المسافة بين خطين متوازيين

ستجد في هذه الصفحة كيفية تحديد المسافة بين خطين متوازيين. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على حل التمارين الخاصة بالمسافات بين الخطوط المتوازية.

ما هما الخطان المتوازيان؟

قبل أن نرى كيف يتم حساب المسافة بين خطين متوازيين، دعونا نتذكر بإيجاز شديد مفهوم التوازي بين خطين:

الخطوط المتوازية هي تلك الخطوط التي لا تتقاطع أبدًا، أي أنه حتى لو امتدت مساراتها إلى ما لا نهاية، فإنها لا تتلامس أبدًا. ولذلك، فإن نقاط الخطين المتوازيين تكون دائمًا على نفس المسافة من بعضها البعض، علاوة على ذلك، لا توجد نقاط مشتركة بين الخطين المتوازيين.

على سبيل المثال، الخطان التاليان متوازيان:

نشير بشكل عام إلى أن الخطين متوازيان مع شريطين عموديين || ما بين السطور

من ناحية أخرى، على الرغم من أن الخطين المتوازيين لا يتقاطعان أبدًا، إلا أننا في الهندسة التحليلية نقول إنهما يشكلان زاوية مقدارها 0 درجة لأن لهما نفس الاتجاه.

كيفية حساب المسافة بين خطين متوازيين في المستوى

للعثور على المسافة بين خطين متوازيين في المستوى (في R2)، ما عليك سوى أخذ نقطة على أحد الخطين وحساب المسافة من هذه النقطة إلى الخط الآخر.

يمكننا فعل ذلك بهذه الطريقة لأن الخطين المتوازيين يفصل بينهما دائمًا نفس المسافة.

لذلك، للعثور على المسافة بين خطين متوازيين، عليك أن تعرف صيغة المسافة بين نقطة وخط . إذا كنت لا تتذكر كيف كان الأمر، يمكنك في الرابط مراجعة كيفية تحديد المسافة بين النقطة والخط، بالإضافة إلى أنك ستتمكن من رؤية الأمثلة والتمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

من ناحية أخرى، إذا حصلنا عند استخدام الصيغة على مسافة 0 وحدة، فهذا يعني أن الخطوط تلامس بعضها البعض في نقطة ما، وبالتالي فإن الخطوط ليست متوازية، ولكنها متقاطعة أو متطابقة أو متعامدة. إذا أردت، يمكنك التحقق من الاختلافات بين هذا النوع من الخطوط على موقعنا.

مثال على كيفية إيجاد المسافة بين خطين متوازيين

لنرى الآن كيفية حل مسألة المسافة بين خطين متوازيين باستخدام مثال:

أوجد المسافة بين الخطين المتوازيين التاليين:

$r: \ 2x-4y-6=0 \qquad \qquad s: \ -x+2y+4=0$

أول شيء يتعين علينا القيام به هو الحصول على نقطة على أحد الخطوط (الخط الذي تريده). في هذه الحالة، سوف نقوم بحساب نقطة على الخط

$s.$

للقيام بذلك، يجب علينا إعطاء قيمة لأحد المتغيرات، سنفعل على سبيل المثال

$x=0:$

$-x+2y+4 =0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ -0+2y+4=0$

والآن نقوم بمسح المتغير الآخر (

$y$

) من المعادلة التي تم الحصول عليها لمعرفة كم قيمتها في هذه المرحلة:

$2y=-4$

$y= \cfrac{-4}{2}$

$y= -2$

ولذلك، فإن النقطة التي تم الحصول عليها من الخط

$s$

شرق:

$P(0,-2)$

وبمجرد أن يكون لدينا بالفعل نقطة على الخط، فإننا نحسب المسافة من تلك النقطة إلى الخط الآخر باستخدام صيغة المسافة من نقطة إلى خط:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + (-4)\cdot (-2) +(-6)\rvert}{\sqrt{2^2+(-4)^2}}= \cfrac{\lvert 0+8-6\rvert}{\sqrt{4+16}}={\cfrac{2}{\sqrt{20}}=\bm{0,45}$

وبالتالي فإن المسافة بين الخطين المتوازيين تعادل 0.45 وحدة .

حل مسائل المسافة بين خطين متوازيين

التمرين 1

ما المسافة بين الخطين المتوازيين التاليين؟

$r: \ x+3y-4=0 \qquad \qquad s: \ 2x+6y+6=0$

انظر الحل

أولاً، سوف نتحقق من أن هذين الخطين متوازيان. لهذا، معاملات المتغيرات

$x$

$y$

يجب أن تكون متناسبة مع بعضها البعض ولكن ليس مع الشروط المستقلة:

$\cfrac{1}{2} = \cfrac{3}{6}\neq \cfrac{-4}{6} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

في الواقع، الخطوط متوازية، وبالتالي يمكننا تطبيق الإجراء.

الآن نحن بحاجة للحصول على نقطة من أحد الخطوط (الخط الذي تريده). في هذه الحالة، سوف نقوم بحساب نقطة على الخط

$s.$

للقيام بذلك، يجب عليك تعيين قيمة لأحد المتغيرات، على سبيل المثال سنفعل

$x=0:$

$2x+6y+6=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 2\cdot 0+6y+6=0$

والآن نقوم بمسح المتغير الآخر (

$y$

) للمعادلة التي تم الحصول عليها لمعرفة قيمتها عند هذه النقطة:

$6y=-6$

$y= \cfrac{-6}{6}$

$y= -1$

بحيث يتم الحصول على النقطة من السطر

$s$

شرق:

$P(0,-1)$

بمجرد أن نعرف نقطة على الخط، نحسب المسافة من تلك النقطة إلى الخط الآخر بالصيغة:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) +(-4)\rvert}{\sqrt{1^2+3^2}}= \cfrac{7}{\sqrt{10}}=\bm{2,21}$

تمرين 2

احسب المسافة بين الخطين المتوازيين التاليين:

$r: \ 2x+y+5=0 \qquad \qquad s: \ 8x+4y-4=0$

انظر الحل

أولاً، سوف نتحقق من أن هذين الخطين متوازيان. لهذا، معاملات المتغيرات

$x$

$y$

يجب أن تكون متناسبة مع بعضها البعض ولكن ليس مع الشروط المستقلة:

$\cfrac{2}{8} = \cfrac{1}{4}\neq \cfrac{5}{-4} \ \longrightarrow \ \text{Paralelas}$

في الواقع، الخطوط متوازية، وبالتالي يمكننا تطبيق الإجراء.

الآن نحن بحاجة للحصول على نقطة من أحد الخطوط (الخط الذي تريده). في هذه الحالة، سوف نقوم بحساب نقطة على الخط

$s.$

للقيام بذلك، يجب عليك إعطاء قيمة لأحد المتغيرات، على سبيل المثال سنفعل

$x=0:$

$8x+4y-4=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 0} \ 8\cdot 0+4y-4=0$

والآن نقوم بمسح المتغير الآخر (

$y$

) للمعادلة الناتجة لإيجاد قيمتها عند هذه النقطة:

$4y=4$

$y= \cfrac{4}{4}$

$y= 1$

بحيث يتم الحصول على النقطة من السطر

$s$

شرق:

$P(0,1)$

بمجرد أن نعرف نقطة على الخط، نحسب المسافة من تلك النقطة إلى الخط الآخر بالصيغة:

$d(P,r)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

$d(P,r)= \cfrac{\lvert 2\cdot 0 + 1\cdot 1 +5\rvert}{\sqrt{2^2+1^2}}= \cfrac{6}{\sqrt{5}}=\bm{2,68}$

التمرين 3

احسب قيمة المجهول

$k$

وبالتالي فإن المسافة بين السطرين التاليين هي 5 وحدات.

$r: \ 6x-8y+10=0 \qquad \qquad s: \ -3x+4y+k=0$

انظر الحل

وبما أننا نعمل في بعدين، لكي تكون المسافة بين الخطين غير صفر، يجب أن يكونا متوازيين. ولذلك سنقوم بإنشاء المعادلة من خلال محاولة حساب المسافة بين الخطين بصيغة المسافة بين نقطة وخط، ومن هذه المعادلة سنحصل على قيمة

$k.$

للقيام بذلك نحن بحاجة لحساب نقطة على الخط

$r:$

$6x-8y+10=0 \ \xrightarrow{x \ = \ 1} \ 6\cdot 1 -8y+10=0$

$6-8y+10=0$

$-8y=-16$

$y=\cfrac{-16}{-8} = 2$

لذلك نقطة على السطر

$r$

شرق:

$P(1,2)$

الآن نحاول حساب المسافة بين النقطة التي تنتمي إلى الخط

$r$

(نقطة

$P$

) والخط

$s$

مع الصيغة:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert A\cdot p_x + B\cdot p_y +C\rvert}{\sqrt{A^2+B^2}}$

نستبدل كل حد بقيمته ونبسط التعبير:

$d(P,s)= \cfrac{\lvert -3\cdot 1 + 4\cdot 2+k\rvert}{\sqrt{(-3)^2+4^2}}= \cfrac{\lvert -3+8+k\rvert}{\sqrt{9+16}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{\sqrt{25}}=\cfrac{\lvert 5+k\rvert}{5}$