المشتقات - الامومية

نوضح هنا كيفية استخلاص جميع أنواع الوظائف. ستجد الصيغ لجميع المشتقات مصحوبة بأمثلة وتدريبات على المشتقات خطوة بخطوة.

ما هي المنتجات المشتقة؟

المشتقات هي قواعد رياضية تستخدم لدراسة الوظائف. على وجه الخصوص، مشتقة الدالة عند نقطة ما هي نتيجة النهاية وتشير إلى سلوك الدالة عند تلك النقطة.

يتم التعبير عن مشتق الدالة بالعلامة الأولية ‘ ، أي أن الدالة f'(x) هي مشتقة الدالة f(x) .

هندسيًا، معنى مشتقة الدالة عند نقطة ما هو ميل مماس الدالة عند تلك النقطة.

التعريف الرياضي لمشتقة الدالة هو كما يلي:

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

ومع ذلك، لا يتم عادةً حساب مشتقة الدالة باستخدام الصيغة أعلاه، ولكن تنطبق قواعد التمايز اعتمادًا على نوع الدالة. يتم شرح جميع صيغ الاشتقاق أدناه.

الصيغ المشتقة

وبعد الاطلاع على تعريف المشتقات سنرى كيفية صنعها، مع شرح كل نوع من المشتقات بمثال. الهدف من هذا المنشور هو أن تفهم مفهوم المشتقات جيدًا، لذلك إذا كان لديك في النهاية أي شكوك حول كيفية اشتقاق الدالة، يمكنك أن تسألنا في التعليقات.

مشتقة من ثابت

مشتقة الثابت تكون دائمًا صفرًا، بغض النظر عن قيمة الثابت.

لذلك، لإيجاد مشتقة دالة ثابتة، ليست هناك حاجة لإجراء أي عمليات حسابية، فقط المشتقة هي صفر.

ألقِ نظرة على الأمثلة العملية التالية لمشتقات الثوابت:

$\begin{array}{c}f(x)=3 \qquad \longrightarrow\qquad f'(x)=0\\[3ex]g(x)=-5 \qquad \longrightarrow\qquad g'(x)=0\\[3ex]h(x)=291 \qquad \longrightarrow\qquad h'(x)=0\end{array}$

مشتقة دالة خطية

مشتق الدالة الخطية هو معامل حد الدرجة الأولى، أي أن مشتقة الدالة الخطية f(x)=Ax+B تساوي A

ألقِ نظرة على الأمثلة التالية لكيفية اشتقاق هذا النوع من الوظائف:

$\begin{array}{c}f(x)=3x-1\quad\longrightarrow\quad f'(x)=3\\[3ex]f(x)=5x\quad\longrightarrow\quad f'(x)=5\\[3ex] f(x)=-2x+9\quad\longrightarrow\quad f'(x)=-2\end{array}$

مشتقة من قوة

مشتقة القوة ، أو الدالة المحتملة، هي حاصل ضرب أس القوة في القاعدة مرفوعة إلى الأس ناقص 1.

لذلك، لاشتقاق قوة، ما عليك سوى ضرب الدالة في الأس وطرح وحدة واحدة من الأس.

على سبيل المثال، مشتقة القوة x التكعيبية هي:

$f(x)=x^3 \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=3\cdot x^{3-1}=3x^2$

يمكنك التدرب على أداء التمارين (والأكثر صعوبة) لهذا النوع من المشتقات هنا:

➤ انظر: تمارين محلولة على مشتقة القوة

مشتق من الجذر

مشتق الجذر، أو الدالة غير المنطقية، يساوي واحدًا مقسومًا على حاصل ضرب مؤشر الجذر في نفس الجذر، مطروحًا منه 1 من أس الجذر.

على سبيل المثال، أدناه يمكنك رؤية حل مشتقة الجذر التربيعي لـ x:

$f(x)=\sqrt{x}\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad f'(x)=\cfrac{1}{2\sqrt{x^{2-1}}}=\cfrac{1}{2\sqrt{x}}$

➤ انظر: تمارين محلولة لمشتقة الجذر

مشتق من الدالة الأسية

يعتمد مشتق الدالة الأسية على ما إذا كان الأساس هو الرقم e أو رقم آخر. لذلك هناك صيغتان لاشتقاق هذا النوع من الوظائف ويجب عليك استخدام الصيغة التي تتوافق وفقًا لقاعدة الطاقة:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=a^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=a^x\cdot \ln(a)\\[3ex] f(x)=e^x \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x \end{array} \end{empheq}$

يمكنك أدناه رؤية مشتقتين تم حلهما لهذا النوع من الوظائف:

$f(x)=7^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=7^x\cdot \ln(7)$

$f(x)=e^{x} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=e^x$

➤ انظر: تمارين محلولة لمشتقة الدالة الأسية

مشتق من دالة لوغاريتمية

يعتمد مشتق الدالة اللوغاريتمية على أساس اللوغاريتم، لأنه إذا كان اللوغاريتم طبيعيًا، فيجب تطبيق صيغة للعثور على المشتق وإذا كان للوغاريتم رقم آخر كأساس له، فيجب استخدام قاعدة أخرى.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\ln(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x}\\[3ex] f(x)=\log_a(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(a)}\end{array} \end{empheq}$

على سبيل المثال، مشتقة اللوغاريتم ثلاثي الأساس لـ x هو:

$f(x)=\log_3(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{x\cdot\ln(3)}$

➤ انظر: تمارين محلولة لاشتقاق دالة لوغاريتمية

المشتقات المثلثية

المشتقات المثلثية الرئيسية الثلاثة هي مشتقة دالة الجيب، ودالة جيب التمام، ودالة الظل، وصيغها كما يلي:

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=1.8mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}f(x)=\text{sen}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x)\\[2.5ex] f(x)=\text{cos}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=-\text{sen}(x)\\[1.1ex]f(x)=\text{tan}(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\cfrac{1}{\text{cos}^2(x)}\end{array} \end{empheq}$

منطقيًا، هناك عدة أنواع من الدوال المثلثية، مثل القاطع، وقاطع التمام، وظل التمام، والدوال المثلثية الزائدية، والدوال المثلثية العكسية، وما إلى ذلك. لكن القواعد الأكثر استخدامًا للانجراف هي القواعد الثلاثة المذكورة أعلاه.

قواعد الإحالة

عندما يكون لدينا عمليات مع الدوال، يتم حل المشتقات بشكل مختلف. للقيام بذلك، نحتاج إلى استخدام قواعد الاشتقاق ، التي تسمح لنا باشتقاق عمليات الجمع والطرح والضرب وقسمة الدوال.

$\definecolor{taronjaquadreejemplo}{HTML}{FF9800} \newtcbox{\mymath}[1][]{% nobeforeafter, math upper, tcbox raise base, enhanced, colframe=taronjaquadreejemplo, boxrule=1pt, boxsep=2mm, #1} \begin{empheq}[box={\mymath[colback=white, shadow={2mm}{-2mm}{0mm}{taronjaquadreejemplo!20!white,} ]}]{equation*} \begin{array}{l}z(x)=f(x)\pm g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\pm g'(x)\\[4ex] z(x)=f(x)\cdot g(x) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)\\[4ex]z(x)=\cfrac{f(x)}{g(x)} \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} z'(x)=\cfrac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{\bigl(g(x)\bigr)^2}\end{array} \end{empheq}$

ومن ثم، لحل المشتقات بالعمليات، لا نحتاج فقط إلى تطبيق قواعد المشتقات، بل نحتاج أيضًا إلى استخدام الصيغة لكل نوع من المشتقات.

لكي تتمكن من معرفة كيفية العثور على هذا النوع من المشتقات، سوف نقوم بحل عدة تمارين أدناه:

مشتق من المبلغ:

$f(x)=3x^2+5x$

$f'(x)=6x+5$

كما ترون، لحل مشتقة الدالة بأكملها، تم تطبيق صيغة مشتقة القوة على كل حد من المجموع.

مشتقة من المنتج:

$f(x)=4^{x}\cdot \text{sen}(x)$

مشتق الحد الأول للمنتج هو 4 ^x ln(4)، ومشتق الجيب هو جيب التمام. إذن مشتقة الضرب هي:

$f'(x)=4^{x}\cdot \ln (4) \cdot \text{sen}(x) +4^{x}\cdot \text{cos}(x)$

مشتق من الحاصل:

$f(x)=\cfrac{x^3+4x^2}{5x^2-8}$

في بسط ومقام الكسر لدينا كثيرة الحدود، لذا للحصول على المشتقة نحتاج إلى استخدام صيغة مشتقة خارج القسمة، وصيغة مشتقة الجمع (أو الطرح) وصيغة مشتقة الكسر لديه القوة:

$\begin{aligned}f'(x)&=\cfrac{(3x^2+8x)\cdot (5x^2-8)-(x^3+4x^2)\cdot 10x}{\left(5x^2-8\right)^2}\\[2ex]&=\cfrac{15x^4-24x^2+40x^3-64x-10x^4-40x^3}{25x^4+64-80x^2}\\[2ex]&=\cfrac{5x^4-24x^2-64x}{25x^4-80x^2+64}\end{aligned}$

حكم السلسلة

قاعدة السلسلة هي صيغة تستخدم لاشتقاق الدوال المركبة. تنص قاعدة السلسلة على أن مشتق الدالة المركبة f(g(x)) يساوي المشتق f'(g(x)) مضروبًا في المشتق g'(x) .

عادة ما يكون استيعاب مفهوم المشتقات أكثر صعوبة، لذلك سنحل تمرينًا خطوة بخطوة كمثال:

$f(x)=\text{sen}(x^3)$

في الواقع، إنها تركيبة من الدوال لأن لدينا الدالة x ³ داخل دالة الجيب، لذلك يجب علينا استخدام قاعدة السلسلة للعثور على مشتقة الدالة المركبة.

من ناحية، مشتق الجيب هو جيب التمام، وبالتالي فإن مشتق الدالة الخارجية سيكون جيب التمام بنفس وسيطة الجيب:

$f\bigl(g(x)\bigr)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'\bigl(g(x)\bigr)=\text{cos}(x^3)$

ومن ناحية أخرى، نحسب مشتقة x ³ باستخدام صيغة مشتقة القوة:

$g(x)=x^3\quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} g'(x)=3x^2$

وبالتالي فإن مشتقة الدالة المركبة للعدد الصحيح هي حاصل ضرب المشتقتين:

$f(x)=\text{sen}(x^3) \quad\color{orange}\bm{\longrightarrow}\quad\color{black} f'(x)=\text{cos}(x^3)\cdot 3x^2$

➤ انظر: تمارين مشتقة محلولة بقاعدة السلسلة

تمايز الوظيفة

ترتبط الاستمرارية والتمايز للدالة عند نقطة ما بما يلي:

إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما، فإن الدالة متصلة عند تلك النقطة.
إذا كانت الدالة غير متصلة عند نقطة ما، فهي أيضًا غير قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة.

ومع ذلك، فإن عكس هذه النظرية خاطئ، أي أن كون الدالة متصلة عند نقطة ما لا يعني أنها قابلة للاشتقاق دائمًا عند تلك النقطة.

يمكنك أيضًا معرفة ما إذا كانت الدالة قابلة للاشتقاق عند نقطة ما في الرسم البياني الخاص بها أم لا:

إذا كانت نقطة ناعمة، تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.
إذا كانت نقطة زاوية، تكون الدالة متصلة ولكنها غير قابلة للاشتقاق عند هذه النقطة.

نقطة ناعمة عند x=0:
وظيفة مستمرة وقابلة للتفاضل في هذه المرحلة.

النقطة المائلة عند x=2:
وظيفة مستمرة ولكن غير قابلة للتمييز في هذه المرحلة.

يمكنك أيضًا معرفة ما إذا كانت الدالة متعددة التعريف قابلة للاشتقاق عند نقطة ما عن طريق حساب المشتقات الجانبية عند تلك النقطة:

إذا كانت المشتقات الجانبية عند نقطة ما غير متساوية، فإن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة:

$f'(x_o^-) \neq f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

ولا يجوز التفريق فيه

$x_o$

إذا تطابقت المشتقات الجانبية عند نقطة ما، تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند تلك النقطة:

$f'(x_o^-) = f'(x_o^+) \ \longrightarrow$

نعم يمكن اشتقاقها في

$x_o$

لنرى الآن مثالاً لحساب مشتقة دالة متعددة التعريف عند نقطة ما:

ادرس الاستمرارية والتفاضلية للدالة المتعددة التعريف التالية عند النقطة x=2:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 3x^2-6x & \text{si} & x<2 \\[2ex] 6\ln (x-1) & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

وظائف كلا القسمين مستمرة في فترات كل منهما، ومع ذلك، من الضروري التحقق مما إذا كانت الوظيفة مستمرة عند النقطة الحرجة x=2. للقيام بذلك، نحل الحدود الجانبية للدالة عند النقطة:

$\lim\limits_{x\to 2^-} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^-} \bigl(3x^2-6x\bigr) = 3\cdot2^2-6\cdot2=12-12=\bm{0}$

$\lim\limits_{x\to 2^+} f(x) = \lim\limits_{x\to 2^+} 6\ln (x-1) = 6\ln (2-1)=6 \ln 1=6 \cdot 0= \bm{0}$

الحدود الجانبية عند النقطة الحرجة أعطتنا نفس النتيجة، وبالتالي فإن الدالة متصلة عند النقطة x=2.

بمجرد أن نعرف أن الدالة متصلة عند x=2، سندرس اشتقاق الدالة عند هذه النقطة. للقيام بذلك، نحسب المشتقات الجانبية للدالة المحددة متعددة التعريف:

$\displaystyle f'(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} 6x-6 & \text{si} & x<2 \\[2ex] \cfrac{6}{x-1} & \text{si} & x\geq 2 \end{array} \right.$

الآن نقوم بتقييم كل مشتق جانبي عند النقطة الحرجة:

$f'(2^-)=6\cdot2-6=12-6 = \bm{6}$

$f'(2^+)=\cfrac{6}{2-1} = \cfrac{6}{1} = \bm{6}$

أعطتنا المشتقتان الجانبيتان نفس النتيجة، وبالتالي تكون الدالة قابلة للاشتقاق عند x=2 وقيمة المشتقة هي 6:

$f'(2^-) = f'(2^+) = 6 \ \longrightarrow \ \bm{f'(2) = 6}$

من ناحية أخرى، إذا أعطتنا المشتقات الجانبية نتيجة مختلفة، فهذا يعني أن الدالة غير قابلة للاشتقاق عند x=2. بعبارة أخرى، المشتقة عند هذه النقطة لن تكون موجودة.

➤ انظر: تمارين محلولة لتفاضل دالة