المصفوفات القابلة للتحويل

في هذه الصفحة نشرح ما هي المصفوفات القابلة للتحويل. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية أمثلة لفهم المفهوم جيدًا، وأخيرًا، ستجد تمرينًا تم حله خطوة بخطوة نتعلم فيه حساب جميع المصفوفات التي تنتقل مع أي مصفوفة.

ما هي المصفوفات القابلة للتحويل؟

تكون المصفوفتان قابلتين للتبديل إذا كانت نتيجة حاصل ضربهما لا تعتمد على ترتيب الضرب. وبعبارة أخرى، فإن المصفوفات القابلة للتحويل تحقق الشرط التالي:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

هذا هو تعريف المصفوفات القابلة للتبديل، والآن دعونا نرى مثالاً:

مثال على المصفوفات القابلة للتحويل

المصفوفتان التاليتان ذات البعد 2×2 قابلة للتبديل بينهما:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0\\[1.1ex] 1 & -1 \end{pmatrix} \quad B= \begin{pmatrix} 3& 0\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}$

يمكن إثبات قابلية تبديل المصفوفتين من خلال حساب منتجهما في كلا الاتجاهين:

مثال على المصفوفات القابلة للتحويل ذات البعد 2x2

وكما ترون، فإن نتيجة الضربين هي نفسها، بغض النظر عن ترتيب الضرب. لذلك المصفوفات

$A$

$B$

فهي قابلة للتحويل.

حل تمرين تبديل المصفوفات

ثم سنرى خطوة بخطوة كيفية حل تمرين المصفوفة القابلة للتبديل:

حدد جميع المصفوفات التي ترتبط بالمصفوفة المربعة التالية:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

لحل هذه المشكلة سنقوم بإنشاء مصفوفة غير معروفة:

$\displaystyle B=\begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix}$

ومن ثم، علينا إيجاد هذه المصفوفة المجهولة.

للقيام بذلك، سوف نستفيد من الخاصية التي تلبيها جميع مصفوفات التنقل:

$\displaystyle A\cdot B = B \cdot A$

$\displaystyle \begin{pmatrix}3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1\\[1.1ex] 1 & 0 \end{pmatrix}$

الآن نضرب المصفوفات في طرفي المعادلة:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 3a+c &3b+d\\[1.1ex] a & b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3a+b & a\\[1.1ex] 3c+d & c \end{pmatrix}$

ولذلك، لكي تتحقق المساواة، لا بد من تحقيق المعادلات التالية:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] a=3c+d\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

إذن كل ما علينا فعله هو حل نظام المعادلات. ومن المعادلة الأخيرة يمكننا أن نستنتج ذلك

$b$

يجب أن يكون مساويا ل

$c$

$b=c$

وإذا كان هذين المجهولين متساويين، تكررت المعادلة الثالثة مع الثانية، فيمكننا بالتالي حذفها:

$\left.\begin{array}{l} 3a+c=3a+b \\[2ex] 3b+d=a \\[2ex] \cancel{a=3c+d}\\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

علاوة على ذلك، من المعادلة الأولى لا يمكننا استخلاص أي استنتاجات، للأسباب التالية:

$3a+c=3a+b \ \xrightarrow{b \ = \ c} \ 3a+b=3a+b$

$3a=3a$

$a=a$

وبالتالي لم يتبق لنا سوى المعادلة الثانية والأخيرة:

$\left.\begin{array}{l} 3b+d=a \\[2ex] b= c \end{array}\right\}$

بحيث تتنقل المصفوفات مع المصفوفة

$A$

هي كل تلك التي تؤكد المعادلتين السابقتين. لذلك، بالتعويض عن العبارات الموجودة في المصفوفة المجهولة من البداية، يمكننا إيجاد شكل المصفوفات التي تنتقل مع

$A:$

$\displaystyle \begin{pmatrix} a & b\\[1.1ex] c & d \end{pmatrix} \ \longrightarrow \ \begin{pmatrix} 3b+d & b \\[1.1ex] b & d \end{pmatrix}$

ذهب

$b$

$d$

هما رقمان حقيقيان.

إذن مثال على مصفوفة يمكن التبديل بينها وبين المصفوفة

$A$

سيكون على النحو التالي:

$\displaystyle \begin{pmatrix} 6 & 1 \\[1.1ex] 1 & 3 \end{pmatrix}$

خصائص المصفوفات القابلة للتحويل

تتميز المصفوفات القابلة للتحويل بالخصائص التالية:

لا تحتوي المصفوفات القابلة للتحويل على خاصية متعدية . وبعبارة أخرى، حتى لو كانت المصفوفة
$A$

التنقل مع المصفوفات

$B$

و

$C$

هذا لا يعني ذلك

$B$

و

$C$

قابلة للتحويل بينهما.

تنتقل المصفوفات القطرية مع بعضها البعض، أي أن المصفوفة القطرية تنتقل مع أي مصفوفة قطرية أخرى.

وبالمثل، تنتقل المصفوفة العددية بالتساوي مع جميع المصفوفات. على سبيل المثال، تنتقل مصفوفة الهوية أو الوحدة مع جميع المصفوفات.

تتنقل مصفوفتان هيرميتيان إذا تزامنت ناقلاتهما الذاتية (أو ناقلاتهما الذاتية).

من الواضح أن المصفوفة الصفرية تنتقل أيضًا مع جميع المصفوفات.

إذا كان حاصل ضربمصفوفتين متماثلتين يعطي مصفوفة متماثلة أخرى، فيجب تبديل المصفوفتين.

إذا كان من الممكن إجراء تخطيط قطري لمصفوفتين في وقت واحد، فيجب أن تكونا قابلتين للتبديل. ولذلك، فإن هاتين المصفوفتين تشتركان أيضًا في نفس الأساس المتعامد للمتجهات الذاتية أو المتجهات الذاتية.

مصفوفات قابلة للتحويل

ما هي المصفوفات القابلة للتحويل؟

مثال على المصفوفات القابلة للتحويل

حل تمرين تبديل المصفوفات

خصائص المصفوفات القابلة للتحويل

اترك تعليقاً إلغاء الرد