▷ كيفية إيجاد الدالة العكسية أو العكسية (تمارين محلولة)

نوضح في هذه المقالة ما هي الدالة العكسية (أو المتبادلة) وكيفية حساب معكوس الدالة. سوف تكتشف أيضًا كيفية معرفة ما إذا كانت الدالة لها معكوس أم لا بسهولة وخصائص هذا النوع من الوظائف. وأخيرًا، يمكنك التدرب من خلال تمارين خطوة بخطوة على الدوال العكسية.

ما هي الدالة العكسية؟

الدالة العكسية، وتسمى أيضًا الدالة التبادلية، هي الدالة التي مجالها هو مدى دالة أخرى (الدالة الأصلية) ومداها هو مجال الدالة الأصلية. يتم التعبير عن الدالة العكسية للدالة f بالرمز f ^-1 .

ولذلك، فإن الدالة العكسية لـ f(x) هي الدالة التي تحقق الشرط التالي:

ذهب

$f^{-1}$

هي الدالة العكسية ل

$f.$

يمكن أيضًا تعريف مفهوم الدالة العكسية باستخدام تركيب الدالة، حيث أن أي دالة مكونة من دالتها العكسية تساوي دالة الهوية:

$(f\circ f^{-1})(x)=(f^{-1}\circ f)(x)=x$

➤ انظر: ما هو تكوين الوظيفة؟

فإذا تحققت المعادلة السابقة فهذا يعني ذلك

$f^{-1}$

هي الدالة العكسية (أو الدالة المتبادلة) لـ

$f.$

مثال على الدالة العكسية

بالنظر إلى تعريف الدالة العكسية، فلنحل مثالًا لفهم معناها بشكل أفضل.

حدد ما إذا كانت الدوال التالية معكوسة لبعضها البعض:

$f(x)=2x+1\qquad g(x)=\cfrac{x-1}{2}$

إذا كانت الدالتان معكوستان لبعضهما البعض، فسيتم استيفاء الشرطين التاليين:

$(f \circ g)(x) = x \qquad \qquad (g \circ f)(x) = x$

لذلك دعونا نتحقق مما إذا كانت كلتا المعادلتين مستوفيتين. نحن نتحقق أولا

$(f \circ g)(x) = x:$

$\begin{aligned} \displaystyle\left(f \circ g\right)(x)& = f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&= f\left( \frac{x-1}{2} \right)\\[2ex]& = 2\left( \frac{x-1}{2} \right)+1\\[2ex]& =x-1+1\\[2ex]&=\bm{x} \end{aligned}$

➤ إذا لم تفهم العملية الحسابية التي قمنا بها للتو، فأنت بحاجة إلى الانتقال إلى الرابط أعلاه لمعرفة ما هو تكوين الوظائف؟ ، نشرح كيفية حل هذا النوع من العمليات بالدوال.

لهذا السبب

$(f \circ g)(x) = x$

نعم، لقد تم إنجازه. ✅

الآن دعونا نتحقق من المساواة

$(g \circ f)(x) = x :$

$\begin{aligned} \left(g \circ f\right)(x)&= g\Big(f(x)\Big)\\[2ex]&= g\Big(2x +1 \Big)\\[2ex]&=\cfrac{(2x+1)-1}{2}\\[2ex]&= \cfrac{2x}{2}\\[2ex]&=\bm{x} \end{aligned}$

وحالة الانقلاب

$(g \circ f)(x) = x$

تم إنجازه أيضًا. ✅

في الختام، كما هو الحال في كلتا المعادلتين، فإن الدالتين معكوستان لبعضهما البعض.

أدناه يمكنك رؤية كلا الوظيفتين مرسومتين. لاحظ أن الرسوم البيانية للدالتين العكسيتين متماثلتان حول منصف الربعين الأول والثالث:

كيفية معرفة ما إذا كانت الدالة لها معكوس

تحتوي الدالة على دالة عكسية إذا كانت دالة حقنية ، أي إذا كانت كل قيمة في مجالها بالكامل تتوافق مع قيمة واحدة في فاصلها الزمني.

الدالة الأسية مع الدالة العكسية

دالة تربيعية بدون دالة عكسية

على سبيل المثال، الدالة الأسية اليسرى لها دالة عكسية لأن كل x يتوافق مع قيمة واحدة f(x) . من ناحية أخرى، لا تحتوي الدالة التربيعية اليمنى على دالة عكسية حيث أنها تحتوي على عدة قيم لـ x صورها متساوية (على سبيل المثال f(1)=f(3)=2) .

وبالمثل، تتكون الدالة الثنائية من دالة حقنية وقاطعة في نفس الوقت، وبالتالي فإن أي دالة ذاتية لها أيضًا وظيفة عكسية.

من ناحية أخرى، يجب أن تضع في اعتبارك أن الدالة العكسية ليست نفس الشيء مثل المعكوس المضاعف للدالة ، بل مفهومان مختلفان. للعثور على المعكوس المضاعف لدالة ما، ما عليك سوى حساب توافق واحد للدالة المذكورة.

$f^{-1}(x) \neq \cfrac{1}{f(x)}$

في القسم التالي سنرى كيفية تحديد الدالة العكسية.

كيفية العثور على الدالة العكسية

لحساب معكوس الدالة، يجب تنفيذ الخطوات التالية:

استبدل f(x) بـ y .
قم بتغيير الكل x إلى y والعكس صحيح.
امسح المتغير y .
استبدل المتغير y ب f ^-1 (x) . الدالة العكسية هي التعبير الموجود لـ f ^-1 (x) .

وحتى تتمكن من رؤية كيفية حساب الدالة العكسية بالضبط، سنحدد معكوس الدالة التالية كمثال:

$f(x) =4x+5$

بادئ ذي بدء، نحن بحاجة إلى استبدال

$f(x)$

$y$

$y=4x+5$

الآن نغير كل شيء

$x$

من الوظيفة بواسطة

$y$

، والعكس صحيح:

$y= 4x+5 \quad \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \quad x= 4y+5$

ثم نقوم بمسح المتغير

$y:$

$x=4y+5$

$x-5=4y$

$\cfrac{x-5}{4}=y$

$y=\cfrac{x-5}{4}$

وأخيرًا، الدالة العكسية لـ

$f(x)$

هو التعبير الجبري الذي حصلنا عليه بالعزل

$y:$

$\bm{f^{-1}(x) = } \cfrac{\bm{x-5}}{\bm{4}}$

حل تمارين الدالة العكسية

فيما يلي قمنا بإعداد العديد من التمارين خطوة بخطوة حول الدالة العكسية حتى تتمكن من التدرب عليها.

👉 تذكر أنه إذا كنت لا تفهم كيفية حل تمرين أو تريد منا أن نحل لك مشكلة، يمكنك مراسلتنا في التعليقات!

التمرين 1

تحقق مما إذا كانت الدالتان التاليتان معكوستان (أو متبادلتان) أم لا:

$f(x)=3x-7\qquad g(x)=\cfrac{x+7}{3}$

انظر الحل

لكي تكون الدالتان معكوستين لبعضهما البعض، يجب أن يكون ما يلي صحيحا:

$(f \circ g)(x)=x \qquad \qquad (g \circ f)(x)=x$

ولذلك فمن الضروري التحقق من استيفاء الشرطين. نحن نتحقق أولا

$(f \circ g)(x)=x :$

$\begin{aligned}\displaystyle\left(f \circ g\right)(x)&= f\Big(g(x)\Big)\\[2ex]&= f\left( \frac{x+7}{3} \right)\\[2ex]&= 3 \left(\frac{x +7}{3} \right) - 7 \\[2ex] & =x + 7 - 7 \\[2ex]&= \bm{x}\end{aligned}$

حتى الآن،

$(f \circ g)(x) = x$

نعم، لقد تم إنجازه. ✅

الآن دعونا نتحقق من التركيبة الأخرى للوظائف

$(g \circ f)(x)=x :$

$\begin{aligned}\left(g \circ f\right)(x)&= g\Big(f(x)\Big)\\[2ex]&= g\left(3x-7\right)\\[2ex]&=\cfrac{(3x-7)+7}{3}\\[2ex]&=\cfrac{3x}{3}\\[2ex]&=\bm{x}\end{aligned}$

بواسطة

$(g \circ f)(x) = x$

تم إنجازه أيضًا. ✅

كيف يحدث ذلك؟

$(f \circ g)(x)=x$

$(g \circ f)(x)=x$

، الوظيفتان معكوستان لبعضهما البعض.

تمرين 2

احسب المعكوس (أو الدالة المتبادلة) للدالة متعددة الحدود من الدرجة الأولى التالية:

$f(x)=-2x-3$

انظر الحل

أول ما يجب فعله لعكس الدالة هو استبدال المصطلح

$f(x)$

$}y:$

$y=-2x-3$

الآن نقوم بتغيير

$x$

بواسطة

$y$

، والعكس صحيح:

$y=-2x-3 \ \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \ x =-2y-3$

ومن ثم نطلق سراحنا

$y:$

$x =-2y-3$

$x +3=-2y$

$\cfrac{x +3}{-2}=y$

$y = \cfrac{x +3}{-2}$

لقد نجحنا بالفعل في الإصدار

$y$

. وبالتالي فإن الدالة العكسية لـ

$f(x)$

شرق:

$\bm{f^{-1}(x) = -} \cfrac{\bm{x+3}}{\bm{2}}$

التمرين 3

عكس الدالة متعددة الحدود التربيعية التالية:

$f(x)=x^2-1$

انظر الحل

للعثور على الدالة العكسية، سنتبع الإجراء الذي رأيناه أعلاه. لذلك سوف نتصل

$y$

إلى الوظيفة

$f(x):$

$y=x^2-1$

ثانيا نقوم بتعديل

$x$

$y$

، والعكس صحيح:

$y=x^2-1 \ \xrightarrow{x \ \rightarrow \ y \ ; \ y \ \rightarrow \ x} \ x =y^2-1$

وأخيرا، نقوم بعزل المتغير

$y:$

$x =y^2-1$

$x+1=y^2$

$\sqrt{x+1}=y$

$y=\pm \sqrt{x+1}$

لكن في هذه الحالة يكون للدالة التي تم الحصول عليها صورتان لكل عنصر من عناصر مجالها (الصورة الإيجابية والصورة السلبية). لذلك، لا توجد دالة عكسية لدالة المشكلة.