منتج المجموع بالفرق (هوية رائعة)

ستجد في هذه الصفحة صيغة حاصل ضرب المجموع والفرق. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية أمثلة لتطبيق صيغة هذا النوع الرائع من الهوية، وستكون قادرًا أيضًا على التدرب على التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

ما هو حاصل ضرب المجموع والفرق؟

في الرياضيات، يشير مفهوم حاصل ضرب المجموع بالفرق إلى أحد المعادلات البارزة ، وتسمى أيضًا المتطابقات البارزة أو حاصل الضرب البارز.

وبشكل أكثر دقة، يكون التعبير عن حاصل ضرب المجموع في الفرق بالصيغة (a+b)·(ab) ، حيث (a+b) يتوافق مع مجموع حدين مختلفين، و (ab) هو الفرق من نفس هذين المصطلحين.

صيغة منتج المجموع بالفرق

الآن بعد أن عرفنا التعريف الرياضي لحاصل ضرب مجموع الفرق، دعونا نرى ما هي الصيغة المستخدمة لحل هذا النوع الرائع من المتطابقات:

ولذلك فإن حاصل ضرب المجموع في الفرق بين حدين يساوي الفرق بين مربعي هذين الحدين . بمعنى آخر، ضرب مجموع حدين مختلفين بطرح نفس هذين الحدين يعادل تربيع كل حد من الحدين وطرحهما.

وهذا يعني أنه يمكن تحليل الاختلافات في المربعات إلى منتجات ضرب المبالغ في الاختلافات. على الرغم من أن الأمر قد يبدو معقدًا بالنسبة لك الآن، إلا أننا نشرح في الصفحة المرتبطة خدعة تسمح لك بتحليل هذا النوع من كثيرات الحدود في خطوتين بسيطتين. انقر من خلال ومعرفة كيف يتم ذلك.

أمثلة على منتجات المبالغ بالاختلافات

بمجرد أن نعرف صيغة حاصل ضرب المجموع والفرق، سنرى بعد ذلك العديد من الأمثلة التي تم حلها حتى تتمكن من فهم كيفية حل هذا النوع الرائع من المساواة بشكل أفضل.

مثال 1

احسب، بتطبيق الصيغة، حاصل الضرب التالي للمجموع بالفرق بين حدين مختلفين:

$(x+2)\cdot (x-2)$

صيغة حاصل ضرب المجموع بالفرق هي كما يلي:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

لذا فإن أول شيء يتعين علينا القيام به هو تحديد قيم المعلمات

$a$

$b$

من الصيغة. في هذه الحالة

$a$

تتوافق مع المتغير

$x$

$b$

تتوافق مع رقم 2

$\left. \begin{array}{l} (a+b)\cdot (a-b) \\[2ex] (x+2)\cdot (x-2) \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x \\[2ex] b=2 \end{array}$

والآن بعد أن عرفنا القيم التي تأخذها المعلمات

$a$

$b,$

يمكننا تطبيق صيغة حاصل ضرب المجموع بالفرق:

كما ترون، فإن حاصل ضرب المجموع بالفارق سيعطي دائمًا حدًا سلبيًا. ومع ذلك، لا ينبغي الخلط بين هذا وبين الهوية الرائعة لمربع الطرح. إذا كانت لديك أي شكوك، فنوصيك بإلقاء نظرة على ما هي صيغة مربع الفرق ، حيث ستكتشف أيضًا الاختلافات بين هاتين الهويتين الرائعتين

مثال 2

أوجد، باستخدام الصيغة، المنتج التالي للمجموع بالفرق بين حدين:

$(3x+5)\cdot (3x-5)$

صيغة حاصل ضرب المجموع بالفرق هي كما يلي:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

لذلك، في هذه الحالة

$a=3x$

$b=5$

. لذلك إذا طبقنا صيغة الجمع على الفرق نحصل على التعبير الجبري التالي:

$(3x+5)\cdot (3x-5) = (3x)^2-5^2 = 9x^2-25$

مثال 3

حل باستخدام الصيغة المنتج التالي للمجموع بفارق اثنين من أحاديات الحد:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)$

بما أن الضرب له خاصية الإبدال، فإن ضرب الفرق أولًا ثم مجموع الكميتين يعادل ضرب نفس الأقواس في الاتجاه المعاكس.

$(4x-2y)\cdot (4x+2y) = (4x+2y)\cdot (4x-2y)$

لذلك، على الرغم من أنه في هذه الحالة يكون حاصل الضرب معكوسًا، أي قبل أن يكون الجمع هو الطرح، إلا أن النتيجة تظل كما هي في الصيغة:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

$(a-b)\cdot (a+b) =a^2-b^2$

حتى في هذه المشكلة

$a=4x$

$b=2y$

. وعندما حددنا قيمة كل مجهول يمكننا استخدام الصيغة لحساب المنتج البارز:

$(4x-2y)\cdot (4x+2y)= (4x)^2-(2y)^2 = 16x^2-4y^2$

مظاهرة المبلغ عن طريق صيغة الفرق

يمكن بسهولة إثبات صيغة مجموع مرات الفرق التي درسناها للتو.

إذا بدأنا من حاصل ضرب المجموع بطرح أي حدين:

$(a+b)\cdot (a-b)$

ما عليك سوى ضرب القوس الأول في القوس الثاني باستخدام خاصية التوزيع:

$\begin{array}{l}(a+b)\cdot (a-b)= \\[2ex] = a\cdot a +a\cdot (-b) +b \cdot a +b\cdot (-b) =\\[2ex] = a^2 -ab+ba-b^2\end{array}$

ومن خلال تجميع المصطلحات المتشابهة معًا، نصل إلى التعبير التالي:

$a^2 -ab+ba-b^2=a^2-b^2$

لذلك، يتم اشتقاق صيغة منتج المجموع حسب الفرق:

$(a+b)\cdot (a-b) =a^2-b^2$

حل تمارين لحاصل الجمع بالفرق

قمنا أدناه بإعداد العديد من تمارين الجمع عن طريق الاختلافات التي تم حلها خطوة بخطوة حتى تتمكن من التدرب. تم ترتيب التمارين من الأقل إلى الأصعب، لذلك نوصي بالبدء بالرقم 1، والاستمرار بالتمرين 2، وأخيراً القيام بالتمرين 3، وهو الأكثر صعوبة.

⬇⬇لا تنس أيضًا أنه يمكنك ترك أي أسئلة تطرأ لنا في التعليقات!⬇⬇

التمرين 1

حل منتجات المجاميع التالية من الفروق:

$\text{A)} \ (x+5)(x-5)$

$\text{B)} \ (2x+6)(2x-6)$

$\text{C)} \ (x+7)(x-7)$

$\text{D)} \ (x-4y)(x+4y)$

انظر الحل

$\text{A)} \ \begin{array}{l}(x+5)(x-5) = \\[2ex] =x^2-5^2=\\[2ex] = \bm{x^2-25}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}(2x+6)(2x-6) = \\[2ex] =(2x)^2-6^2=\\[2ex] = \bm{4x^2-36}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}(x+7)(x-7) = \\[2ex] =x^2-7^2=\\[2ex] = \bm{x^2-49}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}(x-4y)(x+4y) = \\[2ex] =(x+4y)(x-4y) =\\[2ex] =x^2-(4y)^2=\\[2ex] = \bm{x^2-16y^2}\end{array}$

تمرين 2

عبر عن الضربات التالية في صورة فروق بين المربعات:

$\text{A)} \ \left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right)$

$\text{B)} \ \left(4x-5\right)\left(4x+5\right)$

$\text{C)} \ \left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right)$

$\text{D)} \ \left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right)$

انظر الحل

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+10\right)\left(x^2-10\right) = \\[2ex] =\left(x^2\right)^2-10^2=\\[2ex] = \bm{x^4-100}\end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(4x-5\right)\left(4x+5\right) = \\[2ex] =(4x)^2-5^2=\\[2ex] = \bm{16x^2-25}\end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(8x^3+y^2\right)\left(8x^3-y^2\right) = \\[2ex] =\left(8x^3\right)^2-\left(y^2\right)^2=\\[2ex] = \bm{64x^6-y^4}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l}\left(2x^3y+x^4y^2\right)\left(2x^3y-x^4y^2\right) = \\[2ex] =\left(2x^3y\right)^2-\left(x^4y^2\right)^2 =\\[2ex] = \bm{4x^6y^2-x^8y^4}\end{array}$

التمرين 3

حل الهويات البارزة التالية:

$\text{A)} \ \left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right)$

$\text{B)} \ \displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right)$

$\text{C)} \ \left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right)$

انظر الحل

لحل المساواة الملحوظة الأولى، عليك أن تتذكر أن الجذر التربيعي يبسط:

$\text{A)} \ \begin{array}{l}\left(9x^3+\sqrt{5x}\right)\left(9x^3-\sqrt{5x}\right) = \\[2ex] =\left(9x^3\right)^2-\left(\sqrt{5x}\right)^2=\\[2ex] = \bm{81x^6-5x}\end{array}$

وحيدتا الحد للمجموع الثاني بالفرق لهما معاملات كسرية، لذلك يجب علينا حل هذا التمرين باستخدام خصائص الكسور:

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\displaystyle \left(\frac{1}{2}x^2+\frac{5}{3}x\right)\left(\frac{1}{2}x^2-\frac{5}{3}x\right) = \\[4ex] \displaystyle =\left(\frac{1}{2}x^2\right)^2-\left(\frac{5}{3}x\right)^2=\\[4ex] \displaystyle =\frac{1^2}{2^2}x^4-\frac{5^2}{3^2}x^2=\\[4ex]\displaystyle = \mathbf{\frac{1}{4}}\bm{x^4-}\mathbf{\frac{25}{9}}\bm{x^2} \end{array}$

أخيرًا، المساواة البارزة الأخيرة مميزة بعض الشيء لأنها تحتوي بداخلها على منتج بارز آخر (مربع المجموع):

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(6x^4+x^2+1\right)\left(6x^4-x^2-1\right) = \\[2ex] = \left(6x^4+\left(x^2+1\right)\right)\left(6x^4-\left(x^2+1\right)\right)=\\[2ex]=\left(6x^4\right)^2-\left(x^2+1\right)^2=\\[2ex] =36x^8 - \left(x^4+2x^2+1\right)=\\[2ex] = \bm{36x^8 - x^4-2x^2-1}\end{array}$

ما هو حاصل ضرب المجموع والفرق؟

صيغة منتج المجموع بالفرق

أمثلة على منتجات المبالغ بالاختلافات

مثال 1

مثال 2

مثال 3

مظاهرة المبلغ عن طريق صيغة الفرق

حل تمارين لحاصل الجمع بالفرق

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

اترك تعليقاً إلغاء الرد