مصفوفة عاجزة

في هذه الصفحة نشرح ما هي المصفوفات العاجزة. ونعرض لك أيضًا عدة أمثلة على هذا النوع من المصفوفات حتى تفهمه تمامًا. ستجد أيضًا صيغة للعثور على مصفوفة متساوية القدرة، وأخيرًا جميع خصائص المصفوفات غير الفعالة.

ما هي المصفوفة العاجزة؟

تعريف المصفوفة العاجزة هو كما يلي:

المصفوفة المستقلة هي تلك المصفوفة التي عند ضربها بنفسها تعطي نفس المصفوفة نتيجة لذلك.

$A\cdot A = A$

ولذلك، فإن أي قوة لمصفوفة غير فعالة تساوي المصفوفة نفسها، بغض النظر عن الأس:

في الواقع، هذا هو السبب وراء تسمية هذا النوع من اللوحات بهذا الاسم. لأنه في الرياضيات، العجز هو عملية مما يعني أننا نحصل دائمًا على نفس النتيجة بغض النظر عن عدد مرات إجرائها.

أمثلة على المصفوفات العاجزة

بمجرد أن نعرف مفهوم المصفوفة المتساوية القوة، سنرى بعض الأمثلة ذات الأبعاد المختلفة لإنهاء فهمها.

مثال على المصفوفة العاطلة 2×2

المصفوفة المربعة التالية ذات البعد 2×2 غير فعالة:

وللتحقق من أنها مصفوفة معادلة القدرة نحسب مربعها:

$\displaystyle A^2=\begin{pmatrix} 4 &-2 \\[1.1ex] 6 & -3 \end{pmatrix}$

والنتيجة متطابقة، لذلك نوضح أنها مصفوفة عاجزة.

مثال على المصفوفة العاطلة 3×3

المصفوفة المربعة التالية ذات الحجم 3×3 غير فعالة:

للتأكد من توافق المصفوفة المستقلة، نرفع المصفوفة إلى 2:

$\displaystyle B^2=\begin{pmatrix} 2 &-3 & -5 \\[1.1ex] -1 & 4 & 5 \\[1.1ex] 1 & -3 & -4 \end{pmatrix}$

والنتيجة هي نفس المصفوفة الأصلية، وبالتالي يتم إثبات عجز المصفوفة.

هيكل مصفوفة عاجزة 2 × 2

نعرض لك هنا الصيغة للحصول على مصفوفة غير فعالة. في حال كنت مهتمًا أكثر، يمكنك مشاهدة عرض الصيغة أدناه في التعليقات، ولكنها مملة بعض الشيء، لذلك نتركك هنا مباشرة مع صيغة المصفوفات غير الفعالة :

بطريقة يمكن أن تكون عناصر القطر الثانوي لمصفوفة غير فعالة تعسفية طالما تم استيفاء الشرط

$a^2+bc=a$

ويجب أن تكون الأرقام الموجودة على القطر الرئيسي

$a$

$1-a.$

بالإضافة إلى جميع المصفوفات الموصوفة في هذه الصيغة، يجب أن نضيف مصفوفة الهوية، وهي أيضًا مصفوفة غير فعالة على الرغم من أنها لا تحترم الصيغة. إذا كنت لا تعرف ما هي المصفوفة، يمكنك أن تسأل ما هي مصفوفة الهوية .

خصائص المصفوفات العاجزة

تتميز المصفوفات العاطلة بالخصائص التالية:

محدد المصفوفة المستقلة هو دائمًا 0 أو 1.

باستثناء مصفوفة الهوية، فإن جميع المصفوفات العاجزة الأخرى هي مصفوفات فردية أو منحلة، أي أنها غير قابلة للعكس.

أي مصفوفة معطلة تكون قابلة للقطر، وتكون قيمها الذاتية (أو قيمها الذاتية) دائمًا 0 أو 1.

أثر المصفوفة العاطلة يساوي رتبة المصفوفة.

وأخيرا، هناك علاقة بين المصفوفات العاجزة والمصفوفات غير الملتوية: المصفوفة
$A$

هو عاجز إذا وفقط إذا كانت المصفوفة

$\displaystyle P= 2A-I$

إنه لا إرادي.