المعادلة الضمنية أو العامة (أو الديكارتية) للخط

ستجد في هذه الصفحة كيفية حساب المعادلة الضمنية للخط، والتي تسمى أيضًا المعادلة العامة أو الديكارتية للخط. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية أمثلة مختلفة ويمكنك أيضًا التدرب على تمارين الخط المستقيم التي تم حلها خطوة بخطوة.

ما هي المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط؟

تذكر أن التعريف الرياضي للخط هو مجموعة من النقاط المتتالية الممثلة في نفس الاتجاه بدون منحنيات أو زوايا.

وبالتالي، فإن المعادلة الضمنية للخط ، والمعروفة أيضًا بالمعادلة العامة أو الديكارتية ، هي طريقة للتعبير عن أي خط رياضيًا. للقيام بذلك، كل ما تحتاجه هو متجه الاتجاه للخط ونقطة تنتمي إلى الخط.

صيغة للمعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط

نعم

$\vv{\text{v}}$

هو متجه الاتجاه للخط و

$P$

النقطة التي تنتمي إلى اليمين:

$\vv{\text{v}}= (\text{v}_1,\text{v}_2) \qquad P(P}_1,P_2)$

صيغة المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط هي:

$Ax+By+C=0$

ذهب:

$x$

و

$y$

هي الإحداثيات الديكارتية لأي نقطة على الخط.
المعامل
$A$

هو المكون الثاني لمتجه الاتجاه:

$A=\text{v}_2}$
المعامل
$B$

هو المكون الأول لعلامة تغير اتجاه المتجه:

$B=-\text{v}_1}$
المعامل
$C$

يتم حسابه عن طريق استبدال النقطة المعروفة

$P$

في معادلة الخط.

المعادلة الضمنية العامة أو الديكارتية للخط في الفضاء (في R3)

من ناحية أخرى، ضع في اعتبارك أنه بصرف النظر عن المعادلة الضمنية (أو العامة)، هناك طرق أخرى للتعبير عن خط تحليليًا: المعادلة المتجهة، والمعادلات البارامترية، والمعادلة المستمرة، والمعادلة الصريحة، ومعادلة نقطة الميل ألين. يمكنك التحقق من ما هو كل واحد منهم على موقعنا.

مثال لحساب المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط

بمجرد النظر إلى الصيغة، قد يبدو أن العثور على هذا النوع من معادلة الخط صعب بعض الشيء. لكن لكي ترى أن الأمر عكس ذلك تمامًا، سنرى كيفية إيجاد المعادلة العامة (أو الضمنية) للخط من خلال مثال:

أوجد المعادلة الضمنية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة
$P$

ولديه

$\vv{\text{v}}$

كمتجه توجيهي:

$\vv{\text{v}}= (2,3) \qquad P(5,-1)$

كما رأينا في القسم أعلاه، فإن صيغة المعادلة الضمنية للخط هي:

$Ax+By+C=0$

لذلك يجب علينا إيجاد المعاملات A وB وC. ويتم الحصول على المجهولين A وB من إحداثيات متجه الاتجاه للخط، حيث يتم التحقق دائمًا من المساواة التالية:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

وبالتالي، فإن المعامل A هو الإحداثي الثاني للمتجه، والمعامل B هو الإحداثي الأول لعلامة المتجه المتغيرة:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (2,3) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=3 \\[2ex] B=-2 \end{array}$

وبالتالي فإن المعادلة الضمنية للخط ستكون كما يلي:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=3 \ ; \ B=-2} \ 3x-2y+C=0$

لذلك، نحتاج فقط إلى إيجاد المعامل C. وللقيام بذلك، يجب علينا استبدال النقطة التي نعرف أنها تنتمي إلى الخط في معادلته:

$P(5,-1)$

$3x-2y+C=0 \ \xrightarrow{x=5 \ ; \ y=-1} \ 3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

والآن نحل المعادلة الناتجة:

$3\cdot 5-2\cdot (-1)+C=0$

$15+2+C=0$

$17+C=0$

$C=-17$

إذن المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط هي:

$\bm{3x-2y-17=0}$

أوجد المعادلة الضمنية (العامة أو الديكارتية) من المعادلة المستمرة

لقد رأينا للتو طريقة لإيجاد المعادلة العامة للخط. لكن هناك طريقة أخرى وهي من معادلتها المستمرة. دعونا نرى كيف يتم ذلك مع مثال:

احسب المعادلة العامة (أو الضمنية) للخط التالي المحدد بمعادلته المستمرة:

$\cfrac{x-1}{-2}=\cfrac{y+4}{6}$

أولاً، نعبر الكسور المضاعفة:

$(x-1)\cdot 6 = (y+4) \cdot (-2)$

ثانيًا، نحل الأقواس باستخدام خاصية التوزيع:

$6x-6=-2y-8$

بعد ذلك، ننقل جميع الحدود إلى الجانب الأيسر من المعادلة:

$6x-6+2y+8=0$

وأخيرًا، نقوم بتجميع الحدود وبالتالي نحصل على المعادلة العامة للخط:

$\bm{6x+2y+2=0}$

حل مشاكل المعادلة الضمنية أو العامة (أو الديكارتية).

التمرين 1

اكتب المعادلة العامة للخط المستقيم الذي يمر بالنقطة

$P$

ولديه

$\vv{\text{v}}$

كمتجه توجيهي:

$\vv{\text{v}}= (-1,2) \qquad P(4,0)$

انظر الحل

صيغة المعادلة العامة للخط هي:

$Ax+By+C=0$

ولذلك يجب علينا إيجاد A وB وC. ويتم الحصول على المتغيرين A وB من إحداثيات متجه الاتجاه للخط، حيث يتم التحقق دائمًا من المساواة التالية:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

وبالتالي، فإن المعامل A هو الإحداثي الثاني للمتجه، والمعامل B هو الإحداثي الأول لعلامة المتجه المتغيرة:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-1,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=1 \end{array}$

وبالتالي فإن المعادلة الضمنية للخط ستكون كما يلي:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=2 \ ; \ B=1} \ 2x+y+C=0$

لذلك، نحتاج فقط إلى إيجاد المعامل C. وللقيام بذلك، نحتاج إلى استبدال النقطة التي نعرف أنها تنتمي إلى الخط في معادلة الخط وحل المعادلة الناتجة:

$P(4,0)$

$2x+y+C=0 \ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=0} \ 2\cdot 4+0+C=0$

$8+C=0$

$C=-8$

وباختصار، فإن المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط هي:

$\bm{2x+y-8=0}$

تمرين 2

احسب المعادلة الديكارتية للخط التالي:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

انظر الحل

يتم التعبير عن المعادلة كمعادلة متصلة، لذا لإيجاد معادلتها الضمنية نحتاج إلى عبور الكسور ووضع جميع الحدود في طرف واحد من المعادلة:

$\cfrac{x+3}{4}=\cfrac{y-2}{5}$

$(x+3)\cdot 5 = (y-2) \cdot 4$

$5x+15=4y-8$

$5x+15-4y+8=0$

$\bm{5x-4y+23=0}$

التمرين 3

حدد نقطة على الخط التالي ومتجه اتجاهها. يتم التعبير عن الخط بمعادلته العامة:

$-x-3y+6= 0$

انظر الحل

يمكن الحصول على مكونات متجه الاتجاه للخط من المعاملين A وB للمعادلة العامة للخط: المكون الأول للمتجه يتوافق مع المعامل B المتغير والمركب الثاني للمتجه يساوي المعامل أ. لذا:

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\mathbf{v}}=\bm{(3,-1)}$

من ناحية أخرى، لحساب نقطة على الخط، يجب عليك تعيين قيمة لمتغير. على سبيل المثال، نحن نفعل

$x=0$

ونحل المعادلة الناتجة:

$-x-3y+6= 0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0 -3y+6=0$

$-3y +6 =0$

$-3y =-6$

$y =\cfrac{-6}{-3}$

$y =2$

لذا فإن نقطة السطر هي:

$\bm{P(0,2)}$

ربما حصلت على نقطة مختلفة لأن ذلك يعتمد على القيمة التي تعطيها للمتغير X (أو المتغير Y)، ولكن إذا اتبعت نفس الإجراء فهو صحيح أيضًا. ومن ناحية أخرى، يجب أن يكون متجه الاتجاه للخط مطابقًا للمتجه المحسوب.

التمرين 4

أوجد المعادلة الضمنية للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين التاليتين:

$A(4,-1) \qquad B(-2,3)$

انظر الحل

في هذه الحالة، نحن لا نعرف متجه اتجاه الخط، لذا علينا أولًا إيجاد متجه اتجاهه ثم معادلة الخط.

للعثور على متجه الاتجاه للخط، ما عليك سوى حساب المتجه المحدد بالنقطتين المعطاتين:

$\vv{AB}=B-A= (-2,3)- (4,-1) = (-6,4)$

وبمجرد أن نعرف اتجاه الخط، يمكننا الآن تحديد معادلته الضمنية (أو العامة أو الديكارتية) من صيغته:

$Ax+By+C=0$

يتم الحصول على المجهولين A وB من إحداثيات متجه الاتجاه للخط، حيث أن المعامل A هو الإحداثي الثاني للمتجه، والمعامل B هو الإحداثي الأول لعلامة تغيير المتجه:

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}= (-6,4) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=4 \\[2ex] B=6 \end{array}$

وبالتالي فإن المعادلة الضمنية للخط ستكون كما يلي:

$Ax+By+C=0 \ \xrightarrow{A=4 \ ; \ B=6} \ 4x+6y+C=0$

لذلك يكفي إيجاد المعامل C. وللقيام بذلك، يجب علينا التعويض في معادلة الخط بنقطة نعرف أنها تنتمي إلى الخط وحل المعادلة الناتجة:

$A(4,-1)$

$4x+6y+C=0\ \xrightarrow{x=4 \ ; \ y=-1} \ 4\cdot 4+6\cdot (-1)+C=0$

$16-6+C=0$

$10+C=0$

$C=-10$

وأخيرًا، المعادلة الضمنية أو العامة أو الديكارتية للخط هي:

$\bm{4x+6y-10=0}$

التمرين 5

أوجد المعادلة الضمنية للخط العمودي على الخط

$r$

وماذا يحدث عبر هذه النقطة

$P(2,2).$

$r: \; 3x-2y+4=0$

انظر الحل

يوجد خطان متعامدان لهما متجهات اتجاه متعامدة مع بعضها البعض، لذلك نحتاج إلى إيجاد متجه الاتجاه للخط

$r$

ثم المتجه المتعامد عليه.

مكونات متجه الاتجاه للخط

$r$

يمكن الحصول عليها من المعاملين A و B للمعادلة العامة للخط: المكون الأول للمتجه يتوافق مع معامل B المتغير والمركب الثاني للمتجه يساوي المعامل A.

$r: \; 3x-2y+4=0$

$\vv{\text{v}}= (-B,A)$

$\vv{\text{v}}_r=(2,3)$

علينا الآن إيجاد متجه عمودي. للقيام بذلك، ما عليك سوى إدراج إحداثيات المتجه وتغيير إشارة أحدهما:

$\vv{\text{v}}_\perp=(-3,2)$

وبالتالي سيكون هذا هو متجه الاتجاه للخط المتعامد عليه

$r.$

وبمجرد أن نعرف اتجاه الخط، يمكننا الآن تحديد معادلته الضمنية (أو العامة أو الديكارتية) من صيغته:

$Ax+By+C=0$

$\left.\begin{array}{c}\vv{\text{v}}= (-B,A) \\[2ex] \vv{\text{v}}_\perp= (-3,2) \end{array} \right\}\longrightarrow \begin{array}{l}A=2 \\[2ex] B=3 \end{array}$