حساب المنتج النقطي لمتجهين -

في هذه الصفحة سترى ما هو وكيفية حساب حاصل الضرب النقطي لمتجهين. ستتعلم أيضًا كيفية إيجاد الزاوية بين متجهين باستخدام حاصل الضرب النقطي، بالإضافة إلى جميع خصائص حاصل الضرب النقطي. وأخيرا، سوف تكون قادرا على التدرب مع الأمثلة والتمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

كيفية حساب المنتج النقطي بين متجهين

في الرياضيات، المنتج النقطي هو عملية متجهة تقوم بضرب متجهين وتحويلهما إلى عدد حقيقي. لذلك، هناك طريقتان لحساب المنتج النقطي لمتجهين:

إذا عرفنا إحداثيات متجهين، فيمكننا إيجاد حاصل الضرب النقطي لهما عن طريق ضرب مكونات X وY معًا ثم إضافة النتائج. بمعنى آخر، إذا كان لدينا متجهان:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y) \qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

المنتج العددي بينهما هو:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \text{u}_x\cdot \text{v}_x + \text{u}_y\cdot \text{v}_y$

على سبيل المثال، المنتج النقطي بين المتجهين التاليين هو:

$\vv{\text{u}} = (1,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,3)$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}&=(1,2)\cdot (-1,3) \\[1.5ex]&=1\cdot (-1) + 2 \cdot 3 \\[1.5ex] & = -1+6 \\[1.5ex] & =\bm{5} \end{aligned}$

إنها طريقة للعثور على المنتج النقطي بين متجهين. ومع ذلك، هناك أيضًا طريقة أخرى:

من ناحية أخرى، إذا عرفنا الوحدة والزاوية بين متجهين، فيمكن تحديد المنتج القياسي بين المتجهين عن طريق حساب منتج وحداتهما بواسطة جيب تمام الزاوية التي يشكلانها:

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha )$

ذهب

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

هي وحدات من المتجهات

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

على التوالي و

$\alpha$

الزاوية التي يصنعونها.

تذكر أن مقدار المتجه هو جذر مربعات مكوناته:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ \text{u}_x^2+\text{u}_y^2}$

على سبيل المثال، سنحل المنتج القياسي لمتجهين وحدتيهما والزاوية بينهما هي:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =3 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 4 \qquad \alpha=60º$

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 3 \cdot 4 \cdot \cos(60º)\\[1.5ex] & = 3 \cdot 4 \cdot 0,5 \\[1.5ex] &= \bm{6} \end{aligned}$

من ناحية أخرى، يُطلق على المنتج النقطي أيضًا اسم المنتج النقطي أو المنتج العددي أو المنتج النقطي.

ملاحظة: لا تخلط بين المنتج النقطي والمنتج المتقاطع، لأنه على الرغم من أن لهما أسماء متشابهة، إلا أنهما مفهومان مختلفان تمامًا.

أوجد الزاوية بين متجهين باستخدام حاصل الضرب النقطي

بمجرد أن نرى تعريف حاصل الضرب النقطي، ربما تتساءل ما هو الغرض من ضرب متجهين؟ حسنًا، أحد تطبيقات الضرب النقطي هو حساب الزاوية التي يشكلها متجهان.

وبحل جيب تمام صيغة الضرب النقطي، نحصل على:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800}\newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}\end{empheq}$

دعونا نرى كيف يتم ذلك من خلال مثال:

أوجد الزاوية المحصورة بين المتجهين التاليين:

$\vv{\text{u}} = (4,2) \qquad \vv{\text{v}} = (-1,5)$

نحتاج أولاً إلى إيجاد مقدار المتجهين:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 4^2+2^2}= \sqrt{20}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-1)^2+5^2}= \sqrt{26}$

نستخدم الآن الصيغة لحساب جيب تمام الزاوية بين المتجهين:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 4\cdot (-1) + 2\cdot 5}{\sqrt{20}\cdot \sqrt{26}} = \cfrac{6}{\sqrt{520}} = 0,26$

وأخيرًا، يمكننا إيجاد الزاوية المقابلة عن طريق إجراء معكوس جيب التمام باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle \cos^{-1}(0,26) = \bm{74,93º}$

ولذلك، تشكل المتجهات زاوية قدرها 74.93 درجة.

خصائص المنتج النقطي لمتجهين

يتميز المنتج النقطي بالخصائص التالية:

الخاصية التبادلية : لا يهم ترتيب ضرب المتجهات.

$\displaystyle \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{v}} \cdot \vv{\text{u}}$

خاصية التوزيع : يكون حاصل الضرب النقطي توزيعيًا فيما يتعلق بجمع وطرح المتجهات:

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}+ \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}+ \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

$\displaystyle \vv{\text{u}}( \vv{\text{v}}- \vv{\text{w}} )=\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}- \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{w}}$

خاصية الدمج : يمكننا ضرب حاصل الضرب النقطي بثابت قبل أو بعد إجراء العملية، حيث أن النتائج متكافئة:

$\displaystyle k\cdot (\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}) = (k\cdot\vv{\text{u}}) \cdot \vv{\text{v}} =\vv{\text{u}} \cdot (k\cdot\vv{\text{v}})$

إذا كان متجهان متعامدين (أو متعامدين)، فإن حاصل ضربهما النقطي يساوي صفرًا. يمكن إثبات هذه الخاصية بسهولة لأن متجهين متعامدين يشكلان زاوية قدرها 90 درجة، وجيب التمام 90 درجة يساوي 0:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(90º ) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 0 \\[1.5ex] &= 0 \end{aligned}$

على العكس من ذلك، إذا كان متجهان متوازيين ، فإن منتجهما القياسي يكون هو نفسه منتج وحداتهما. يمكن أيضًا التحقق من هذه الخاصية بسهولة نظرًا لأن متجهين من نفس الاتجاه يشكلان زاوية قدرها 0 درجة، وجيب تمامها يساوي 1:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(0º) \\[1.5ex] &=\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot 1 \\[1.5ex] &= \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \end{aligned}$

وأخيرًا، فإن الناتج النقطي للمتجه في حد ذاته يعادل مربع حجمه:

$\displaystyle\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{u}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert ^2$

حل مسائل المنتج العددي بين متجهين

التمرين 1

احسب حاصل الضرب النقطي في مستوى المتجهين التاليين:

$\vv{\text{u}} = (4,-3) \qquad \vv{\text{v}} = (5,2)$

انظر الحل

لحساب حاصل الضرب النقطي لمتجهين، نحتاج إلى ضرب إحداثيات X وإحداثيات Y معًا، ثم إضافة النتائج:

$\displaystyle \begin{aligned}\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = (4,-3)\cdot (5,2) \\[1.5ex] & = 4\cdot 5 + (-3) \cdot 2 \\[1.5ex] & = 20-6\\[1.5ex] & =\bm{14} \end{aligned}$

تمرين 2

تحديد المنتج القياسي لمتجهين تكون وحداتهما والزاوية التي يشكلانها هي:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert =6 \qquad \lvert \vv{\text{v}} \rvert = 3 \qquad \alpha=45º$

انظر الحل

وبما أننا نعرف وحداتها والزاوية بينها، فيمكننا تطبيق صيغة الضرب النقطي مباشرة:

$\displaystyle \begin{aligned} \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}} & = \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert \cdot \cos(\alpha ) \\[1.5ex] &= 6 \cdot 3 \cdot \cos(45º)\\[1.5ex] & = 6 \cdot 3 \cdot 0,71 \\[1.5ex] &= \bm{12,73} \end{aligned}$

التمرين 3

ما الزاوية المحصورة بين المتجهين التاليين؟

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(3,8) \qquad \vv{\text{v}} =(-4,1)$

انظر الحل

أولاً، علينا حساب مقدار المتجهين:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{u}} \rvert = \sqrt{ 3^2+8^2}= \sqrt{73}$

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ (-4)^2+1^2}= \sqrt{17}$

نستخدم الصيغة لحساب جيب تمام الزاوية التي تشكلها المتجهات:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}=\cfrac{ 3\cdot (-4) + 8\cdot 1}{\sqrt{73}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{-4}{\sqrt{1241}} = -0,11$

وأخيرًا، يمكننا إيجاد الزاوية المقابلة عن طريق إجراء معكوس جيب التمام باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle \cos^{-1}(-0,11) = \bm{96,52º}$

التمرين 4

خذ بعين الاعتبار المتجهين التاليين:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(5,2) \qquad \vv{\text{v}} =(-1,6)$

احسب العملية التالية:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

انظر الحل

علينا أولًا إيجاد حاصل الضرب القياسي داخل القوسين، ثم الضرب في حاصل الضرب القياسي خارج القوس:

$4 \bigl(\vv{\text{u}} \cdot\vv{\text{v}}\bigr)$

$4 \bigl((5,2) \cdot (-1,6) \bigr)$

$4 \bigl(5 \cdot (-1) + 2 \cdot 6 \bigr)$

$4 \bigl(-5 + 12 \bigr)$

$4 \cdot 7$

$\bm{28}$

التمرين 5

بالنظر إلى المتجهات الثلاثة ثنائية الأبعاد التالية:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,6) \qquad \vv{\text{v}} =(4,-3)\qquad \vv{\text{w}} =(-1,2)$

احسب العملية التالية:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

انظر الحل

أولاً، نضرب المتجهات في الكميات القياسية الموجودة بين قوسين:

$\vv{\text{w}} \cdot \bigl( 5 \vv{\text{u}}- 2 \vv{\text{v}}\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( 5 (-2,6)- 2(4,-3)\bigr)$

$(-1,2) \cdot \bigl( (-10,30)- (8,-6)\bigr)$

الآن نقوم بطرح المتجهات:

$(-1,2) \cdot (-10 -8,30-(-6))$

$(-1,2) \cdot (-18,36)$

وأخيرًا، نحل المنتج القياسي:

$(-1)\cdot (-18) + 2 \cdot 36$

$18 + 72$

$\bm{90}$

التمرين 6

احسب قيمة

$k$

بحيث تكون المتجهات التالية متعامدة:

$\displaystyle \vv{\text{u}}=(-2,-3) \qquad \vv{\text{v}} =(k,6)$

انظر الحل

يشكل متجهان متعامدان زاوية قدرها 90 درجة. لذا يجب أن يكون جيب تمام الزاوية صفرًا، حيث أن cos(90°)=0. حتى الآن:

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

$\displaystyle 0=\cfrac{\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert}$

مقام الكسر يقسم الجانب الأيمن بالكامل من المعادلة، حتى نتمكن من تمريره عن طريق الضرب في الجانب الآخر:

$\displaystyle 0 \cdot \lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

$\displaystyle 0 =\vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}$

نحن الآن نحل المنتج العددي:

$\displaystyle 0 =(-2,-3) \cdot (k,6)$

$\displaystyle 0 =-2 \cdot k + (-3)\cdot 6$

$\displaystyle 0 =-2 k -18$

وأخيرا نوضح المجهول:

$\displaystyle 2k =-18$

$\displaystyle k =\cfrac{-18}{2}$

$\displaystyle \bm{k =-9}$

التمرين 7

حساب الزوايا

$\alpha , \beta$

$\gamma$

والتي تشكل أضلاع المثلث التالي:

تمارين ومسائل تم حلها خطوة بخطوة للمنتج القياسي لمتجهين

انظر الحل

الرءوس التي يتكون منها المثلث هي النقاط التالية:

$A(2,1) \qquad B(4,4) \qquad C(6,2)$

لحساب الزوايا الداخلية للمثلث، يمكننا حساب متجهات كل ضلع من أضلاعه، ثم إيجاد الزاوية التي تشكلها باستخدام صيغة الضرب النقطي.

على سبيل المثال، للعثور على الزاوية

$\alpha$

نحسب متجهات جوانبه:

$\vv{AB} = B - A = (4,4)-(2,1)= (2,3)$

$\vv{AC} = C - A = (6,2)-(2,1)= (4,1)$

ونوجد الزاوية التي يشكلها المتجهان باستخدام صيغة الضرب النقطي:

$\lvert \vv{AB} \rvert = \sqrt{2^2+3^2} = \sqrt{13}$

$\lvert \vv{AC} \rvert = \sqrt{4^2+1^2} = \sqrt{17}$

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{AC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{AC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 4 + 3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{17}} = \cfrac{11}{\sqrt{221}} =0,74$

$\bm{\alpha = 42,27º}$

الآن نكرر نفس الإجراء لتحديد الزاوية

$\beta:$

$\vv{BC} = C - B = (6,2)-(4,4)= (2,-2)$

$\lvert \vv{BC} \rvert = \sqrt{2^2+(-2)^2} = \sqrt{8}$

$\displaystyle \cos(\beta) =\cfrac{\vv{AB} \cdot \vv{BC}}{\lvert \vv{AB} \rvert \cdot \lvert \vv{BC} \rvert}=\cfrac{ 2\cdot 2 + 3\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{8}} = \cfrac{-2}{\sqrt{104}} =-0,20$

$\bm{\beta = 101,31º}$

وأخيرًا، للعثور على الزاوية الأخيرة، يمكننا تكرار نفس الإجراء. ومع ذلك، جميع الزوايا في المثلث يجب أن يكون مجموعها 180 درجة، لذلك:

$\gamma = 180 -42,27-101,31 = \bm{36,42º}$

كيفية حساب المنتج النقطي بين متجهين

أوجد الزاوية بين متجهين باستخدام حاصل الضرب النقطي

خصائص المنتج النقطي لمتجهين

حل مسائل المنتج العددي بين متجهين

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

التمرين 6

التمرين 7

اترك تعليقاً إلغاء الرد