▷ ما هي خصائص (أو قوانين) الحدود؟

ستجد هنا جميع خصائص (أو قوانين) حدود الوظائف. تعمل هذه الخصائص على تبسيط حسابات النهايات، خاصة عند التعامل مع النهايات مع عمليات الدالة.

ما هي خصائص (أو قوانين) حدود الوظائف؟

بعد ذلك، سنشرح جميع خصائص حدود الدوال، أو ما يسمى أيضًا بقوانين حدود الدوال. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية التمارين المحلولة لكل خاصية من خصائص النهايات حتى تتمكن من فهم المفهوم بشكل كامل.

خاصية حد المبلغ

نهاية مجموع دالتين عند نقطة ما تساوي مجموع حدود كل دالة عند نفس النقطة على حدة.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$

على سبيل المثال، لنفترض أن هناك وظيفتين:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

نهاية كل دالة عند x تساوي 1 هي:

$\displaystyle \lim_{x\to 1}x^2=1^2=1$

$\displaystyle \lim_{x\to 1}(2x+1)=2\cdot1+1=3$

وبالتالي فإن نهاية الدالتين المضافتين عند نفس النقطة تعطي 4 (1+3=4).

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}f(x)+\lim_{x\to 1}g(x)=\\[3ex]=1+3=4\end{array}$

ويمكن إثبات الخاصية عن طريق حساب الحد خطوة بخطوة:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 1} \Bigl[ f(x)+g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 1}\Bigl[x^2+2x+1\Bigr]=\\[3ex]=1^2+2\cdot 1+1=4\end{array}$

خاصية حد الطرح

إن حد الطرح (أو الفرق) لوظيفتين عند نقطة ما يعادل طرح نهاية كل دالة عند نفس النقطة على حدة.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)-\lim_{x\to a}g(x)$

باستخدام الوظائف من المثال السابق:

$f(x)=x^2\qquad g(x)=2x+1$

نهاية كل دالة عند النقطة x=3 هي:

$\displaystyle \lim_{x\to 3}x^2=3^2=9$

$\displaystyle \lim_{x\to 3}(2x+1)=2\cdot3+1=7$

إذن، نهاية الدالتين المطروحتين عند x=3 هي فرق القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}f(x)-\lim_{x\to 3}g(x)=\\[3ex]=9-7=2\end{array}$

يمكننا إثبات خاصية النهايات هذه عن طريق حساب طرح الدوال ومن ثم إيجاد النهاية:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 3} \Bigl[ f(x)-g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-(2x+1)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 3}\Bigl[x^2-2x-1\Bigr]\\[3ex]=3^2-2\cdot 3-1=2\end{array}$

الحد من ملكية المنتج

نهاية حاصل ضرب دالتين عند نقطة ما هي حاصل ضرب نهاية كل دالة عند تلك النقطة.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x)$

على سبيل المثال، إذا كان لدينا الوظيفتين المختلفتين التاليتين:

$f(x)=x^3\qquad g(x)=x^2-5$

نهاية كل دالة عند x=2 هي:

$\displaystyle \lim_{x\to 2}x^3=2^3=8$

$\displaystyle \lim_{x\to 2}(x^2-5)=2^2-5=-1$

وبالتالي، لتحديد نهاية حاصل ضرب الدالتين، ليس من الضروري ضربهما معًا، ولكن يكفي ضرب النتيجة التي تم الحصول عليها من كل نهاية:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2} \Bigl[ f(x)\cdot g(x)\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 2}f(x)\cdot \lim_{x\to 2}g(x)=\\[3ex]=8\cdot (-1)=-8\end{array}$

وهذا يوفر علينا الوقت والحسابات لأن ضرب وظيفتين قد يكون أمرًا صعبًا.

خاصية نهاية الحاصل

حد حاصل (أو القسمة) لوظيفتين يساوي حاصل حدود الدالتين.

$\displaystyle \lim_{x\to a} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

يتحقق هذا الشرط طالما أن نهاية دالة المقام ليست صفرًا.

$\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)\neq 0$

سوف نقوم بحل مثال لهذه الخاصية (أو القانون) للحدود. خذ بعين الاعتبار الدالتين f(x) وg(x):

$f(x)=5x-1\qquad g(x)=3^x$

نحسب أولاً نهاية كل دالة عند x=0:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}(5x-1)=5\cdot 0-1=-1$

$\displaystyle \lim_{x\to 0}3^x=3^0=1$

وبالتالي يمكن العثور بسهولة على حد تقسيم الدالتين عند x=0:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 0} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)}=\displaystyle\frac{-1}{1}=-1\end{array}$

في هذه الحالة، يمكننا تطبيق هذه الخاصية لحل النهاية لأن نهاية g(x) ليست صفرًا.

خاصية نهاية الثابت

نهاية الدالة الثابتة تؤدي دائمًا إلى الثابت نفسه، بغض النظر عن النقطة التي يتم عندها حساب النهاية.

$\displaystyle \lim_{x\to a} k=k$

من السهل جدًا التحقق من هذه الخاصية، على سبيل المثال إذا كان لدينا الدالة الثابتة التالية:

$f(x)=5$

منطقيًا، نهاية الدالة الثابتة عند أي نقطة هي 5:

$\displaystyle \lim_{x\to 0}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 3}5=5$

$\displaystyle \lim_{x\to -2}5=5\qquad\qquad\lim_{x\to 7}5=5$

خاصية نهاية المضاعف الثابت

ومن خواص نهاية حاصل الضرب ونهاية الثابت يمكن استنتاج الخاصية التالية:

نهاية الدالة مضروبة في ثابت تساوي ناتج الثابت المذكور ونهاية الدالة.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[ k\cdot f(x)\Bigr]=k\cdot\lim_{x\to a}f(x)$

لاحظ كيف قمنا بتبسيط حساب النهاية التالية باستخدام هذه الخاصية:

$\begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x\to 4} (2x^2-12x+10)=\\[3ex]\displaystyle =\lim_{x\to 4}\Bigl[2\cdot(x^2-6x+5)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle 2\cdot\lim_{x\to 4}(x^2-6x+5)=\\[3ex]=2\cdot (4^2-6\cdot4+5)=\\[3ex]=2\cdot (-3)=-6\end{array}$

خاصية حد القوة

نهاية أي دالة مرفوعة إلى الأس تعادل حساب نهاية الدالة ثم رفع نتيجة النهاية إلى ذلك الأس.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^k\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^k$

على سبيل المثال، نهاية الدالة الخطية هي:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}x=6$

حسنًا، يمكن حساب نهاية الدالة التربيعية بإيجاد نهاية الدالة الخطية ثم تربيع النتيجة:

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\Bigl[x^2\Bigr]=\left[\lim_{x\to 6}x\right]^2=\bigl[6\bigr]^2=36$

خاصية نهاية الدالة الأسية

نهاية الدالة الأسية تساوي ثابت الدالة مرفوعًا إلى نهاية التعبير الجبري للدالة.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[k^{g(x)}\Bigr]=k^{^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}}$

سنقوم بعد ذلك بحساب نهاية الدالة الأسية بطريقتين ممكنتين للتحقق من هذه الخاصية:

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{2\cdot 1}=25$

$\displaystyle\lim_{x\to 1}5^{2x}=5^{^{\displaystyle\lim_{x\to 1}2x}}=5^{2\cdot 1}=25$

خاصية الحد من قوة الوظائف

نهاية دالة مرفوعة إلى دالة أخرى هي نهاية الدالة الأولى مرفوعة إلى نهاية الدالة الثانية.

$\displaystyle \lim_{x\to a}\Bigl[f(x)^{g(x)}\Bigr]=\left[\lim_{x\to a}f(x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to a}g(x)}$

وعلى سبيل المثال سنحدد الحد التالي بتطبيق هذا القانون:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to 2}\Bigl[(x^2-4x)^{4x-5}\Bigr]=\\[3ex]\displaystyle =\left[\lim_{x\to 2}(x^2-4x)\right]^{\displaystyle\lim_{x\to 2}(4x-5)}=\\[3ex]=\displaystyle (2^2-4\cdot 2)^{4\cdot 2-5}=\\[3ex]=(-4)^3=-64\end{array}$

خاصية نهاية دالة غير عقلانية

نهاية الجذر (أو الجذر) تساوي جذر النهاية.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\sqrt[n]{f(x)}=\sqrt[n]{\lim_{x\to a}f(x)}$

لاستخدام هذه الخاصية، يجب أن تضع في اعتبارك أنه إذا كان فهرس الجذر زوجيًا، فيجب أن يكون حد الدالة أكبر من أو يساوي 0:

$\text{si } n \text{ es par} \ \longrightarrow \ \displaystyle\lim_{x\to a}f(x)\ge 0$

لاحظ كيف تم حساب النهاية التالية بتطبيق هذه الصيغة:

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\sqrt[3]{\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\lim_{x\to 4}\frac{x^2}{2}}=\sqrt[3]{\frac{4^2}{2}}=\sqrt[3]{8}=2$

خاصية نهاية الدالة اللوغاريتمية

نهاية اللوغاريتم تعادل نفس اللوغاريتم الأساسي للحد.

$\displaystyle\lim_{x\to a}\Bigl[\log_k f(x)\Bigr]=\log_k \left[\lim_{x\to a}f(x)\right]$

انظر إلى حل الحد التالي الذي نطبق فيه هذه الخاصية:

$\begin{array}{l}\displaystyle\lim_{x\to -4}\Bigl[\log_3 (x^2-2x+3)\Bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 \left[\lim_{x\to -4}(x^2-2x+3)\right]=\\[4ex]=\displaystyle\log_3\bigl[(-4)^2-2\cdot (-4)+3\bigr]=\\[3ex]=\displaystyle\log_3 27=3\end{array}$