الانحراف المعياري أو المعياري هو مقياس إحصائي يشير إلى مدى بعد نقاط البيانات الفردية عن المتوسط أو المتوسط لمجموعة البيانات. إنه مقياس التشتت الذي يستخدم لفهم مدى اختلاف البيانات عن متوسط المجموعة.
بعبارات أكثر تعقيدًا، الانحراف المعياري أو المعياري هو الجذر التربيعي للتباين . يتم حساب التباين على أنه متوسط الفروق المربعة بين كل عنصر بيانات والمتوسط الإجمالي. وبأخذ الجذر التربيعي للتباين نحصل على الانحراف المعياري، الذي يكون بنفس وحدات البيانات الأصلية.
ومن الجدير بالذكر أن هذا مقياس مهم في الإحصاء. وبفضل ذلك، من الممكن قياس تشتت البيانات وفهم كيفية توزيعها مقارنة بالمتوسط. يشير الانحراف المعياري المنخفض إلى أن البيانات تميل إلى أن تكون قريبة من المتوسط. ومن ناحية أخرى، يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى أن البيانات أكثر انتشارًا أو بعيدة عن المتوسط.
بشكل عام، يتم استخدام الانحراف المعياري لفهم تباين البيانات في مجموعة وإجراء المقارنات.
ما هو الانحراف المعياري المستخدم؟
الانحراف المعياري هو أداة إحصائية لها العديد من التطبيقات في تحليل البيانات. بعض المرافق الأكثر شهرة هي:
- مقياس التشتت : يحدد مدى بعد البيانات الفردية عن متوسط أو متوسط الكل. يشير الانحراف المعياري المرتفع إلى تشتت أو تباين أكبر في البيانات، بينما يشير الانحراف المعياري المنخفض إلى تشتت أقل.
- مقارنة مجموعة البيانات – يمكن استخدامها لمقارنة التباين بين مجموعات البيانات المختلفة. المجموعة ذات الانحراف المعياري الأكبر سيكون لها بيانات منتشرة أكثر من المجموعة ذات الانحراف المعياري الأصغر.
- تحديد القيم الخارجية – يمكن أن يساعد هذا أيضًا في تحديد القيم المتطرفة أو المتطرفة في مجموعة البيانات. إذا كانت نقطة البيانات عبارة عن انحرافات معيارية عديدة عن المتوسط، فقد يشير ذلك إلى أنها قيمة غير عادية أو قيمة متطرفة.
- تقييم دقة النموذج – في بعض الحالات، يتم استخدام الانحراف المعياري كمقياس لدقة النموذج أو التقدير. على سبيل المثال، في الإحصائيات الاستدلالية، يمكن استخدام الانحراف المعياري لحساب فترات الثقة أو إجراء اختبار الفرضيات.
خصائص الانحراف المعياري
للانحراف المعياري عدة خصائص مهمة تستحق الذكر:
- الانحراف المعياري هو مقياس للمسافة، لذا فهو دائمًا قيمة غير سالبة .
- إذا كانت جميع البيانات في المجموعة لها نفس القيمة، فإن الانحراف المعياري سيكون صفراً .
- يتأثر بالقيم المتطرفة ويمكن أن يتأثر بشكل كبير في مجموعة البيانات.
- أنها حساسة لحجم البيانات . إذا كانت البيانات كبيرة الحجم، فسيكون الانحراف المعياري كبيرًا أيضًا، والعكس صحيح.
- هذا مقياس للتشتت النسبي ، حيث يتم التعبير عنه بنفس وحدات البيانات الأصلية.
ما هي صيغة الانحراف المعياري؟
الصيغة الرياضية للانحراف المعياري هي:
ذهب:
σ: يمثل الانحراف المعياري.
Σ: يشير إلى المبلغ.
الحادي عشر: هذه هي القيم الفردية لمجموعة البيانات.
المتوسط: هذا هو المتوسط أو المتوسط لمجموعة البيانات.
n هو العدد الإجمالي للبيانات في المجموعة.
الانحراف المعياري هو مقياس للتشتت يسمح لنا بفهم مدى اختلاف البيانات في المجموعة عن وسطها أو وسطها. ويتم الحصول عليها عن طريق حساب الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق بين كل قيمة في المجموعة ومتوسط المجموعة، مقسومًا على إجمالي عدد البيانات في المجموعة.
كيف يتم حساب الانحراف المعياري؟
يتم حساب الانحراف المعياري باستخدام الخطوات التالية:
1. احسب المتوسط أو المتوسط لمجموعة البيانات
يتم الحصول على المتوسط عن طريق جمع كافة القيم الموجودة في مجموعة البيانات وتقسيم النتيجة على إجمالي قيمة البيانات. رياضياً يتم التعبير عنه بواسطة:
حيث xi هي كل قيمة من القيم في مجموعة البيانات، وn هو عدد عناصر البيانات في المجموعة، وΣ يمثل المجموع.
2. اطرح المتوسط من كل قيمة في مجموعة البيانات
للحصول على الاختلافات بين كل قيمة في مجموعة البيانات والمتوسط، يتم طرح المتوسط (المحسوب في الخطوة السابقة) من كل قيمة من القيم الموجودة في مجموعة البيانات. وهذا يسمح لنا بتحديد مدى بعد البيانات عن المتوسط.
3. قم بتربيع كل الاختلافات التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة
يتم تربيع الاختلافات التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة. يتم تنفيذ هذه الخطوة لمنع الاختلافات الإيجابية والسلبية من إلغاء بعضها البعض والتأكيد على القيم الأبعد عن المتوسط.
4. احسب متوسط القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة
يتم حساب متوسط القيم التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة. يمثل هذا المتوسط مجموع مربعات الاختلافات مقسومًا على إجمالي عدد البيانات. رياضياً يتم التعبير عنه بواسطة:
متوسط الفروق المربعة = Σ((xi – يعني)²) ÷ n
5. احصل على الجذر التربيعي للقيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة
الخطوة الأخيرة هي الحصول على الجذر التربيعي للقيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة. وهذا يوفر الانحراف المعياري، وهو مقياس لتشتت البيانات من المتوسط.
كيف يتم تفسير الانحراف المعياري؟
ومن المهم الإشارة إلى أن تفسير الانحراف المعياري يعتمد على سياق وطبيعة البيانات المدروسة.
لذلك، من الضروري أن نفهم تمامًا معنى الانحراف المعياري واستخدامه جنبًا إلى جنب مع المقاييس الإحصائية الأخرى للحصول على فهم كامل ودقيق لتقلب البيانات. دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة أدناه.
تحليل التباين
يتم استخدام الانحراف المعياري لتقييم تباين أو تشتت البيانات في المجموعة . إذا كان الانحراف المعياري منخفضا، فهذا يشير إلى أن البيانات قريبة من المتوسط ولها تقلبات قليلة. من ناحية أخرى، إذا كان الانحراف المعياري مرتفعًا، فهذا يشير إلى أن البيانات أكثر تشتتًا ولها تباين أكبر.
مقارنة البيانات
ومن المفيد مقارنة التباين بين مجموعات البيانات المختلفة . على سبيل المثال، إذا تمت مقارنة الانحراف المعياري لدخل بلدين، فيمكن استنتاج أيهما لديه تباين أكبر في دخل سكانه.
تحديد القيم المتطرفة
يساعد في تحديد القيم المتطرفة أو البيانات غير العادية في المجموعة . يمكن اعتبار البيانات التي تزيد عن انحراف معياري واحد أو اثنين عن المتوسط قيمًا متطرفة.
تقييم دقة القياس
ويستخدم أيضًا كمقياس لدقة أو موثوقية القياس أو التقدير . على سبيل المثال، إذا كنت تجري بحثًا وحصلت على قياسات ذات انحراف معياري مرتفع، فقد يشير ذلك إلى أن القياسات أقل دقة ويجب اتخاذ المزيد من الحذر عند جمع البيانات.
تقييم الحالة الطبيعية للبيانات
يتم استخدام الانحراف المعياري بالتزامن مع مقاييس أخرى لتقييم ما إذا كانت البيانات تتبع التوزيع الطبيعي . إذا كانت البيانات لديها انحراف معياري صغير عن المتوسط، فقد يشير ذلك إلى أن البيانات موزعة تقريبًا وفقًا للتوزيع الطبيعي.
أمثلة عددية للانحراف المعياري
في حين أنه من الصحيح أنه، بشكل عام، يمكن أن يكون معقدًا، إلا أنه يتم فهم الانحراف المعياري بطريقة بسيطة. لتوضيح الشكوك، نشارك بعض الأمثلة أدناه، باستخدام طريقتين مختلفتين.
الجذر التربيعي للتباين
لنفترض أن لدينا البيانات التالية: 9، 3، 8، 9 و16.
الخطوة الأولى: حساب الوسط الحسابي:
الوسط الحسابي = (9 + 3 + 8 + 9 + 16) ÷ 5 = 9.
الخطوة 2: تطبيق صيغة التباين:
الانحراف = [(9 – 9) 2 + (3 – 9) 2 + (8 – 9) 2 + (9 – 9) 2 + (16 – 9) 2 ] ÷ 5 = 86 ÷ 5 = 17.2.
الخطوة 3: خذ الجذر التربيعي للتباين:
الانحراف المعياري = √(17.2) ≈ 4.14.
مجموع الانحرافات والقسمة على العدد الإجمالي للملاحظات
لنفترض أن لدينا البيانات التالية: 2، 4، 2، 4، 2 و4.
الخطوة الأولى: حساب الوسط الحسابي:
الوسط الحسابي = (2 + 4 + 2 + 4 + 2 + 4) ÷ 6 = 3.
الخطوة الثانية: حساب الانحراف المعياري عن طريق جمع الانحرافات وتقسيمها على إجمالي عدد الملاحظات:
الانحراف المعياري = [(2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3) + (2 – 3) + (4 – 3)] ÷ 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1) ÷ 6 = 1.
وفي كلتا الحالتين حصلنا على انحراف معياري يبلغ حوالي 4.14 و1 على التوالي، باستخدام طرق حسابية مختلفة. يوضح هذا كيف يمكن الحصول على الانحراف المعياري باستخدام الجذر التربيعي للتباين أو عن طريق جمع الانحرافات وتقسيمها على إجمالي عدد الملاحظات.