القيم الذاتية (أو القيم الذاتية) والمتجهات الذاتية (أو المتجهات الذاتية) للمصفوفة -

في هذه الصفحة نشرح ما هي القيم الذاتية والمتجهات الذاتية، وتسمى أيضًا القيم الذاتية والمتجهات الذاتية على التوالي. ستجد أيضًا أمثلة حول كيفية حسابها بالإضافة إلى تمارين تم حلها خطوة بخطوة للتدرب عليها.

ما هي القيمة الذاتية والمتجه الذاتي؟

على الرغم من صعوبة فهم مفهوم القيمة الذاتية والمتجه الذاتي، إلا أن تعريفه هو كما يلي:

المتجهات الذاتية أو المتجهات الذاتية هي المتجهات غير الصفرية للخريطة الخطية والتي، عند تحويلها بها، تؤدي إلى مضاعف عددي منها (لا تغير اتجاهها). هذا العدد هو القيمة الذاتية أو القيمة الذاتية .

$Av = \lambda v$

ذهب

$A$

هي مصفوفة الخريطة الخطية،

$v$

هو المتجه الذاتي و

$\lambda$

القيمة الخاصة.

تُعرف القيمة الذاتية أيضًا بالقيمة المميزة. وهناك أيضًا علماء رياضيات يستخدمون الجذر الألماني “eigen” لتعيين القيم الذاتية والمتجهات الذاتية: القيم الذاتية للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمتجهات الذاتية.

كيفية حساب القيم الذاتية (أو القيم الذاتية) والمتجهات الذاتية (أو المتجهات الذاتية) للمصفوفة؟

للعثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة، عليك اتباع الإجراء بأكمله:

يتم حساب المعادلة المميزة للمصفوفة عن طريق حل المحدد التالي:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)$

نجد جذور كثيرة الحدود المميزة التي تم الحصول عليها في الخطوة 1. هذه الجذور هي القيم الذاتية للمصفوفة.

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)=0 \ \longrightarrow \ \lambda$

يتم حساب المتجه الذاتي لكل قيمة ذاتية. للقيام بذلك، تم حل نظام المعادلات التالي لكل قيمة ذاتية:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

هذه هي طريقة العثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة، لكننا نقدم لك هنا أيضًا بعض النصائح: 😉

نصائح : يمكننا الاستفادة من خصائص القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لحسابها بسهولة أكبر:

✓ أثر المصفوفة (مجموع قطرها الرئيسي) يساوي مجموع كل القيم الذاتية.

$\displaystyle tr(A)=\sum_{i=1}^n \lambda_i$

✓ حاصل ضرب جميع القيم الذاتية يساوي محدد المصفوفة.

$\displaystyle det(A)=\prod_{i=1}^n \lambda_i$

✓ إذا كان هناك مجموعة خطية بين الصفوف أو الأعمدة، فإن قيمة ذاتية واحدة على الأقل للمصفوفة تساوي 0.

دعونا نرى مثالاً لكيفية حساب المتجهات الذاتية والقيم الذاتية للمصفوفة لفهم الطريقة بشكل أفضل:

مثال لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة:

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة التالية:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&0\\[1.1ex] 5&2\end{pmatrix}$

أولًا، علينا إيجاد المعادلة المميزة للمصفوفة. ولهذا لا بد من تحديد المحدد التالي:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1- \lambda &0\\[1.1ex] 5&2-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-3\lambda +2$

الآن نحسب جذور كثيرة الحدود المميزة، وبالتالي نساوي النتيجة التي تم الحصول عليها بـ 0 ونحل المعادلة:

$\displaystyle \lambda^2-3\lambda +2 = 0$

$\lambda= \cfrac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot 1 \cdot 2}}{2\cdot 1} = \cfrac{+3\pm 1}{2}=\begin{cases} \lambda = 1 \\[2ex] \lambda = 2 \end{cases}$

حلول المعادلة هي القيم الذاتية للمصفوفة.

بمجرد حصولنا على القيم الذاتية، فإننا نحسب المتجهات الذاتية. للقيام بذلك، نحن بحاجة إلى حل النظام التالي لكل قيمة ذاتية:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

سنقوم أولاً بحساب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 1:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-1 I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}0&0\\[1.1ex] 5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 0x+0y = 0 \\[2ex] 5x+y = 0\end{array}\right\}$

ومن هذه المعادلات نحصل على الفضاء الجزئي التالي:

$\displaystyle y=-5x$

تسمى الفضاءات الفرعية للمتجه الذاتي أيضًا بالمساحات الذاتية.

الآن علينا أن نجد قاعدة لهذه المساحة النظيفة، لذلك نعطي على سبيل المثال القيمة 1 للمتغير

$x$

ونحصل على المتجه الذاتي التالي:

$\displaystyle x = 1 \ \longrightarrow \ y=-5\cdot 1 = -5$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5\end{pmatrix}$

أخيرًا، بمجرد العثور على المتجهات الذاتية المرتبطة بالقيمة الذاتية 1، نكرر العملية لحساب المتجهات الذاتية للقيمة الذاتية 2:

$\displaystyle (A-\lambda I)v=0$

$\displaystyle (A-2I)\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&0\\[1.1ex] 5&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+0y = 0 \\[2ex] 5x+0y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=0$

في هذه الحالة، يجب أن يكون المكون الأول فقط للمتجه 0، حتى نتمكن من إعطاء أي قيمة له

$y$

. ولكن لتسهيل الأمر من الأفضل وضع 1:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

في الختام، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة هي:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -5 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

بمجرد أن تعرف كيفية العثور على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة، قد تتساءل… وما الغرض منها؟ حسنًا، اتضح أنها مفيدة جدًا لقطر المصفوفة ، في الواقع هذا هو تطبيقها الرئيسي. لمعرفة المزيد، نوصي بمراجعة كيفية رسم مصفوفة بشكل قطري باستخدام الرابط، حيث يتم شرح الإجراء خطوة بخطوة وهناك أيضًا أمثلة وتمارين محلولة للتدرب عليها.

تمارين محلولة على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (القيم الذاتية والمتجهات الذاتية)

التمرين 1

احسب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة المربعة التالية من الرتبة 2:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}3&1\\[1.1ex] 2&4\end{pmatrix}$

انظر الحل

نقوم أولاً بحساب محدد المصفوفة ناقص π على قطرها الرئيسي:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}3- \lambda &1\\[1.1ex] 2&4-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-7\lambda +10$

الآن دعونا نحسب جذور كثيرة الحدود المميزة:

$\displaystyle \lambda^2-7\lambda +10=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2:

$\displaystyle (A- 2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}1&1\\[1.1ex] 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ x=-y$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

ثم نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-2&1\\[1.1ex] 2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=2x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

لذلك، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 2 \end{pmatrix}$

تمرين 2

حدد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة المربعة 2×2 التالية:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1\\[1.1ex] 3&0\end{pmatrix}$

انظر الحل

نقوم أولاً بحساب محدد المصفوفة ناقص π على قطرها الرئيسي للحصول على المعادلة المميزة:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2- \lambda &1\\[1.1ex] 3&-\lambda \end{vmatrix} = \lambda^2-2\lambda -3$

الآن دعونا نحسب جذور كثيرة الحدود المميزة:

$\displaystyle \lambda^2-2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية -1:

$\displaystyle (A-(-1)I)v=0$

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3&1\\[1.1ex] 3&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 3x+1y = 0 \\[2ex] 3x+1y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=-3x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

ثم نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix}-1&1\\[1.1ex] 3&-3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \end{pmatrix} =}\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -1x+1y = 0 \\[2ex] 3x-3y = 0\end{array}\right\} \longrightarrow \ y=x$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

لذلك، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -3 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \end{pmatrix}$

التمرين 3

تحديد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية لمصفوفة الترتيب التالي 3:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}1&2&0\\[1.1ex] 2&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}$

انظر الحل

يجب علينا أولاً حل محدد المصفوفة A ناقص مصفوفة الهوية مضروبة في لامدا للحصول على المعادلة المميزة:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}$

في هذه الحالة، يحتوي العمود الأخير من المحدد على صفرين، لذا سنستفيد من ذلك لحساب المحدد بالعوامل المساعدة (أو المكملات) من خلال هذا العمود:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&2&0\\[1.1ex] 2&1-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&2-\lambda\end{vmatrix}& = (2-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&2\\[1.1ex] 2&1-\lambda \end{vmatrix} \\[3ex] & = (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3] \end{aligned}$

نحن الآن بحاجة إلى حساب جذور كثيرة الحدود المميزة. من الأفضل عدم ضرب الأقواس لأننا سنحصل على كثيرة الحدود من الدرجة الثالثة، من ناحية أخرى إذا تم حل العاملين بشكل منفصل فمن الأسهل الحصول على القيم الذاتية:

$\displaystyle (2-\lambda)[\lambda^2 -2\lambda -3]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 2-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 2 \\[2ex] \lambda^2 -2\lambda -3=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = -1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases} \end{cases}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -1&2&0\\[1.1ex] 2&-1&0\\[1.1ex] 0&1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -x+2y = 0 \\[2ex] 2x-y = 0\\[2ex] y=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=0 \\[2ex] x=y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية -1:

$\displaystyle (A+I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&2&0\\[1.1ex] 2&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+2y = 0 \\[2ex] 2x+2y = 0\\[2ex] y+3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-3z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&0\\[1.1ex] 2&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y = 0 \\[2ex] 2x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

لذلك، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}3 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

التمرين 4

احسب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة المربعة 3×3 التالية:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}$

انظر الحل

نقوم أولاً بحل محدد المصفوفة ناقص π على قطرها الرئيسي للحصول على المعادلة المميزة:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&1&3\\[1.1ex]-1&1-\lambda&1\\[1.1ex] 1&2&4-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-10\lambda$

نستخرج عاملاً مشتركًا من كثير الحدود المميز ونحل  من كل معادلة:

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2+7\lambda-10)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0\\[2ex] -\lambda^2+7\lambda-10=0 \ \longrightarrow \begin{cases}\lambda = 2 \\[2ex] \lambda = 5 \end{cases} \end{cases}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&1&3\\[1.1ex]-1&1&1\\[1.1ex] 1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2x+y+3z= 0 \\[2ex] -x+y+z= 0\\[2ex] x+2y+4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-\cfrac{2z}{3} \\[4ex] y=-\cfrac{5z}{3} \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5\\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&1&3\\[1.1ex]-1&-1&1\\[1.1ex] 1&2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} y+3z = 0 \\[2ex] -x-y+z= 0\\[2ex] x+2y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-3z \\[2ex] x=4z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}4\\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 5:

$\displaystyle (A-5I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -3&1&3\\[1.1ex]-1&-4&1\\[1.1ex] 1&2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -3x+y+3z = 0 \\[2ex] -x-4y+z = 0\\[2ex] x+2y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=z \\[2ex] y=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

لذلك، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}-2 \\[1.1ex] -5 \\[1.1ex] 3\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}4 \\[1.1ex] -3 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 5 \qquad v = \begin{pmatrix}1\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

التمرين 5

احسب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة 3×3 التالية:

$\displaystyle A= \begin{pmatrix}2&2&2\\[1.1ex] 1&2&0\\[1.1ex] 0&1&3\end{pmatrix}$

انظر الحل

نقوم أولاً بحل محدد المصفوفة ناقص π على قطرها الرئيسي للحصول على المعادلة المميزة:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}2-\lambda&2&2\\[1.1ex] 1&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&1&3-\lambda\end{vmatrix}=-\lambda^3+7\lambda^2-14\lambda+8$

نجد جذر كثير الحدود المميز أو كثير الحدود الأدنى باستخدام قاعدة روفيني:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} & -1&7&-14&8 \\[2ex] 1 & & -1&6&-8 \\ \hline &-1\vphantom{\Bigl)}&6&-8&0 \end{array}$

وبعد ذلك نجد جذور كثيرة الحدود التي تم الحصول عليها:

$\displaystyle -\lambda^2+6\lambda -8=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda =2 \\[2ex] \lambda = 4 \end{cases}$

وبالتالي فإن القيم الذاتية للمصفوفة هي:

$\lambda=1 \qquad \lambda =2 \qquad \lambda = 4$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 1:

$\displaystyle (A-1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&2&2\\[1.1ex] 1&1&0\\[1.1ex] 0&1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} x+2y+2z= 0 \\[2ex] x+y= 0\\[2ex] y+2z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=-y \\[2ex] y=-2z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] -2\\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 2:

$\displaystyle (A-2I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 0&2&2\\[1.1ex] 1&0&0\\[1.1ex] 0&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2y+2z = 0 \\[2ex] x= 0\\[2ex] y+z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-z \\[2ex] x=0\end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0\\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 4:

$\displaystyle (A-4I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&2&2\\[1.1ex] 1&-2&0\\[1.1ex] 0&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\[1.1ex] y \\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2x+2y+2z = 0 \\[2ex] x-2y = 0\\[2ex] y-z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} x=2y \\[2ex] y=z \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

لذلك، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:

$\displaystyle \lambda = 1 \qquad v = \begin{pmatrix}2\\[1.1ex] -2 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 2 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 4 \qquad v = \begin{pmatrix}2 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 1\end{pmatrix}$

التمرين 6

أوجد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة 4×4 التالية:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix}1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}$

انظر الحل

يجب علينا أولاً حل محدد المصفوفة ناقص lect على قطرها الرئيسي للحصول على المعادلة المميزة:

$\displaystyle \text{det}(A-\lambda I)= \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}$

في هذه الحالة، يحتوي العمود الأخير من المحدد على أصفار فقط باستثناء عنصر واحد، لذلك سنستفيد من ذلك لحساب المحدد بالعوامل المساعدة من خلال هذا العمود:

$\displaystyle \begin{aligned} \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda&0\\[1.1ex] 0&0&0&3-\lambda\end{vmatrix}& = (3-\lambda)\cdot \begin{vmatrix}1-\lambda&0&-1\\[1.1ex] 2&-1-\lambda&-3\\[1.1ex] -2&0&2-\lambda\end{vmatrix} \\[3ex] & = (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda] \end{aligned}$

يجب علينا الآن حساب جذور كثيرة الحدود المميزة. من الأفضل عدم ضرب الأقواس لأنه عندها سنحصل على كثيرة الحدود من الدرجة الرابعة، من ناحية أخرى إذا تم حل العاملين بشكل منفصل فمن الأسهل حساب القيم الذاتية:

$\displaystyle (3-\lambda)[-\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda]=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} 3-\lambda=0 \ \longrightarrow \ \lambda = 3 \\[2ex] -\lambda^3 +2\lambda^2 +3\lambda =0 \ \longrightarrow \ \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3) =0 \end{cases}$

$\displaystyle \lambda(-\lambda^2 +2\lambda +3)=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=0 \\[2ex] -\lambda^2 +2\lambda +3=0 \ \longrightarrow \ \begin{cases} \lambda=-1 \\[2ex] \lambda = 3 \end{cases}\end{cases}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 0:

$\displaystyle (A-0I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 1&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-1&-3&0\\[1.1ex] -2&0&2&0\\[1.1ex] 0&0&0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} w-y = 0 \\[2ex] 2w-x-3y = 0\\[2ex] -2w+2y=0 \\[2ex] 3z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} w=y \\[2ex] x=-w \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية -1:

$\displaystyle (A+1I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} 2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&0&-3&0\\[1.1ex] -2&0&3&0\\[1.1ex] 0&0&0&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} 2w-y = 0 \\[2ex] 2w-3y = 0\\[2ex] -2w+3y=0 \\[2ex] 4z=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=w=0 \\[2ex]z=0 \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

نحسب المتجه الذاتي المرتبط بالقيمة الذاتية 3:

$\displaystyle (A-3I)v=0$

$\displaystyle \begin{pmatrix} -2&0&-1&0\\[1.1ex] 2&-4&-3&0\\[1.1ex] -2&0&-1&0\\[1.1ex] 0&0&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}w \\[1.1ex] x \\[1.1ex] y\\[1.1ex] z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0\\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \left.\begin{array}{l} -2w-y = 0 \\[2ex] 2w-4x-3y = 0\\[2ex] -2w-y=0 \\[2ex] 0=0 \end{array}\right\} \longrightarrow \ \begin{array}{l} y=-2w \\[2ex] x=2w \end{array}$

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

القيمة الذاتية 3 لها تعدد يساوي 2، لأنها تتكرر مرتين. لذلك يجب أن نجد متجهًا ذاتيًا آخر يحقق نفس المعادلات:

$\displaystyle v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1 \end{pmatrix}$

لذلك، فإن القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة A هي:

$\displaystyle \lambda = 0 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] -1 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = -1 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 1 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]0 \end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}1 \\[1.1ex] 2 \\[1.1ex] -2 \\[1.1ex]0\end{pmatrix}$

$\displaystyle \lambda = 3 \qquad v = \begin{pmatrix}0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex] 0 \\[1.1ex]1\end{pmatrix}$

ما هي القيمة الذاتية والمتجه الذاتي؟

كيفية حساب القيم الذاتية (أو القيم الذاتية) والمتجهات الذاتية (أو المتجهات الذاتية) للمصفوفة؟

مثال لحساب القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة:

تمارين محلولة على القيم الذاتية والمتجهات الذاتية (القيم الذاتية والمتجهات الذاتية)

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

التمرين 6

اترك تعليقاً إلغاء الرد