معادلة الخط المتجه

ستجد في هذه الصفحة كيفية حساب المعادلة المتجهة للخط. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها. وسوف تكتشف أيضًا كيفية الحصول على نقاط الخط من معادلته المتجهة.

ما هي المعادلة المتجهات للخط؟

تذكر أن التعريف الرياضي للخط هو مجموعة من النقاط المتتالية الممثلة في نفس الاتجاه بدون منحنيات أو زوايا.

لذا، فإن معادلة الخط المتجه هي طريقة للتعبير عن أي خط رياضيًا. ولهذا كل ما نحتاجه هو نقطة تنتمي إلى الخط ومتجه اتجاه الخط.

كيف يتم حساب معادلة المتجهات للخط؟

نعم

$\vv{\text{v}}$

هو متجه الاتجاه للخط و

$P$

النقطة التي تنتمي إلى اليمين:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P_1,P_2)$

صيغة المعادلة المتجهية للخط هي:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
$P_1$

و

$P_2$

هي إحداثيات نقطة معروفة تشكل جزءًا من الخط.
$\text{v}_1$

و

$\text{v}_2$

هي مكونات متجه الاتجاه للخط.
$t$

هو عددي (عدد حقيقي) تعتمد قيمته على كل نقطة على السطر.

إنها معادلة متجهة للخط في المستوى، أي عند العمل مع نقاط ومتجهات إحداثيتين (في R2). ومع ذلك، إذا كنا نجري حسابات في الفضاء (في R3)، فسيتعين علينا إضافة عنصر إضافي إلى معادلة الخط:

$(x,y,z)=(P_1,P_2,P_3)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2,\text{v}_3)$

من ناحية أخرى، ضع في اعتبارك أنه بصرف النظر عن المعادلة المتجهة، هناك طرق أخرى للتعبير عن خط تحليليًا: المعادلات البارامترية، والمعادلة المستمرة، والمعادلة الضمنية (أو العامة)، والمعادلة الصريحة، ومعادلة نقطة الميل للخط . يمكنك رؤية جميع أنواع المعادلات الموجودة في السطر في هذا الرابط.

مثال على كيفية العثور على معادلة المتجهات للخط

دعونا نرى كيف يتم تحديد معادلة الخط المتجه باستخدام مثال:

اكتب معادلة المتجه للخط الذي يمر بالنقطة
$P$

ولديه

$\vv{\text{v}}$

كمتجه توجيهي:

$\vv{\text{v}}= (1,2) \qquad P(3,0)$

للعثور على المعادلة المتجهة للخط، ما عليك سوى تطبيق صيغتها:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(3,0)+t\cdot (1,2)$

الحصول على نقاط من المعادلة المتجهة للخط

بمجرد العثور على المعادلة المتجهية للخط، يصبح من السهل جدًا حساب النقاط التي يمر عبرها الخط. لتحديد نقطة على الخط ، ما عليك سوى إعطاء قيمة للمعلمة

$\bm{t}$

من معادلة المتجهات للخط.

على سبيل المثال، بالنظر إلى المعادلة المتجهية التالية للخط:

$(x,y)=(1,-1)+t\cdot (2,3)$

يتم تسجيل نقطة عن طريق الاستبدال

$t$

بأي رقم مثلا

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+1\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(2,3) \\[2ex] & = (1+2 \ , -1+3) \\[2ex] & = \bm{(3,2)} \end{aligned}$

ويمكننا حساب نقطة أخرى على الخط، مما يعطينا المجهول

$t$

رقم مختلف مثلا

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(1,-1)+2\cdot (2,3)\\[2ex] & =(1,-1)+(4,6) \\[2ex] & = (1+4 \ , -1+6) \\[2ex] & = \bm{(5,5)} \end{aligned}$

لذلك، يمكننا الحصول على عدد لا نهائي من النقاط على الخط، لأن المتغير

$t$

يمكن أن تأخذ قيمًا لا نهائية.

حل مسائل المعادلة المتجهة للخط

التمرين 1

أوجد المعادلة المتجهية للخط الذي يمر بالنقطة

$P$

ومن هو متجه الاتجاه

$\vv{\text{v}}:$

$P(-1,3) \qquad \vv{\text{v}}=(4,-2)$

انظر الحل

لحساب المعادلة المتجهة للخط، ما عليك سوى تطبيق صيغتها:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

تمرين 2

احسب ثلاث نقاط تقع على السطر من المسألة السابقة.

انظر الحل

للحصول على نقاط من خط موصوف بالمعادلة المتجهة، يجب إعطاء قيم للمعلمة

$t.$

المعادلة المتجهة المحسوبة في المشكلة السابقة هي:

$(x,y)=(-1,3)+t\cdot (4,-2)$

لحساب نقطة نعوض بالمجهول

$t$

على سبيل المثال بواسطة

$t=1:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+1\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (4,-2) \\[2ex] & = (-1+4 \ , 3-2) \\[2ex] & = \bm{(3,1)} \end{aligned}$

للعثور على النقطة الثانية نعطي

$t$

على سبيل المثال قيمة

$t=2:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+2\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (8,-4) \\[2ex] & = (-1+8 \ , 3-4) \\[2ex] & = \bm{(7,-1)} \end{aligned}$

وأخيرا نحصل على النقطة الثالثة عن طريق التعيين

$t$

قيمة ال

$t=3:$

$\begin{aligned}(x,y)& =(-1,3)+3\cdot (4,-2)\\[2ex] & =(-1,3)+ (12,-6) \\[2ex] & = (-1+12 \ , 3-6) \\[2ex] & = \bm{(11,-3)} \end{aligned}$

ربما تكون قد حصلت على نقاط مختلفة، لأن ذلك يعتمد على القيم التي تعطيها للمعلمة

$t.$

ولكن إذا اتبعت نفس الإجراء، فكل شيء على ما يرام.

التمرين 3

أو نقطتين:

$A(5,1) \qquad B(3,-2)$

أوجد المعادلة المتجهية للخط الذي يمر عبر هاتين النقطتين.

انظر الحل

في هذه الحالة ليس لدينا متجه اتجاه الخط، علينا أولًا إيجاد متجه اتجاهه ثم معادلة الخط.

لذلك، للعثور على متجه الاتجاه للخط، يجب علينا حساب المتجه المحدد بالنقطتين المعطاتين:

$\vv{AB}=B-A= (3,-2)- (5,1) = (-2,-3)$

وبمجرد أن نعرف بالفعل اتجاه متجه الخط، يمكننا تحديد معادلة المتجه من إحدى النقاط المعطاة والصيغة:

$(x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2)$

$(x,y)=(5,1)+t\cdot (-2,-3)$

المعادلة التي تم العثور عليها عن طريق وضع النقطة الأخرى المحددة في الصيغة صالحة أيضًا:

$(x,y)=(3,-2)+t\cdot (-2,-3)$

ما هي المعادلة المتجهات للخط؟

كيف يتم حساب معادلة المتجهات للخط؟

مثال على كيفية العثور على معادلة المتجهات للخط

الحصول على نقاط من المعادلة المتجهة للخط

حل مسائل المعادلة المتجهة للخط

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

اترك تعليقاً إلغاء الرد