المسافة بين طائرتين (الصيغة)

في هذه الصفحة سوف تجد كيفية العثور على المسافة بين طائرتين. سترى على وجه الخصوص الطريقتين الموجودتين ومتى يكون من الأفضل استخدام إحداهما أو الأخرى. بالإضافة إلى ذلك، لديك أمثلة وتمارين محلولة للمسافة بين طائرتين حتى تتمكن من فهمها جيدًا.

كيف يتم حساب المسافة بين طائرتين؟

المسافة بين مستويين في الفضاء تعتمد على الموقع النسبي بين هذين المستويين:

وإذا تقاطع المستويان أو تطابقا فإن المسافة بينهما تكون صفراً لأنهما يتقاطعان في نقطة ما.
إذا كان المستويان متوازيين ، يتم حساب المسافة بين المستويين عن طريق أخذ نقطة على أي من المستويين وحساب المسافة بين تلك النقطة والمستوى الآخر.

تذكر أن المستويات المتعامدة هي نوع من المستويات المتقاطعة، وبالتالي فإن المسافة بين مستويين متعامدين هي أيضًا صفر.

لذا، لحساب المسافة بين طائرتين، يجب عليك أولاً تحديد الموضع النسبي بينهما، وبالتالي، من الضروري أن تعرف كيفية العثور على الموضع النسبي لطائرتين . إذا لم تكن واضحًا تمامًا بشأن كيفية القيام بذلك، فنوصيك بإلقاء نظرة على الرابط، حيث ستجد شرحًا مفصلاً للغاية بالإضافة إلى أمثلة وتمارين تم حلها.

كيفية حساب المسافة بين طائرتين متوازيتين

يكون للطائرتين المتوازيتين دائمًا نفس المسافة من بعضهما البعض. ولذلك، لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين، يمكننا أخذ نقطة على أحد المستويين وحساب المسافة من تلك النقطة إلى المستوى الآخر.

لذا فإن صيغة حساب المسافة بين مستويين متوازيين هي:

خذ بعين الاعتبار مستويين متوازيين، مع وجود نقطة على أحد المستويين والمعادلة العامة (أو الضمنية) للمستوى الآخر:

$P(x_0,y_0,z_0) \qquad \qquad \pi: \ Ax+By+Cz+D=0$

صيغة إيجاد المسافة بين مستويين متوازيين يمران بنقطة أحد المستويين والمعادلة العامة للمستوى الآخر هي:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert A\cdot x_0+B\cdot y_0+C\cdot z_0+D\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

هذه صيغة تستخدم لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين. ومع ذلك، في بعض الأحيان يمكننا استخدام طريقة أخرى أبسط:

يجب أن تكون المعاملات A وB وC للمعادلات الضمنية (أو العامة) للخطتين متناسبة. حسنًا، إذا وجدنا في مسألة ما مستويين معاملاتهما A وB وC متماثلة تمامًا، فيمكننا استخدام صيغة أخرى دون الحاجة إلى معرفة أي نقطة في أي مستوى:

خذ بعين الاعتبار المعادلات العامة (أو الضمنية) لمستويين متوازيين بمعاملات متطابقة A و B و C :

$\pi_1 : \ Ax+By+Cz+D_1=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ Ax+By+Cz+D_2=0$

صيغة إيجاد المسافة بين المستويين المتوازيين من المعادلات العامة للمستويين هي:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

في النهاية، هناك طريقتان لإيجاد المسافة بين مستويين متوازيين. الأول يكون أكثر فائدة عندما نعرف نقطة على أحد المستويين. لكن إذا عرفنا المعادلة العامة للمستويين فمن الأفضل حساب المسافة بالصيغة الثانية.

مثال لحساب المسافة بين طائرتين متوازيتين

على سبيل المثال، سوف نحسب المسافة بين المستويين التاليين:

$\pi_1 : \ 4x-2y-4z+7=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 8x-4y-8z+2=0$

يجب علينا أولًا أن نتحقق من أننا نتعامل مع طائرتين متوازيتين. وبالتالي، فإن جميع معاملات المعادلات المستوية متناسبة باستثناء الحدود المستقلة، لذا فهما مستويان متوازيان فعليًا.

$\cfrac{4}{8}=\cfrac{-2}{-4}=\cfrac{-4}{-8}\neq \cfrac{7}{2} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

وفي هذه الحالة لا تتطابق مصطلحات A وB وC لمعادلات المستويين، لكن يمكننا تحقيق ذلك بقسمة معادلة المستوى الثاني بأكملها على اثنين:

$\pi_2 : \ \cfrac{8x-4y-8z+2}{2}=\cfrac{0}{2}$

$\pi_2 : \ 4x-2y-4z+1=0$

لذا فإن معادلات المستويين لها الآن نفس المعاملات A وB وC. لذلك، يمكننا بسهولة حساب المسافة بين المستويين باستخدام الصيغة التالية للمسافة بين مستويين متوازيين:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

نستبدل القيم ونحل العمليات:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert 1-7\rvert}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert -6\rvert}{\sqrt{36}} = \cfrac{6}{6} = \bm{1}$

بحيث تكون المسافة بين أحد المستويين والمستوى الآخر تساوي الوحدة.

حل مسائل المسافة بين طائرتين

التمرين 1

أوجد المسافة بين المستويين التاليين:

$\pi_1 : \ 2x-y+5z-3=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 2x-y+5z-7=0$

انظر الحل

يجب علينا أولًا أن نتحقق من أننا نتعامل مع طائرتين متوازيتين. جميع معاملات معادلات المستويين متناسبة باستثناء الحدود المستقلة، فهما مستويان متوازيان بالفعل.

$\cfrac{2}{2}=\cfrac{-1}{-1}=\cfrac{5}{5} \neq \cfrac{-3}{-7} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \parallel \pi_2$

في هذه الحالة، سنحسب المسافة بين المستويين بالصيغة المباشرة، حيث أن معاملاتهما A وB وC متساوية:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert D_2-D_1\rvert}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

لذلك، نستبدل القيم في الصيغة ونجري العمليات:

$d(P,\pi) = \cfrac{\lvert -7-3\rvert}{\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}}= \cfrac{\lvert -10\rvert}{\sqrt{30}} = \cfrac{\bm{10}}{\bm{\sqrt{30}}}$

تمرين 2

احسب المسافة بين المستويين التاليين:

$\pi_1 : \ 3x-2y+6z+4=0 \qquad \qquad \pi_2 : \ 6x-4y+3z+1=0$

انظر الحل

أولًا، يجب أن نتحقق من أنهما مستويان متوازيان حتى نتمكن من تحديد المسافة التي تفصل بينهما. للقيام بذلك، نتحقق من التناسب بين معاملات الخطتين:

$\cfrac{3}{6}=\cfrac{-2}{-4}\neq\cfrac{6}{3} \neq \cfrac{4}{1} \quad \longrightarrow \quad \pi_1 \ \cancel{\parallel} \ \pi_2$

لكن المعاملات A وB وC للمستويين غير متناسبة، فقط المعلمات A وB. وبالتالي، فإن المستويين ليسا متوازيين ولكنهما متقاطعان، وبالتالي فإن المسافة بينهما تساوي 0:

$\bm{d(\pi_1,\pi_2)=0}$

التمرين 3

أوجد المسافة بين المستويين المتوازيين التاليين:

$\pi_1 : \ \begin{cases} x=3+4\lambda-2 \mu \\[1.7ex]y=-2+\lambda+6 \mu \\[1.7ex]z=5-\lambda+3 \mu \end{cases}\qquad \qquad \pi_2 : \ 3x+2y-2z-9=0$

انظر الحل

يتم تعريف المستوى الأمامي على شكل معادلات بارامترية، لذا لتطبيق الصيغة المباشرة للمسافة بين مستويين متوازيين نحتاج أولاً إلى تحويلها إلى شكل معادلة عامة وهذا يستغرق الكثير من الحسابات والوقت. ومن ثم، فمن الأسرع أن نأخذ نقطة على هذا المستوى ونحسب المسافة من تلك النقطة إلى المستوى الآخر.

وبالتالي، فإن إحداثيات نقطة تنتمي إلى المستوى π ₁ تتوافق مع الحدود المستقلة لكل معادلة بارامترية:

$P(3,-2,5)$