▷ مضروب الرقم: ما هو وكيفية حسابه ✅

تشرح هذه الصفحة ما هو مضروب الرقم وكيفية حسابه. بالإضافة إلى ذلك، تم عرض العديد من الأمثلة وجدول بقيم المضروبات الأكثر استخدامًا. ويعلمك أيضًا كيفية حساب مضروب الرقم باستخدام الآلة الحاسبة. وأخيرا، تم توضيح تطبيقات وخصائص المضروب.

ما هو مضروب العدد؟

في الرياضيات، مضروب العدد يساوي حاصل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة من 1 إلى ذلك العدد. بالإضافة إلى ذلك، يتم تمثيل مضروب الرقم بعلامة تعجب (!) بعد الرقم.

على سبيل المثال، لتحديد مضروب الرقم n ، والذي يسمى أيضًا مضروب n ، يجب عليك ضرب الرقم n بجميع الأعداد الصحيحة التي تسبقه (بدءًا بواحد):

$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n$

كيفية حساب مضروب الرقم

بعد أن رأينا معنى مضروب الرقم، دعونا نرى بمثال كيفية تحديد أي مضروب:

احسب مضروب 4:

وكما رأينا في تعريفه الرياضي، فإن مضروب العدد يعادل ضرب جميع الأعداد الصحيحة الموجبة الأصغر منه أو المساوية له. لذلك، لحساب مضروب 4، نحتاج إلى ضرب الأرقام 1 و 2 و 3 و 4:

$4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 =24$

وبالتالي فإن مضروب 4 يعطي 24.

أمثلة على مضروب الأعداد

للانتهاء من فهم مفهوم مضروب العدد، نترككم مع مثال لحساب مضروبات متعددة لأرقام مختلفة:

مضروب 3:

$3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 =6$

مضروب 5:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5=120$

مضروب 6:

$6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6=720$

مضروب 1:

$1! = 1$

منطقيا، مضروب الرقم 1 يساوي 1، لأنه يكفي لضرب 1.

مضروب 0:

$0! = 1$

نعم، حسنًا، من المدهش أن مضروب 0 لا يساوي صفرًا، بل يساوي 1. قد يبدو هذا غريبًا بعض الشيء بالنسبة لك، لأنه من الناحية النظرية عليك ضرب 0 في 1. ومع ذلك، فقد تم اعتماد 0 بشكل تقليدي! =1 لأن خاصية المنتج فارغة . نترك لك هذا الرابط في حال كنت تريد معرفة المزيد، رغم أنه ليس من المهم حقًا أن تعرف السبب، المهم أن تتذكر أن مضروب 0 يساوي 1 .

قائمة نتائج مضروبات الأعداد

لقد قمنا أدناه بتلخيص مضروبات الأرقام الأكثر استخدامًا في الجدول، لذلك لا يتعين عليك حسابها يدويًا.

الرقم	مضروب العدد
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5,040
8	40,320
9	362,880
عشرة	3,628,800
أحد عشر	39,916,800
12	479,001,600
13	6,227,020,800
14	87178291200
خمسة عشر	1,307,674,368,000
16	20,922,789,888,000
17	355,687,428,096,000
18	6,402,373,705,728,000
19	121,645,100,408,832,000
عشرين	2,432,902,008 176,640,000
خمسون	3,041,409,320 · ^10.64
100	9,332 621,544 · ^10,157
1000	4,023,872,601 · ^10.2567
10.000	2,846,259,681 · ^10,35,659
100.000	2 824 229 408 · 10 ^{45 6573}
1,000,000	8,263,931,688 · 10 ^5,565,708

ضرب العدد بالآلة الحاسبة

كما ترون في الأمثلة السابقة، فإن نتائج مضروب رقمين متتاليين تتزايد بشكل كبير، ولهذا السبب من الصعب جدًا معرفة مضروب الأعداد الكبيرة. لذلك سنوضح لك كيفية إيجاد مضروب رقم باستخدام الآلة الحاسبة.

الآلات الحاسبة العلمية لها مفتاح بالرمز x! أو ن! والذي يستخدم لحساب مضروب عدد صحيح. لذا، لتحديد قيمة المضروب، يجب عليك إجراء التسلسل التالي على الآلة الحاسبة:

$n! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} n\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=}$

عادةً ما تحتوي الآلات الحاسبة من CASIO على مفتاح المضروب x! أو ن! فوق الزر x ^-1 .

على سبيل المثال، سوف نقوم بحل مضروب باستخدام الآلة الحاسبة حتى تتمكن من التحقق من أنك تعرف كيفية القيام بذلك. على سبيل المثال، سنقوم بضرب 9:

$9! \quad \color{red} \bm{\longrightarrow} \quad \color{black} 9\rightarrow \boxed{x!} \rightarrow \boxed{=} \rightarrow 362880$

للعثور على مضروب 9 يجب عليك أولاً إدخال الرقم 9، ثم الضغط على المفتاح

$\boxed{x!}$

وأخيرا، اضغط على زر المساواة. في هذه الحالة، يجب أن تظهر لنا الآلة الحاسبة النتيجة 362,880.

تطبيقات على العدد العاملي

قد تبدو الدالة مضروبة لعدد ما وكأنها عملية بسيطة للغاية وسخيفة، ولكن في الجبر المتقدم يتم استخدامها كثيرًا. سنرى بعد ذلك الاستخدامات الرئيسية للعامل.

بادئ ذي بدء، يعد المضروب عملية أساسية لحساب عدد اندماجي ، وهي أكثر من عملية محددة. إذا كنت لا تعرف ما هو الرقم الاندماجي، يمكنك الاطلاع على مما يتكون وكيفية حسابه في هذا الرابط، حيث ستجد أمثلة وتمارين محلولة وما هي خصائصه. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على رؤية الغرض من استخدامه نظرًا لأنه يحتوي على العديد من التطبيقات الواقعية.

يُستخدم المضروب أيضًا في الرياضيات لتحديد كثيرة حدود تايلور للدالة.

وبالمثل، يتم استخدام المضروب لحل بعض المسائل التوافقية، وخاصة لحساب المجموعات والتباديل. وبهذا المعنى، غالبًا ما تُستخدم المُضروبات أيضًا لحساب الاحتمالات باستخدام التوافقيات.

يتوافق تبديل العناصر n مع كل من الترتيبات المختلفة التي يمكن إجراؤها باستخدام هذه العناصر. لذلك، لحساب التقليب، يتم استخدام المضروب. على سبيل المثال، إذا كنت تريد في مسألة ما إيجاد عدد الاحتمالات التي يمكن ترتيب 7 كائنات فيها، فيجب عليك حساب مضروب 7.

والآن دعونا نلقي نظرة على تمرين تم حله:

لدينا 5 أزواج مختلفة من الأحذية، بكم طريقة يمكننا ترتيبها؟

في هذا التمرين علينا أن نكتشف كل الطرق الممكنة للجمع بين هذه الأزواج الخمسة من الأحذية مع مراعاة الترتيب الذي وضعناها به. لذا لحل المشكلة، ما عليك سوى حساب مضروب 5:

$5! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot 4\cdot 5 =120$

باختصار، يمكن وضع أزواج الأحذية الخمسة بـ 120 طريقة مختلفة.

خصائص العدد العاملي

يتميز الرقم العامل بالخصائص التالية:

نظرًا لوجود عددين صحيحين موجبين n و m بحيث تكون n أكبر من m ، فمن الواضح أن قيمة مضروب n أكبر من قيمة مضروب m .

$n>m \quad \longrightarrow \quad n! > m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”15″ width=”183″ style=”vertical-align: -2px;”></p> </p> <ul style=$

يمكن تحليل مضروب الرقم مضروبًا بحيث يكون أحد العوامل هو مضروب رقم أصغر.

$n>m \quad \longrightarrow \quad n!= n\cdot (n-1) \cdots (m+1)\cdot m!” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”361″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <p style=$ على سبيل المثال، 6 أكبر من 4، لذلك يمكن تبسيط التعبير عن مضروب 6 على النحو التالي:

$6! = 6 \cdot 5 \cdot 4!$

التعبير الجبري التالي صالح لمضروب أي رقم، باستثناء مضروب 1:

$\displaystyle n!< \left( \frac{n+1}{2} \right)^n$

عامل الرقم السالب أو العشري

لقد رأينا للتو كيفية إيجاد قيمة مضروب عدد صحيح موجب، ولكن… هل يمكننا حساب مضروب عدد سالب أو عدد عشري؟ الجواب هو نعم، ولكن مطلوب معرفة متقدمة في الرياضيات.

يتم حساب مضروب الرقم السالب والرقم العشري باستخدام دالة خاصة تسمى “دالة جاما” لأويلر، والتي يتم تعريفها بالتكامل التالي:

$\displaystyle \Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t$

وبالتالي، يمكن حل أي نوع من المضروب باستخدام دالة جاما لأن المعادلة التالية صحيحة دائمًا:

$n! = \Gamma(n+1)$

لذا، لإيجاد مضروب 0.5، على سبيل المثال، يجب علينا إيجاد قيمة

$\Gamma(1,5)$

لأن:

$0,5! = \Gamma(0,5+1) =\Gamma(1,5)$

وحل التكامل سيتوافق مع مضروب 0.5.

من الواضح أن حل تكامل دالة جاما ليس بالأمر السهل ولن نقوم بتدريسه في هذه المقالة، لأنه يجب شرح العديد من المفاهيم الرياضية مسبقًا. لكننا أردنا أن تعلم أن هناك إمكانية لحساب مضروب عدد سالب أو عدد عشري.

في الواقع، على سبيل المثال، قمنا بحساب بعض القيم العاملية والعشرية السالبة:

$\underline{\bm{n}}$	$\underline{\bm{n!}}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(-\frac{1}{2}\right)!$	$\displaystyle \sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{3}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$
$\displaystyle \left(\frac{5}{2}\right)!$	$\displaystyle \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$