصف مفتوحة، من المهم ملاحظة أنه تم تضمين نقطة نهاية واحدة فقط وأن هناك أرقامًا حقيقية تقع ضمن الفاصل الزمني. دعونا نرى جدول توضيحي صغير في كل حالة.

الآن دعونا نلقي نظرة على الجدول الفاصل التالي وتصنيفه لتبسيط المعلومات بشكل أكبر:

ما هو نطاق المتغير؟

نطاق المتغير عبارة عن مجموعة من القيم التي يمكن أن تأخذ متغيرًا معينًا أو عينة إحصائية . أي أنها مجموعة من القيم التي يمكن أن يختلف المتغير ضمنها.

على سبيل المثال، إذا تم تعريف المتغير “x” في النطاق [0، 10]، فهذا يعني أن “x” يمكن أن يأخذ أي قيمة حقيقية من 0 إلى 10، بما في ذلك 0 و10.

يمكن تمثيل فترة المتغير رياضياً باستخدام الرمز المذكور في الإجابة السابقة، أي بين قوسين مربعين إذا كانت النهايات داخلة في الفترة، أو بين قوسين إذا لم تكن النهايات داخلة.

يعد مفهوم الفاصل الزمني للمتغير مهمًا في العديد من مجالات الرياضيات، مثل نظرية الوظيفة ونظرية الأعداد ونظرية الاحتمالات ونظرية التحسين وغيرها.

في هذه المجالات، يتم استخدام نطاق المتغير لوضع قيود على التحليل ولإصدار بيانات دقيقة حول سلوك المتغير في سياق معين. وهنا بعض الأمثلة:

• الاتحاد : يتم تعريف اتحاد فترتين على أنه الفاصل الزمني الأكبر الذي يتضمن كلا الفترتين الأصليتين. على سبيل المثال، اتحاد الفترات [3، 6] و [4، 8] هو [3، 8].
• التقاطع : يتم تعريف تقاطع فترتين على أنه أصغر فاصل زمني متضمن في الفترتين الأصليتين. على سبيل المثال، تقاطع الفترات [3، 6] و [4، 8] هو [4، 6].
• تكملة : يتم تعريف تكملة الفترة على أنها مجموعة الأعداد الحقيقية التي ليست في الفترة الأصلية. على سبيل المثال، مكمل الفترة [3, 6] هو (-∞, 3) ∪ (6, +∞).
• الإضافة : يتم تعريف إضافة فترتين على أنها الفترة الزمنية للنتائج التي نحصل عليها عن طريق إضافة أي زوج من الأرقام في الفواصل الزمنية الأصلية. على سبيل المثال، مجموع الفواصل الزمنية [3، 6] و [4، 8] هو [7، 14].
• الضرب : يتم تعريف ضرب فترتين على أنه الفاصل الزمني للنتائج التي نحصل عليها بضرب أي زوج من الأرقام في الفواصل الزمنية الأصلية. على سبيل المثال، حاصل ضرب الفترات [3، 6] و [4، 8] هو [12، 48].

هذه مجرد أمثلة قليلة للعمليات التي يمكن إجراؤها بفواصل رياضية.

ومن المهم ملاحظة أنه، اعتمادًا على السياق، قد يكون من الضروري استخدام تقنيات أكثر تقدمًا لحساب نتيجة بعض هذه العمليات.

أمثلة على العمليات ذات الفواصل الرياضية

فيما يلي بعض الأمثلة العملية للعمليات التي يمكن إجراؤها بفواصل رياضية. تذكر أنه إذا لم تفهم رمزًا ما، يمكنك الرجوع إلى مقالتنا حول الرموز الرياضية ، وستجد بالتأكيد شرحًا لاستخدام هذا الرمز.

1. الاتحاد : لنفترض أن لدينا الفترات [1، 3] و [2، 4]. اتحاد هذه الفترات هو [1، 4]، حيث أن هذا الفاصل يشمل جميع الأرقام الموجودة في أي من الفترتين الأصليتين:

[1، 3] ش [2، 4] = [1، 4]

2. التقاطع : لنفترض أن لدينا الفترات [1، 3] و [2، 4]. تقاطع هذه الفترات هو [2، 3]، حيث أن هذا الفاصل يشمل فقط الأرقام المرتبطة في الفترتين الأصليتين:

[1، 3] ∩ [2، 4] = [2، 3]

3. الجمع : لنفترض أن لدينا الفترات [1، 3] و [2، 4]. جمع هذه الفترات هو [3، 7]، حيث أن هذه الفترة تشمل جميع النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق إضافة أي زوج من الأرقام في الفترات الأصلية:

[1، 3] + [2، 4] = [3، 7]

4. الضرب : لنفترض أن لدينا الفترات [-2، -1] و [2، 3]. ضرب هذه الفترات هو [-6, -2]، حيث أن هذه الفترة تشمل جميع النتائج التي تم الحصول عليها عن طريق ضرب أي زوج من الأرقام في الفترات الأصلية:

[-2، -1] · [2، 3] = [-6، -2]

نصائح لتعلم فترات الرياضيات بطريقة سهلة

في الواقع، قد يبدو من الصعب الحديث عن الفترات الرياضية. ومع ذلك، يصبح الأمر أسهل بكثير عند تطبيق النصائح التالية:

1. فهم الأساسيات – قبل البدء في التعامل مع الفواصل الرياضية، من المهم أن تفهم الأساسيات، مثل الأعداد الحقيقية ، والمتباينات، وما إلى ذلك.

2. ممارسة التمارين البسيطة : بمجرد فهم الأساسيات، ابدأ في ممارسة التمارين البسيطة التي تتضمن فترات رياضية. ستساعدك هذه التمارين على فهم كيفية عمل الفواصل الزمنية وكيفية إجراء العمليات عليها بشكل أفضل. وهنا بعض الأمثلة:

• حدد نطاق الأعداد الذي يحقق المتراجحة : على سبيل المثال، ابحث عن نطاق الأعداد x الذي يحقق المتراجحة x > 2.
• الحل : فترة الأعداد x التي تحقق المتراجحة x > 2 هي (2, +∞).
• تحديد ما إذا كان الرقم يقع في نطاق معين : على سبيل المثال، تحديد ما إذا كان الرقم 5 يقع في النطاق [2، 6].
• الحل : نعم، الرقم 5 موجود في الفترة [2، 6].
• إجراء العمليات على فترات : على سبيل المثال، بمعرفة الفترات A = [2, 4] و B = [3, 5]، أوجد الفترة الزمنية للمجموع A + B.
• الحل : الفاصل الزمني للمجموع A + B هو [5، 9].

3. استخدم الرسوم البيانية والمخططات : يمكن أن تكون الرسوم البيانية والمخططات مفيدة جدًا في تصور الفواصل الرياضية وفهم كيفية عملها بشكل أفضل. فكر في استخدامها لعرض الأمثلة وحل التمارين.