السطر: التعريف، الخصائص، الأنواع، المعادلة…؛ -الرشد

شرح كل ما يتعلق بالخط: ما هو، الأنواع المختلفة الموجودة، كيفية التعبير عن الخط رياضيا (المعادلات)، ما هي المواضع النسبية للخطوط، كيفية حساب الزاوية بين خطين، تفسير الخط ميل الخط،….

ما هو الخط؟

التعريف الرياضي للخط هو كما يلي:

الخط هو مجموعة لا نهائية من النقاط المتتالية الممثلة في نفس الاتجاه بدون منحنيات أو زوايا.

من ناحية أخرى، يمثل الخط الحد الأدنى للمسافة الممكنة بين نقطتين مختلفتين.

بالإضافة إلى ذلك، الخط هو خط يمتد في نفس الاتجاه، لذلك له بعد واحد فقط.

أنواع الخط

لقد رأينا للتو ما هي الخطوط، ولكن يجب أن تعلم أن هناك أكثر من نوع من الخطوط، ولكل منها خصائصه الخاصة. وهكذا يمكن تصنيف الخطوط على النحو التالي:

خطوط متوازية

الخطوط المتوازية هي تلك الخطوط التي لا تتقاطع أبدًا، أي أنه حتى لو امتدت مساراتها إلى ما لا نهاية، فإنها لا تتلامس أبدًا. ولذلك، فإن نقاط الخطين المتوازيين تكون دائمًا على نفس المسافة من بعضها البعض، علاوة على ذلك، لا توجد نقاط مشتركة بين الخطين المتوازيين.

خطوط متقاطعة

في الرياضيات، يتقاطع خطان عندما يتقاطعان عند نقطة واحدة فقط. ولذلك فإن الخطوط المتقاطعة تشترك في نقطة واحدة فقط.

مثال على الخطوط المتقاطعة هي الخطوط المتعامدة ، وهي الخطوط التي تتقاطع عند نقطة تشكل أربع زوايا قائمة متساوية (90 درجة).

كما تعلمون فإن الخطوط المتعامدة مهمة جدًا ولذلك لدينا صفحة بها شرح لكل ما تريد معرفته عن هذا النوع من الخطوط: عندما يكون خطان متعامدين، كيفية حساب خط متعامد على بعضهما البعض، أمثلة وتمارين محلولة على الخطوط المتعامدة، وأكثر من ذلك بكثير. لذلك أترك لك صفحة التعامد بين السطور في حالة رغبتك في معرفة المزيد.

من ناحية أخرى، الخطوط التي تتقاطع ولكنها لا تتقاطع لتشكل زاوية 90 درجة، ولكن زاوية أخرى، تسمى الخطوط المائلة .

خطوط متطابقة

الخطان المتطابقان هما خطان تشتركان في جميع نقاطهما. ولذلك، فإن الخطين المتطابقين متطابقان تمامًا.

شعاع

ويسمى نصف الخط كل جزء من الجزأين اللذين ينقسم إليهما الخط بقطعه في إحدى نقاطه.

على سبيل المثال، يمكن تقسيم السطر السابق على النقطة A، وبالتالي تشكيل خطوط نصفية

$s$

$t.$

معادلة الخط

في الهندسة التحليلية، للتعبير عن أي خط تحليليًا، نستخدم معادلات الخط . وللعثور على معادلة خط ما، سواء في المستوى (في R2) أو في الفضاء (في R3)، كل ما تحتاجه هو نقطة تنتمي إلى الخط ومتجه الاتجاه للخط المذكور.

كما ترون في التمثيل البياني للسطر السابق، تتم تسمية الخطوط بحرف صغير، في هذه الحالة

$r.$

هناك عدة أنواع من المعادلات الخطية. جميع أنواع المعادلات الخطية لها نفس الهدف: تمثيل الخط رياضيًا. لكن كل معادلة للخط لها خصائصها، وبالتالي، اعتمادًا على المشكلة، من الأفضل استخدام واحدة أو أخرى. يوجد أدناه الصيغ لجميع معادلات الخط.

معادلة المتجهات للخط

نعم

$\vv{\text{v}}$

هو متجه الاتجاه للخط و

$P$

النقطة التي تنتمي إلى اليمين:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

صيغة المعادلة المتجهية للخط هي:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} (x,y)=(P_1,P_2)+t\cdot (\text{v}_1,\text{v}_2) \end{empheq}$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
$P_1$

و

$P_2$

هي إحداثيات نقطة معروفة تشكل جزءًا من الخط

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

و

$\text{v}_2$

هي مكونات متجه الاتجاه للخط

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

هو عددي (عدد حقيقي) تعتمد قيمته على كل نقطة على السطر.

المعادلات البارامترية للخط

صيغة المعادلة البارامترية للخط هي كما يلي:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \begin{cases} x=P_1+t\cdot\text{v}_1 \\[1.7ex] y=P_2+t\cdot\text{v}_2 \end{cases} \end{empheq}$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
$P_1$

و

$P_2$

هي إحداثيات نقطة معروفة تشكل جزءًا من الخط

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

و

$\text{v}_2$

هي مكونات متجه الاتجاه للخط

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$
$t$

هو عددي (عدد حقيقي) تعتمد قيمته على كل نقطة على السطر.

المعادلة المستمرة للخط

صيغة المعادلة المستمرة للخط هي:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \cfrac{x-P_1}{\text{v}_1}=\cfrac{y-P_2}{\text{v}_2} \end{empheq}$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
$P_1$

و

$P_2$

هي إحداثيات نقطة معروفة تشكل جزءًا من الخط

$P(P}_1,P_2).$
$\text{v}_1$

و

$\text{v}_2$

هي مكونات متجه الاتجاه للخط

$\vv{\text{v}}=(\text{v}_1,\text{v}_2).$

المعادلة الضمنية أو العامة للخط

نعم

$\vv{\text{v}}$

هو متجه الاتجاه للخط و

$P$

النقطة التي تنتمي إلى اليمين:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

صيغة المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط هي:

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
المعامل
$A$

هو المكون الثاني لمتجه الاتجاه للخط:

$A=\text{v}_2}$
المعامل
$B$

هو المكون الأول لعلامة تغير اتجاه المتجه:

$B=-\text{v}_1}$
المعامل
$C$

يتم حسابه عن طريق استبدال النقطة المعروفة

$P$

في معادلة الخط.

الصيغة، يمكن أيضًا الحصول على المعادلة الضمنية للخط عن طريق ضرب كسور المعادلة المستمرة.

معادلة صريحة للخط

صيغة المعادلة الصريحة للخط هي:

ذهب:

$m$

هو ميل الخط.
$n$

تقاطعه y، أي الارتفاع الذي يتقاطع عنده مع المحور Y.

في هذه الحالة بالذات، هناك طريقة أخرى لحساب المعادلة الصريحة وهي استخدام المعادلة الضمنية؛ للقيام بذلك، ببساطة قم بحذف المتغير

$y$

من المعادلة الضمنية

معادلة نقطة الميل للخط

صيغة معادلة نقطة الميل للخط هي كما يلي:

ذهب:

$m$

هو ميل الخط.
$P_1, P_2$

هي إحداثيات نقطة على الخط

$P(P_1,P_2).$

المعادلة الكنسي أو القطاعية للخط

على الرغم من أن هذا البديل لمعادلة الخط أقل شهرة، إلا أنه يمكن الحصول على المعادلة القانونية للخط من نقاط تقاطع الخط مع المحاور الديكارتية.

لتكن نقطتا التقاطع مع محوري المستقيم المعطى:

قطع مع المحور X:

$(a,0)$

قطع مع المحور Y:

$(0,b)$

صيغة المعادلة الأساسية للخط هي:

لقد رأينا للتو صيغ جميع معادلات الخط، ولكن إذا كنت ترغب في ذلك، يمكنك التعمق أكثر والتدرب على التمارين على معادلات الخط . بالإضافة إلى ذلك، ستشاهد في هذه الصفحة شرحًا أكثر تفصيلاً للمعادلات ذات الخط الواحد وأمثلة لكيفية حساب جميع أنواع المعادلات ذات الخط الواحد.

معنى منحدر الخط

مع كل المعلومات المذكورة أعلاه، نحن نعرف تمامًا كيف تبدو معادلة الخط، وإحدى الطرق لوصف الخط هي من خلال ميله. لكن في الحقيقة… ماذا يعني ميل الخط؟

يشير ميل الخط إلى الوحدات الرأسية التي يرتفعها الخط لكل وحدة أفقية في الرسم البياني.

على سبيل المثال، في تمثيل الخط التالي، يمكنك أن ترى أنه يتقدم بوحدتين رأسيتين لكل وحدة أفقية، لأن ميله يساوي 2.

بالإضافة إلى ذلك، يشير ميل الخط أيضًا إلى انحداره:

إذا كان الخط يتزايد (يرتفع)، فإن ميله يكون موجبًا.
إذا كان الخط يتناقص (تنازليًا)، فإن ميله يكون سالبًا.
إذا كان الخط أفقيًا تمامًا، فإن ميله يساوي 0.
إذا كان الخط عموديًا تمامًا، فإن ميله يساوي ما لا نهاية.

الموقع النسبي لخطين في الطائرة

عند العمل مع بعدين (في R2)، هناك 3 أنواع من المواضع النسبية المحتملة بين سطرين:

خطوط متقاطعة

خطان متقاطعان لديهما نقطة واحدة مشتركة فقط.

خطوط متوازية

يكون الخطان متوازيين إذا لم يكن بينهما نقطة مشتركة. هذا إذا لم يتقاطعوا أبدًا.

خطوط متطابقة

يكون الخطان متماثلين إذا كانت جميع نقاطهما مشتركة.

ومن ناحية أخرى، فإن الزاوية بين خطين في المستوى تعتمد أيضًا على موضعهما النسبي:

تتقاطع الخطوط المتقاطعة بزاوية تتراوح بين 0 درجة (غير مدرجة) و90 درجة (شاملة). بالإضافة إلى ذلك، إذا كانا يشكلان زاوية قائمة تبلغ 90 درجة فقط، فهذا يعني أن الخطين متعامدان.
تشكل الخطوط المتوازية زاوية مقدارها 0 درجة، لأنها لها نفس الاتجاه.
وللسبب نفسه، تشكل الخطوط المتطابقة أيضًا زاوية مقدارها 0 درجة بينهما.

الزاوية بين خطين

هناك عدة طرق لحساب الزاوية بين خطين وبعضها معقد للغاية، لذلك سنشرح أبسط طريقة لتحديد الزاوية بين خطين.

صيغة حساب الزاوية بين خطين باستخدام متجهات اتجاههما هي:

بالنظر إلى متجهات الاتجاه لخطين مختلفين:

$\vv{\text{u}} = (\text{u}_x,\text{u}_y)\qquad \vv{\text{v}} = (\text{v}_x,\text{v}_y)$

يمكن حساب الزاوية بين هذين الخطين بالصيغة التالية:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1.1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{\text{u}} \cdot \vv{\text{v}}\rvert}{\lvert \vv{\text{u}} \rvert \cdot \lvert \vv{\text{v}} \rvert} \end{empheq}$

ذهب

$\lvert \vv{\text{u}} \rvert$

$\lvert \vv{\text{v}} \rvert$

هي وحدات من المتجهات

$\vv{\text{u}}$

$\vv{\text{v}}$

على التوالى.

تذكر أن صيغة حجم المتجه هي:

$\displaystyle \lvert \vv{\text{v}} \rvert = \sqrt{ \text{v}_x^2+\text{v}_y^2}$

من الواضح أنه بمجرد أن نحسب جيب تمام الزاوية التي يشكلها الخطان باستخدام الصيغة، يجب علينا عكس جيب التمام لمعرفة قيمة الزاوية.

ما هو الخط؟

أنواع الخط

خطوط متوازية

خطوط متقاطعة

خطوط متطابقة

شعاع

معادلة الخط

معادلة المتجهات للخط

المعادلات البارامترية للخط

المعادلة المستمرة للخط

المعادلة الضمنية أو العامة للخط

معادلة صريحة للخط

معادلة نقطة الميل للخط

المعادلة الكنسي أو القطاعية للخط

معنى منحدر الخط

الموقع النسبي لخطين في الطائرة

الزاوية بين خطين

اترك تعليقاً إلغاء الرد