خطوط متزامنة - ماثوريتي

ستجد هنا كل شيء عن الخطوط المتطابقة: ماذا تعني، وكيفية تحديد ما إذا كان الخطان متطابقين، وخصائصهما، وما إلى ذلك. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية أمثلة وتمارين محلولة للمستقيمات المتطابقة.

ما هما الخطان المتطابقان؟

الخطان المتطابقان هما خطان تشتركان في جميع نقاطهما. ولذلك، فإن الخطين المتطابقين متطابقان تمامًا.

على سبيل المثال، يوجد أدناه خطان متطابقان مرسومان بيانيًا، ما يحدث هو أنك ترى واحدًا فقط لأنهما متداخلان (هما متساويان).

دائمًا ما يكون للخطين المتطابقين نفس الاتجاه، لذا فإنهما يشكلان زاوية هندسية قدرها 0 درجة.

من ناحية أخرى، تذكر أنه في المستوى هناك 4 احتمالات في مفهوم الموضع النسبي بين خطين: يمكن أن يكون الخطان متطابقين ومتوازيين وقاطعين ومتعامدين . إذا أردت، يمكنك التحقق من معنى كل نوع سطر والفرق بينهما في هذه الروابط الثلاثة.

كيف تعرف إذا كان الخطان متطابقين؟

تعتمد معرفة متى يتزامن خطان على ما إذا كنت تعمل بإحداثيين (في R2) أو بثلاثة إحداثيات (في R3).

تحديد خطين متطابقين في المستوى

عندما نعمل في مساحة ثنائية الأبعاد (2D)، فمن السهل جدًا أن نرى متى يتطابق خطان ومتى لا ينشأان من المعادلة الضمنية أو المعادلة الصريحة للخط.

بصرف النظر عن هاتين الطريقتين، يمكننا أيضًا التحقق مما إذا كان الخطان متطابقين عن طريق حل نظام المعادلات المتكون من معادلات الخطين (إذا أعطى النظام حلولاً لا نهائية فهذا يعني أنها متطابقة). لكن هذا الإجراء أكثر تعقيدا ويستغرق وقتا طويلا، لذا لن نشرحه بالتفصيل لأنه من الأفضل القيام به من معاملات المعادلة الضمنية أو المعادلة الصريحة.

من المعادلة الضمنية (أو العامة) للخط

إحدى الطرق لمعرفة ما إذا كان الخطان متطابقين هي استخدام المعادلة الضمنية للخط، والمعروفة أيضًا باسم المعادلة العامة أو الديكارتية.

المعادلة الضمنية للخط تتوافق مع التعبير التالي:

$Ax+By+C=0$

حسنًا ، إذا كان هناك خطان لهما معاملات التناسب الثلاثة (A، B، وC) ، فهذا يعني أنهما متطابقان.

$r: \ Ax+By+C=0 \qquad \qquad s: \ A'x+B'y+C'=0$

$\cfrac{A}{A'} = \cfrac{B}{B'}= \cfrac{C}{C'} \quad \longrightarrow \quad \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

على سبيل المثال، يتطابق السطران التاليان:

$r: \ 4x+6y-2=0 \qquad \qquad s: \ 2x+3y-1=0$

وهي تتطابق لأن المعلمات A وB وC متناسبة مع بعضها البعض:

$\cfrac{4}{2} = \cfrac{6}{3}= \cfrac{-2}{-1}= 2$

من المعادلة الصريحة للخط

هناك طريقة أخرى لمعرفة ما إذا كان الخطان متطابقين بالفعل، وهي استخدام المعادلة الصريحة للخط. تذكر أن المعادلة الصريحة للخط هي كما يلي:

$y=mx+n$

إذا كان هناك خطين لهما نفس الميل (المعامل m) ونفس الإحداثي عند نقطة الأصل (المعامل n)، فهما عبارة عن خطين مدمجين.

$r: \ y=m_rx+n_r \qquad \qquad s: \ y=m_sx+n_s$

$\left.\begin{array}{c} m_r = m_s \\[2ex] n_r=n_s \end{array} \right\} \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

على سبيل المثال، الخطان التاليان متماثلان لأن لهما في الأصل منحدرات وإحداثيات متساوية:

$r: \ y=3x-1 \qquad \qquad s: \ y=3x-1$

تجدر الإشارة إلى أنه إذا كان لهما نفس الميل ولكنهما تم ترتيبهما بشكل مختلف عند نقطة الأصل، فسيكونان خطين متوازيين وليسا متطابقين.

وأخيرًا، كما ترون في المثال، فإن الخطين المتطابقين لهما نفس المعادلة الصريحة. ينطبق هذا على أي نوع من المعادلات الخطية: إذا تطابق خطان في معادلتهما، فهذا يعني أنهما متطابقان.

العثور على خطين متطابقين في الفضاء

يختلف تحديد خطين متطابقين في الفضاء (في R3) عن ذلك الموجود في المستوى الديكارتي (في R2)، لأنه يجب إجراء الحسابات بإحداثيات أخرى. لذلك، دعونا نرى كيف يتم ذلك:

بالنظر إلى معادلتين لخطين مختلفين في الفضاء:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0 \\[2ex]A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} A_1'x+B_1'y+C_1'z+D_1'=0 \\[2ex]A_2'x+B_2'y+C_2'z+D_2'=0 \end{cases}$

واجعل M وM’ هما المصفوفتان المتكونتان من معاملات الخطوط:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1\\[1.1ex]A_2&B_2&C_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2' \end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} A_1&B_1&C_1&D_1 \\[1.1ex]A_2&B_2&C_2&D_2 \\[1.1ex]A_1'&B_1'&C_1'&D_1'\\[1.1ex]A_2'&B_2'&C_2'&D_2' \end{pmatrix}$

ثم إذا كانت رتبة المصفوفات M وM’ تساوي 2، فإن الخطين يتطابقان.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

لنرى مثالاً للخطوط المتطابقة في الفضاء من خلال تمرين تم حله خطوة بخطوة:

حدد ما إذا كان السطران التاليان متطابقين أم لا:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x+2y+z+3=0 \\[2ex]3x+4y+z+8=0 \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} x-z+2=0 \\[2ex]2y+2z+1=0 \end{cases}$

المصفوفة M والمصفوفة الموسعة M’ لمعاملات الخطوط هي:

$\displaystyle M=\begin{pmatrix} 1&2&1 \\[1.1ex]3&4&1 \\[1.1ex]1&0&-1\\[1.1ex]0&2&2\end{pmatrix}\qquad \qquad M'=\begin{pmatrix} 1&2&1&3 \\[1.1ex]3&4&1&8 \\[1.1ex]1&0&-1&2\\[1.1ex]0&2&2&1\end{pmatrix}$

بعد أن قمنا ببناء كلتا المصفوفتين، نحتاج إلى حساب مدى كل مصفوفة:

$rg(M)=2 \qquad \qquad rg(M') = 2$

رتب المصفوفتين متساويتين، علاوة على ذلك، فإنهما تساويان 2. وبالتالي فإن الخطين مختلطان.

$rg(M)=rg(M') = 2 \ \longrightarrow \ \bm{r} \text{ y } \bm{s} \text{ son coincidentes}$

خصائص الخطوط المتطابقة

تتميز الخطوط المتطابقة بالخصائص التالية:

إن متجهات الاتجاه (المتجه الذي يشير إلى اتجاه الخط) لخطين متطابقين تكون متناسبة وبالتالي تعتمد خطيًا. الخطوط المتوازية لها هذه الخاصية أيضًا.

وبالمثل، فإن متجهات الاتجاه لخطين متطابقين لها نفس الاتجاه.

يتم تمثيل خطين متطابقين على الرسم البياني بنفس الخط.

وبهذا المعنى، فإن الخطين المتطابقين لديهما أشياء مشتركة. ومن ثم، فإن نقاط التقاطع مع المحاور هي نفسها.

من الواضح أن الخطين المتطابقين متحدان المستوى، أي أنهما موجودان في نفس المستوى.

خطوط متطابقة