المعادلات البارامترية للخط

ستجد في هذه الصفحة كيفية حساب المعادلات البارامترية لأي خط، إما من نقطة ومتجه، أو من نقطتين. سوف تكتشف أيضًا كيفية الحصول على نقاط مختلفة على الخط باستخدام معادلاته البارامترية. علاوة على ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها.

كيفية العثور على المعادلات البارامترية للخط

لتحديد المعادلات البارامترية لأي خط، تحتاج فقط إلى متجه اتجاهه ونقطة تنتمي إلى الخط.

نعم

$\vv{\text{v}}$

هو متجه الاتجاه للخط و

$P$

النقطة التي تنتمي إلى اليمين:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

صيغة المعادلات البارامترية للخط هي:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
$P_1$

و

$P_2$

هي إحداثيات نقطة معروفة تشكل جزءًا من الخط.
$\text{v}_1$

و

$\text{v}_2$

هي مكونات متجه الاتجاه للخط.
$t$

هو عددي (عدد حقيقي) تعتمد قيمته على كل نقطة على السطر.

ولذلك، المعادلات البارامترية هي وسيلة للتعبير عن خط تحليليا.

المعادلات البارامترية للخط ثلاثي الأبعاد

هذه هي المعادلات البارامترية للخط في المستوى، أي عند العمل مع نقاط ومتجهات إحداثيتين (في R2). ومع ذلك، إذا كنا نقوم بإجراء حسابات في الفضاء (في R3)، فسنحتاج إلى إضافة معادلة إضافية للمكون الثالث Z:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \\[1.7ex] z=P_3+t\cdot\text{v}_3\end{cases}$

من ناحية أخرى، ضع في اعتبارك أنه بصرف النظر عن المعادلات البارامترية، هناك طرق أخرى لوصف الخط رياضيًا: المعادلة المتجهة، والمعادلة المستمرة، والمعادلة الضمنية (أو العامة)، والمعادلة الصريحة، ومعادلة نقطة الميل ألين. يمكنك التحقق من ما هو كل واحد منهم على موقعنا.

مثال لتحديد المعادلات البارامترية للخط

الآن دعونا نرى كيفية العثور على المعادلات البارامترية للخط باستخدام مثال:

اكتب المعادلات البارامترية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة
$P$

ولديه

$\vv{\text{v}}$

كمتجه توجيهي:

$\vv{\text{v}}= (3,-2) \qquad P(4,1)$

لحساب المعادلات البارامترية للخط، نحتاج إلى تطبيق صيغته:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

لذلك، نعوض بإحداثيات النقطة ومتجه الاتجاه في الصيغة:

$\displaystyle \begin{cases} x=4+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=1+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=4+3t \\[1.7ex] y=1-2t \end{cases}$

الحصول على نقاط من المعادلات البارامترية للخط

بمجرد العثور على المعادلات البارامترية للخط، يصبح من السهل جدًا حساب النقاط التي يمر عبرها الخط. لتحديد نقطة على الخط ، يجب عليك إعطاء قيمة للمعلمة

$\bm{t}$

المعادلات البارامترية للخط.

على سبيل المثال، بالنظر إلى المعادلات البارامترية التالية للخط:

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t \\[1.7ex] y=-1+3t \end{cases}$

يمكننا الحصول على نقطة على السطر عن طريق الاستبدال

$t$

بأي رقم مثلا

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+1= 3 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 1=2 \end{cases}$

$\bm{A(3,2)}$

ويمكننا حساب نقطة أخرى على السطر إذا عوضنا بالمتغير

$t$

برقم مختلف مثلا

$t=2:$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+2= 4 \\[1.7ex] y=-1+3\cdot 2=5 \end{cases}$

$\bm{B(4,5)}$

لذلك، يمكننا الحصول على عدد لا نهائي من النقاط على الخط، لأن المتغير

$t$

يمكن أن تأخذ قيمًا لا نهائية.

كيفية حساب المعادلات البارامترية للخط من نقطتين

مشكلة نموذجية أخرى في المعادلات البارامترية هي أنها تعطينا نقطتين تنتميان إلى الخط وعلينا حساب المعادلات البارامترية منهما. دعونا نرى كيف يتم حلها عن طريق مثال:

أوجد المعادلات البارامترية للخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$A(2,4) \qquad B(5,-3)$

كما رأينا في الأقسام أعلاه، لإيجاد المعادلات البارامترية لخط ما، نحتاج إلى متجه اتجاهه ونقطة عليه. لدينا بالفعل نقطة على اليمين، لكننا نفتقد متجه اتجاهها. لذا نحتاج أولاً إلى حساب متجه الاتجاه للخط ثم المعادلات البارامترية .

للعثور على متجه الاتجاه للخط، ما عليك سوى حساب المتجه المحدد بالنقطتين الواردتين في التعبير:

$\vv{AB} = B - A = (5,-3) - (2,4) = (3,-7)$

وبمجرد أن نعرف أيضًا متجه الاتجاه للخط، للعثور على معادلاته البارامترية، نحتاج فقط إلى تطبيق الصيغة:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+t\cdot 3 \\[1.7ex] y=4+t\cdot(-7) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=2+3t \\[1.7ex] y=4-7t \end{cases}$

في هذه الحالة أخذنا النقطة أ لتعريف المعادلات البارامترية، ولكن من الصحيح أيضًا كتابتها مع النقطة الأخرى التي تقدمها لنا في العبارة:

$\displaystyle \begin{cases} x=5+3t \\[1.7ex] y=-3-7t \end{cases}$

حل مسائل المعادلات البارامترية للخط

التمرين 1

أوجد المعادلة البارامترية للخط الذي يكون اتجاهه متجهًا

$\vv{\text{v}}$

ويمر عبر النقطة

$P:$

$\vv{\text{v}}= (-1,-2) \qquad P(5,0)$

انظر الحل

للعثور على المعادلات البارامترية للخط، ما عليك سوى تطبيق صيغته:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=0+t\cdot(-2) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=5-t \\[1.7ex] y=-2t \end{cases}$

تمرين 2

احسب نقطتين مختلفتين من السطر التالي المحددين بالمعادلات البارامترية:

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5t \\[1.7ex] y=-4-3t \end{cases}$

انظر الحل

للحصول على نقاط من خط معبر عنه بالمعادلات البارامترية، يجب إعطاء قيم للمعلمة

$t.$

ولذلك، لحساب النقطة الأولى، نعوض بالمجهول

$t$

على سبيل المثال بواسطة

$t=0:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 0 = 1 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 0 = -4 \end{cases}$

$\bm{A(1,-4)}$

وللعثور على النقطة الثانية على السطر الذي نعطيه

$t$

على سبيل المثال قيمة

$t=1:$

$\displaystyle \begin{cases} x=1+5\cdot 1 = 6 \\[1.7ex] y=-4-3\cdot 1 = -7 \end{cases}$

$\bm{B(6,-7)}$

ربما تكون قد حصلت على نقاط مختلفة، لأن ذلك يعتمد على القيم التي تعطيها للمعلمة

$t.$

ولكن إذا اتبعت نفس الإجراء، فكل شيء على ما يرام.

التمرين 3

نظرا للنقطة التالية:

$P(3,-1)$

حدد ما إذا كانت هذه النقطة تنتمي إلى السطر التالي أم لا:

$\displaystyle \begin{cases} x=-3+2t \\[1.7ex] y=1+2t \end{cases}$

انظر الحل

للتحقق مما إذا كانت النقطة تنتمي إلى الخط، يجب عليك استبدال إحداثياتها في معادلات الخط ومعرفة ما إذا كنا نجد في كل معادلة نفس قيمة المعلمة

$t.$

في مثل هذه الحالة، يعني أن النقطة جزء من الخط، وإلا فإنه يعني أن الخط لا يمر بهذه النقطة.

وبالتالي، نعوض بإحداثيات النقطة في المعادلات البارامترية للخط:

$\displaystyle \begin{cases} 3=-3+2t \\[1.7ex] -1=1+2t \end{cases}$

ونحل المعادلتين الناتجتين:

إحداثيات X

$3 = -3 +2t$

$3+3 = 2t$

$6=2t$

$\cfrac{6}{2}=t$

$3=t$

إحداثيات ص

$-1 = 1 +2t$

$-1-1 = 2t$

$-2=2t$

$\cfrac{-2}{2}=t$

$-1=t$

لقد حصلنا على قيمتين

$t$

مختلفة، وبالتالي فإن النقطة ليست على السطر.

التمرين 4

احسب المعادلات البارامترية للخط الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$A(-1,4) \qquad B(-2,4)$

انظر الحل

لحساب المعادلات البارامترية لخط ما، علينا معرفة متجه اتجاهه وإحدى نقاطه. في هذه الحالة، لدينا بالفعل نقطة على الخط، لكننا نفتقد متجه اتجاهها. لذلك يجب علينا أولًا حساب متجه الاتجاه للخط ثم المعادلات البارامترية.

للعثور على متجه الاتجاه للخط، ما عليك سوى حساب المتجه المحدد بالنقطتين الواردتين في التعبير:

$\vv{AB} = B - A = (-2,4) - (-1,4) = (-1,0)$

وبمجرد أن نعرف بالفعل اتجاه الخط، للعثور على معادلاته البارامترية، فإننا ببساطة نطبق الصيغة:

$\displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1+t\cdot (-1) \\[1.7ex] y=4+t\cdot 0 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases} x=-1-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

في هذه الحالة اخترنا النقطة أ لتعريف المعادلات البارامترية، لكن من الصحيح أيضًا كتابتها مع النقطة الأخرى التي تقدمها لنا في العبارة:

$\displaystyle \begin{cases} x=-2-t\\[1.7ex] y=4 \end{cases}$

تطبيقات المعادلات البارامترية

من الواضح أن الاستخدام الرئيسي للمعادلات البارامترية هو تحديد الخطوط، كما رأينا. ومع ذلك، تستخدم المعادلات البارامترية أيضًا لوصف أنواع أخرى من العناصر الهندسية.

على سبيل المثال، يمكن التعبير عن أي محيط بواسطة المعادلات البارامترية. نعم

$r$

هو نصف قطر الدائرة و

$C(x_0,y_0)$

هي إحداثيات مركزها، ومعلمات الدائرة هي:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+r\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+r\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

وبالمثل، يمكن أيضًا تكوين القطع الناقص . نعم

$C(x_0,y_0)$

هي إحداثيات مركز القطع الناقص،

$a$

نصف قطرها الأفقي و

$b$

نصف قطرها العمودي، والمعادلات البارامترية للقطع الناقص هي:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+a\cdot \text{cos}(t) \\[1.7ex] y=y_0+b\cdot\text{sen}(t) \end{cases}$

وبالمثل، يمكن إجراء تمثيل بارامتري للمنحنيات الأخرى، مثل القطع المكافئ أو حتى القطع الزائد. على الرغم من أننا لا نعرضها في هذه المقالة لأنها أكثر تعقيدًا.

وأخيرا، يمكن أيضا تعريف الخطة بتعبير حدودي. في الواقع، المعادلات البارامترية للمستوى هي:

$\displaystyle \begin{cases} x=x_0+\lambda\cdot \text{u}_1 + \mu \cdot \text{v}_1 \\[1.7ex] y=y_0+\lambda\cdot \text{u}_2 + \mu \cdot \text{v}_2 \\[1.7ex] z=z_0+\lambda\cdot \text{u}_3 + \mu \cdot \text{v}_3 \end{cases}$