ذو الحدين الرابع

ستجد في هذه الصفحة صيغة ذات الحدين للرابع، ونشرح كيفية حل هذا النوع من العمليات ذات الحدين مع الأمثلة. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من التدرب على التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة من أقرانك إلى الصف الرابع.

صيغة الربع ذات الحدين

في الرياضيات، ذات الحدين للقوة أربعة هي كثيرة الحدود المكونة من حدين مرفوعين إلى الرابع.

وبالتالي، فإن الصيغة المستخدمة لحساب ربع ذات الحدين هي كما يلي:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

يمكن استخلاص هذه الصيغة من صيغة نيوتن العامة ذات الحدين . في الواقع، باستخدام ذات الحدين لنيوتن، يمكنك حساب ذات الحدين مرفوعة إلى أي قوة، لذلك من الأفضل أن تتعلم صيغة نيوتن ذات الحدين. انقر على الرابط السابق واكتشف كيف تبدو هذه الصيغة.

وبالتالي، فإن ذات الحدين في الرابع تساوي الحد الأول مرفوعًا إلى الرابع، بالإضافة إلى حاصل ضرب 4 في الحد الأول تكعيب والحد الثاني، بالإضافة إلى الحدين الأول والثاني تربيع في 6، بالإضافة إلى حاصل ضرب 4 في الحدين الحد الأول مضروبًا في الحد الثاني مرفوعًا إلى 3، بالإضافة إلى الحد الثاني مرفوعًا إلى الرابع.

تتوافق هذه الصيغة مع مجموع ذات الحدين (عنصريها موجبان)، لكن في صيغة الطرح ذات الحدين مرفوعة إلى الرابع، تكون علامات الناتجين الثاني والرابع سالبة:

$(a \color{red}\bm{-}\color{black}b)^4 = a^4\color{red}\bm{-}\color{black}4a^3b+6a^2b^2\color{red}\bm{-}\color{black}4ab^3+b^4$

أمثلة على أقرانهم في الصف الرابع

بالنظر إلى صيغة هذا النوع من ذات الحدين، سنرى عدة أمثلة لحل ذات الحدين إلى الرابع. سنقوم أولا بحساب ذات الحدين الموجب ثم سنقوم بحل ذات الحدين السالبة.

مثال 1

احسب ذات الحدين التالية مرفوعة إلى الرابع:

$(x+2)^4$

صيغة قوة مجموع ذات الحدين مرفوعًا إلى الرابع هي:

$(a+b)^4 = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

لذا لحساب ذات الحدين في التمرين، ما عليك سوى استبدال مقداري الحدين في الصيغة:

$(x+2)^4 = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 2^2+4\cdot x\cdot 2^3+2^4$

وأخيرا نحل العمليات:

$\begin{aligned}(x+2)^4 & = x^4+4\cdot x^3\cdot 2+6\cdot x^2\cdot 4+4\cdot x\cdot 8+16 \\[2ex] & =x^4+8 x^3+24x^2+32x+16\end{aligned}$

مثال 2

أوجد ذات الحدين التالية مرفوعة إلى الرابع:

$(x-3)^4$

صيغة التقوية لفرق ذي الحدين مرفوعًا إلى الرابع هي كما يلي:

$(a-b)^4 = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4$

لذلك، لتحديد ذات الحدين للمشكلة، ما عليك سوى استبدال المتغيرات في الصيغة بقيم ذات الحدين:

$(x-3)^4 = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 3^2-4\cdot x\cdot 3^3+3^4$

وأخيرا، نقوم بحل العمليات الناتجة:

$\begin{aligned}(x-3)^4 & = x^4-4\cdot x^3\cdot 3+6\cdot x^2\cdot 9-4\cdot x\cdot 27+81 \\[2ex] & =x^4-12x^3+54x^2-108x+81\end{aligned}$

بيان صيغة ذات الحدين في الرابع

لاستكشاف مفهوم ذات الحدين مرفوعة إلى الرابع، سوف نبين صيغتها بعدة طرق.

من أي زوج مرفوع إلى 4:

$(a+b)^4$

يمكن تحليل التعبير الجبري ذي الحدين إلى الرابع عن طريق توسيعه إلى عوامل أولية:

$(a+b)^4=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)$

وهكذا، من خلال حل كل منتج من كثيرات الحدود ، نصل إلى صيغة ذات الحدين مرفوعة إلى الرابع:

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a+b)\cdot (a+b) \\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

من ناحية أخرى، يمكن أيضًا التحقق من صيغة ذات الحدين للأربعة باستخدام صيغة ذات الحدين إلى المكعب :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^3 \cdot (a+b)\\[2ex] & = (a^3+3a^2b+3ab^2+b^3) \cdot (a+b) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

وبالمثل، يمكن الحصول على الإثبات من خلال المنتجات البارزة (أو الهويات البارزة). على سبيل المثال، استخدام صيغة المنتج البارز لمربع المجموع :

$\begin{aligned} (a+b)^4 & =(a+b)^2\cdot (a+b)^2 \\[2ex] &= (a^2+2ab+b^2)\cdot (a^2+2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{aligned}$

على التوالي، يتم استخدام صيغة الهوية البارزة لمربع الطرح لتأكيد صيغة الطرح ذي الحدين:

$\begin{aligned} (a-b)^4 & =(a-b)^2\cdot (a-b)^2 \\[2ex] &= (a^2-2ab+b^2)\cdot (a^2-2ab+b^2) \\[2ex] & = a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4 \end{aligned}$

تمارين محلولة للأزواج في الصف الرابع

حل القوى التالية من ذات الحدين مرفوعة إلى الرابع:

$\text{A)} \ (x+1)^4$

$\text{B)} \ (2x+3)^4$

$\text{C)} \ (x-4)^4$

$\text{D)} \ (x^2+y)^4$

انظر الحل

$\text{A)} \ \begin{aligned} (x+1)^4 & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1^2+4 \cdot x\cdot 1^3 + 1^4 \\[2ex] & = x^4 +4\cdot x^3\cdot 1+6 \cdot x^2\cdot 1+4 \cdot x\cdot 1 + 1 \\[2ex] & = \bm{x^4 +4x^3+6 x^2+4 x + 1}\end{aligned}$

$\text{B)} \ \begin{aligned} (2x+3)^4 & = (2x)^4 +4\cdot (2x)^3\cdot 3+6 \cdot (2x)^2\cdot 3^2+4 \cdot 2x\cdot 3^3 + 3^4 \\[2ex] & = 16x^4 +4\cdot 8x^3\cdot 3+6 \cdot 4x^2\cdot 9+4 \cdot 2x\cdot 27 + 81\\[2ex] & = \bm{16x^4 +96x^3+216x^2+216x + 81}\end{aligned}$

$\text{C)} \ \begin{aligned} (x-4)^4 & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 4^2-4 \cdot x\cdot 4^3 + 4^4 \\[2ex] & = x^4 -4\cdot x^3\cdot 4+6 \cdot x^2\cdot 16-4 \cdot x\cdot 64 + 256 \\[2ex] & = \bm{x^4 -16 x^3+96x^2-256x + 256}\end{aligned}$

$\text{D)} \ \begin{aligned} (x^2+y)^4 & = \left(x^2\right)^4 +4\cdot \left(x^2\right)^3\cdot y+6 \cdot \left(x^2\right)^2\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & =x^8 +4\cdot x^6\cdot y+6 \cdot x^4\cdot y^2+4 \cdot x^2\cdot y^3 + y^4 \\[2ex] & = \bm{x^8 +4x^6y+6 x^4 y^2+4x^2y^3 + y^4}\end{aligned}$

زوج في الرابع