المعادلات البارامترية للمستوى

ستجد في هذه الصفحة ما هي المعادلات البارامترية للخطة وكيفية حسابها (الصيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

ما هي المعادلات البارامترية للطائرة؟

في الهندسة التحليلية، المعادلات البارامترية للمستوى هي معادلات تسمح بالتعبير عن أي مستوى رياضيًا. لإيجاد المعادلات البارامترية للمستوى، نحتاج فقط إلى نقطة ومتجهين مستقلين خطيًا ينتميان إلى ذلك المستوى.

صياغة المعادلات البارامترية للخطة

خذ بعين الاعتبار النقطة ومتجهي الاتجاه للمستوى:

$\begin{array}{c} P(P_x,P_y,P_z) \\[2ex] \vv{\text{u}}=(\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z)\\[2ex] \vv{\text{v}}=(\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)\end{array}$

صيغة المعادلات البارامترية للمستوى هي:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

ذهب

$\lambda$

$\mu$

هما عددان قياسيان، أي عددان حقيقيان.

من المهم أن يكون متجها الاتجاه للمعادلة المستوية مستقلين خطيًا، أي أن لهما اتجاهًا مختلفًا (غير متوازي). وإلا فإن المعادلة أعلاه لن تمثل أي خطة.

من ناحية أخرى، ضع في اعتبارك أنه بصرف النظر عن المعادلة البارامترية، هناك طرق أخرى للتعبير التحليلي عن المستوى في الفضاء (في R3)، مثل معادلة المستوى العامة . وفي هذا الرابط تجد صيغتها وكيفية حسابها من المعادلات البارامترية للخطة والأمثلة والتدريبات المحلولة.

مثال على كيفية العثور على المعادلات البارامترية للمستوى

بعد أن رأينا ما هي المعادلة البارامترية للمستوى، دعونا نرى كيف يتم حسابها باستخدام مثال:

أوجد المعادلات البارامترية للمستوى الذي يمر بالنقطة
$P(1,3,2)$

ويحتوي على المتجهات

$\vv{\text{u}}=(2,0,-1)$

و

$\vv{\text{v}}=(4,2,3)$

لتحديد المعادلات البارامترية للخطة، ما عليك سوى تطبيق صيغتها:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

والآن نعوض بالنقطة وكل متجه اتجاه في المعادلة:

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 2 + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] y=3+ \lambda \cdot 0 + \mu \cdot 2\\[1.7ex] z=2 + \lambda\cdot (-1)+ \mu \cdot 3\end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + 2\lambda + 4\mu } \\[1.7ex] \bm{y=3 + 2\mu}\\[1.7ex] \bm{z=2 -\lambda+ 3\mu} \end{cases}$

كيفية الانتقال من المعادلة المتجهة للمستوى إلى المعادلات البارامترية

هناك طريقة أخرى لتحديد المعادلات البارامترية للمستوى وهي من المعادلة المتجهة للمستوى. أدناه يمكنك رؤية العرض التوضيحي.

دع المعادلة المتجهة لأي مستوى تكون:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+\lambda (\text{u}_x,\text{u}_y,\text{u}_z) + \mu (\text{v}_x,\text{v}_y,\text{v}_z)$

نحن نعمل وننفذ أولاً منتجات المتجهات بواسطة الكميات القياسية:

$(x,y,z)=(P_x,P_y,P_z)+ (\lambda\text{u}_x,\lambda\text{u}_y,\lambda\text{u}_z) +(\mu\text{v}_x,\mu\text{v}_y,\mu\text{v}_z)$

وبعدين نضيف المكونات:

$(x,y,z)=(P_x+\lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x,P_y+\lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y,P_z+\lambda \text{u}_z + \mu \text{v}_z)$

وأخيرًا نحصل على المعادلة البارامترية للمستوى من خلال استيعاب الإحداثيات المقابلة لكل متغير على حدة:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y\\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

كما ترون في المثالين أعلاه، فإن إيجاد المعادلات البارامترية للمستوى أمر سهل نسبيًا. ومع ذلك، يمكن أن تصبح المسائل معقدة بعض الشيء، لذا ستجد أدناه العديد من التمارين التي تم حلها بصعوبة مختلفة حتى تتمكن من التدرب عليها.

حل مسائل المعادلات البارامترية للمستوى

التمرين 1

تحديد المعادلات البارامترية للمستوى الذي يحتوي على المتجه

$\vv{\text{u}}=(2,1,5)$

ويمر عبر النقطتين التاليتين:

$A(3,2,-1)$

$B(-2,-1,1).$

انظر الحل

لمعرفة معادلة المستوى، تحتاج إلى نقطة ومتجهين، وفي هذه الحالة لدينا متجه واحد فقط، لذا يجب علينا إيجاد متجه آخر موجه للمستوى. للقيام بذلك، يمكننا حساب المتجه الذي يحدد نقطتي المستوى:

$\vv{AB} = B - A = (-2,-1,1) - (3,2,-1) = (-5,-3,2)$

الآن بعد أن عرفنا بالفعل متجهي اتجاه للمستوى ونقطة، فإننا نستخدم صيغة المعادلات البارامترية للمستوى:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

ونعوض بالمتجهين وإحدى النقطتين على المستوى في المعادلة:

$\displaystyle \begin{cases}x=3 + \lambda \cdot 2+ \mu \cdot (-5) \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot 1 + \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] z=(-1) + \lambda\cdot 5 + \mu \cdot 2 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=3 +2 \lambda-5\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2 + \lambda-3 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-1 + 5\lambda + 2\mu } \end{cases}$

تمرين 2

أوجد المعادلات البارامترية للمستوى الذي يحتوي على النقاط الثلاث التالية:

$A(4,1,0) \qquad B(2,-3,-1) \qquad C(1,5,3)$

انظر الحل

لإيجاد المعادلات البارامترية للمستوى، علينا إيجاد متجهين مستقلين خطيًا يرتبطان في المستوى. ولهذا يمكننا حساب متجهين محددين بالنقاط الثلاث:

$\vv{AB} = B - A = (2,-3,-1) - (4,1,0) = (-2,-4,-1)$

$\vv{AC} = C - A = (1,5,3) - (4,1,0) = (-3,4,3)$

إحداثيات المتجهين الموجودين غير متناسبة، لذا فهما مستقلان خطيًا عن بعضهما البعض.

الآن بعد أن عرفنا بالفعل متجهي اتجاه ونقطة على المستوى، نطبق صيغة المعادلة البارامترية للمستوى:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

ونعوض بالمتجهين وإحدى نقاط المستوى الثلاث في المعادلة:

$\displaystyle \begin{cases}x=4 + \lambda \cdot (-2)+ \mu \cdot (-3) \\[1.7ex] y=1 + \lambda \cdot (-4) + \mu \cdot 4 \\[1.7ex] z=0 + \lambda\cdot (-1) + \mu \cdot 3 \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=4 -2 \lambda-3\mu } \\[1.7ex] \bm{y=1-4 \lambda+4 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=-\lambda + 3\mu } \end{cases}$

التمرين 3

احسب المعادلات البارامترية للمستوى المحدد بواسطة معادلة المتجهات التالية:

$(x,y,z)=(0,-1,5)+\lambda (6,1,-2) + \mu (1,-1,3)$

انظر الحل

لتحويل المعادلة المتجهة للمستوى إلى معادلة بارامترية، عليك التعامل مع الإحداثيات ثم حل كل متغير على حدة:

$(x,y,z)=(0,-1,5)+\lambda (6,1,-2) + \mu (1,-1,3)$

$(x,y,z)=(0,-1,5)+(6\lambda,\lambda,-2\lambda) + (\mu,-\mu,3\mu)$

$(x,y,z)=(6\lambda+\mu,-1+\lambda-\mu,5-2\lambda+3\mu)$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=6\lambda+\mu } \\[1.7ex] \bm{y=-1+\lambda-\mu} \\[1.7ex] \bm{z=5-2\lambda+3\mu } \end{cases}$

التمرين 4

أوجد المعادلات البارامترية للمستوى الذي يحتوي على الخط

$r$

ويكون موازيا لليمين

$s.$

كونها الخطوط:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x=1+t \\[1.7ex] y=2-3t\\[1.7ex] z=4+2t \end{cases} \qquad \qquad s: \ \frac{x-4}{2} = \frac{y+3}{2}= \frac{z-2}{-3}$

انظر الحل

لإيجاد المعادلات البارامترية للمستوى، علينا معرفة متجهي اتجاه ونقطة على المستوى. تخبرنا التعليمات أنه يحتوي على السطر

$r$

ومن ثم، يمكننا أن نأخذ متجه الاتجاه ونقطة على هذا الخط لتحديد المستوى. علاوة على ذلك، تخبرنا العبارة أن المستوى موازي للخط المستقيم

$s,$

لذا يمكننا أيضًا استخدام متجه الاتجاه لهذا الخط في معادلة المستوى.

الحق

$r$

يتم التعبير عنها في شكل معادلات بارامترية، وبالتالي فإن مكونات متجه اتجاهها هي معاملات حدود المعلمة

$t:$

$\vv{r} =(1,-3,2)$

والإحداثيات الديكارتية لنقطة على نفس الخط هي الحدود المستقلة للمعادلات البارامترية:

$P(1,2,4)$

ومن ناحية أخرى، خط مستقيم

$s$

تكون على شكل معادلة متصلة، بحيث تكون مكونات متجه اتجاهها هي مقامات الكسور:

$\vv{s} =(2,2,-3)$

ولذلك فإن المعادلات البارامترية للخطة هي:

$\displaystyle \begin{cases}x=P_x + \lambda \text{u}_x + \mu \text{v}_x \\[1.7ex] y=P_y + \lambda \text{u}_y + \mu \text{v}_y \\[1.7ex] z=P_z + \lambda\text{u}_z + \mu \text{v}_z \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}x=1 + \lambda \cdot 1+ \mu \cdot 2 \\[1.7ex] y=2 + \lambda \cdot (-3) + \mu \cdot 2 \\[1.7ex] z=4 + \lambda\cdot 2 + \mu \cdot (-3) \end{cases}$

$\displaystyle \begin{cases}\bm{x=1 + \lambda+2\mu } \\[1.7ex] \bm{y=2-3 \lambda+2 \mu } \\[1.7ex] \bm{z=4+2\lambda -3\mu } \end{cases}$

ما هي المعادلات البارامترية للطائرة؟

صياغة المعادلات البارامترية للخطة

مثال على كيفية العثور على المعادلات البارامترية للمستوى

كيفية الانتقال من المعادلة المتجهة للمستوى إلى المعادلات البارامترية

حل مسائل المعادلات البارامترية للمستوى

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

اترك تعليقاً إلغاء الرد