تربيع ثلاثي الحدود

في هذه الصفحة نشرح كيفية حل مربع ثلاثية الحدود (الصيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية العديد من الأمثلة والتدرب على حل التمارين خطوة بخطوة لمعادلات ثلاثية الحدود المربعة.

صيغة لثلاثية الحدود التربيعية

منطقيًا، لفهم صيغة ثلاثي الحدود التربيعية، عليك أولاً أن تعرف ما هو ثلاثي الحدود . أترك لك هذا الرابط في حالة رغبتك في مراجعته قبل الاستمرار في الشرح.

مربع ثلاثي الحدود يساوي مربع الحد الأول، زائد مربع الحد الثاني، زائد مربع الحد الثالث، زائد ضعف الحد الأول في الثاني، زائد ضعف الحد الأول في الثالث، زائد ضعف الحد الأول الثانية للثالثة.

يعد مربع ثلاثي الحدود مهمًا جدًا لأنه منتج ملحوظ (أو هوية ملحوظة)، أي أن هناك صيغة رياضية تسمح لك بحساب هذه العملية بسرعة. انقر فوق الرابط التالي لمعرفة جميع صيغ المنتجات البارزة .

أمثلة على ثلاثية الحدود التربيعية

بمجرد أن رأينا ما هي صيغة تربيع ثلاثي الحدود، سنرى عدة أمثلة لحساب مربع ثلاثي الحدود:

مثال 1

احسب القوة التالية لثلاثية حدود مربعة:

$\left(x^2+x+3\right)^2$

صيغة مربع ثلاثي الحدود هي:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

لذلك، يجب علينا أولا تحديد قيم المعلمات

$a,b$

$c$

من الصيغة. في هذا التمرين

$a$

شرق

$x^2,$

المعامل

$b$

تتوافق مع

$x,$

$c$

هو المصطلح المستقل 3:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2+x+3\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=x \\[2ex] c=3 \end{array}$

وعندما نعرف القيم بالفعل، ما عليك سوى استبدال هذه القيم في الصيغة وإجراء الحسابات:

من ناحية أخرى، تجدر الإشارة إلى أن ثلاثية الحدود المربعة ليست هي نفسثلاثية الحدود المربعة الكاملة . وهذا خطأ شائع، لأن الكثير من الناس يخلطون بين هذين المفهومين. يمكنك رؤية الاختلافات بين هذين النوعين من ثلاثيات الحدود على الرابط في هذه الفقرة.

مثال 2

أوجد المربع التالي من ثلاثية الحدود:

$\left(x^2-2x+4\right)^2$

لتحديد هذه القوة كثيرة الحدود، يجب علينا تطبيق صيغة ثلاثية الحدود مرفوعة إلى اثنين:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

في هذه المشكلة،

$a$

وهذا يعادل

$x^2,$

$b$

يتوافق مع monomial السلبية

$-2x,$

$c$

هو رقم 4:

$\left. \begin{array}{c} (a+b+c)^2\\[2ex] \left(x^2-2x+4\right)^2 \end{array} \color{red} \right\} \quad \color{red}\bm{\longrightarrow}\quad \color{black} \begin{array}{c} a=x^2 \\[2ex] b=-2x \\[2ex] c=4 \end{array}$

لذلك نستبدل القيم الموجودة في الصيغة ونحل العمليات الناتجة:

$\begin{array}{l} \left(x^2-2x+4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(-2x)^2+4^2+2\cdot x^2 \cdot (-2x) + 2 \cdot x^2 \cdot 4 +2 \cdot (-2x) \cdot 4 = \\[2ex] = x^4+4x^2+16-4x^3 + 8x^2 -16x = \\[2ex] = x^4-4x^3+12x^2-16x+16 \end{array}$

تذكر أن القوة ذات الأس الزوجي للأساس السالب تعطي حدًا موجبًا، إذن

$(-2x)^2$

مساوي ل

$4x^2.$

الآن بعد أن رأيت كيفية حساب مربع ثلاثي الحدود، ربما ستكون أيضًا مهتمًا بمعرفة كيفية حل حاصل ضرب المجموع في الفرق بين حدين. في الواقع، فهو من بين الهويات الثلاثة الأولى (الأكثر أهمية). يمكنك معرفة ماهية صيغتها وكيفية تطبيقها على الصفحة المرتبطة.

توضيح صيغة مربع ثلاثي الحدود

للانتهاء من فهم فكرة تربيع قوة ثلاثية الحدود، سنستنتج الصيغة التي درسناها للتو.

من أي ثلاثية مرفوعة إلى 2:

$(a+b+c)^2$

التعبير الجبري أعلاه يعادل ضرب ثلاثي الحدود بين قوسين في نفسه:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

الآن دعونا نضرب ثلاثي الحدود اثنين:

$(a+b+c)(a+b+c)= a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2$

أخيرًا، نقوم بتجميع المصطلحات المتشابهة:

$a^2+ab+ac+ba+b^2+bc+ca+cb+c^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

وبهذه الطريقة وصلنا بالفعل إلى تعبير الصيغة، فتبين صيغة مربع ثلاثية الحدود:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

لدينا على موقعنا المزيد من العروض التوضيحية للهويات البارزة. على سبيل المثال، يمكنك مشاهدة العرض التوضيحي لصيغة المجموع التربيعي والفرق التربيعي . علاوة على ذلك، في هذه الروابط لن ترى فقط البراهين الخاصة بهم، ولكن أيضًا التفسير الهندسي لصيغهم، أي ما تعنيه هذه الأنواع من الهويات الرائعة هندسيًا.

حل مسائل ثلاثية الحدود

حل المثلثات المربعة التالية:

$\text{A)} \ \left(x^2+x+5\right)^2$

$\text{B)} \ \left(x^2+3x-4\right)^2$

$\text{C)} \ \left(4x^2-6x+3\right)^2$

$\text{D)} \ \left(x^3-3x^2-9x\right)^2$

انظر الحل

لحل جميع التمارين، يجب علينا استخدام صيغة مربع ثلاثية الحدود، وهي:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$

$\text{A)} \ \begin{array}{l} \left(x^2+x+5\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+x^2+5^2+2\cdot x^2 \cdot x + 2 \cdot x^2 \cdot 5 +2 \cdot x \cdot 5 = \\[2ex] = x^4+x^2+25+2x^3 + 10x^2 +10x = \\[2ex] = \bm{x^4+2x^3+11x^2+10x+25} \end{array}$

$\text{B)} \ \begin{array}{l}\left(x^2+3x-4\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^2\right)^2+(3x)^2+(-4)^2+2\cdot x^2 \cdot 3x + 2 \cdot x^2 \cdot (-4) +2 \cdot 3x \cdot (-4) = \\[2ex] = x^4+9x^2+16+6x^3-8x^2-24x = \\[2ex] = \bm{x^4+6x^3+x^2-24x+16} \end{array}$

$\text{C)} \ \begin{array}{l}\left(4x^2-6x+3\right)^2 = \\[2ex] = \left(4x^2\right)^2+(-6x)^2+3^2+2\cdot 4x^2 \cdot (-6x) + 2 \cdot 4x^2 \cdot 3 +2 \cdot (-6x) \cdot 3 = \\[2ex] = 16x^4+36x^2+9-48x^3+24x^2-36x = \\[2ex] = \bm{16x^4-48x^3+60x^2-36x+9} \end{array}\end{array}$

$\text{D)} \ \begin{array}{l} \left(x^3-3x^2-9x\right)^2 = \\[2ex] = \left(x^3\right)^2+\left(-3x^2\right)^2+(-9x)^2+2\cdot x^3 \cdot (-3x^2) + 2 \cdot x^3 \cdot (-9x) +2 \cdot (-3x^2) \cdot (-9x) = \\[2ex] = x^6+9x^4+81x^2-6x^5-18x^4+54x^3 = \\[2ex] = \bm{x^6-6x^5-9x^4+54x^3+81x^2} \end{array}$

صيغة لثلاثية الحدود التربيعية

أمثلة على ثلاثية الحدود التربيعية

مثال 1

مثال 2

توضيح صيغة مربع ثلاثي الحدود

حل مسائل ثلاثية الحدود

اترك تعليقاً إلغاء الرد