المسافة بين خطين متقاطعين (صيغة)

ستجد في هذه الصفحة كيفية تحديد المسافة بين خطين متقاطعين (الصيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على التمارين المحلولة للمسافات بين الخطوط المتقاطعة.

ما هما الخطان المتقاطعان؟

قبل النظر في كيفية حساب المسافة بين خطين متقاطعين، دعونا نتذكر بإيجاز شديد مما يتكون هذا النوع من الموضع النسبي بين خطين:

الخطان المتقاطعان، ويطلق عليهما أيضًا الخطوط المتقاطعة، هما خطان متميزان لهما اتجاهات مختلفة ولا يتقاطعان في أي نقطة . ولذلك، فإن الخطين المتقاطعين ليسا في نفس المستوى.

على سبيل المثال، في التمثيل الرسومي فوق السطر

$s$

هو دائما في المقدمة

$r$

، لذلك لن يلمسوا بعضهم البعض أبدًا.

كيفية حساب المسافة بين خطين متقاطعين

هناك عدة طرق لتحديد المسافة بين خطين متقاطعين في الفضاء. سنشرح في هذه الصفحة إجراءً واحدًا فقط، وهو الأسهل، لأن الطريقتين الأخريين أطول وأكثر تعقيدًا، وفي الواقع نادرًا ما يتم استخدامهما.

ليكن متجه الاتجاه وأي نقطة من خطين متقاطعين:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} \\[2ex] A\end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}} \\[2ex] B\end{cases}$

صيغة المسافة بين خطين متقاطعين هي:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

ذهب

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|$

هي القيمة المطلقة للمنتج المختلط للمتجهات

$\vv{\text{u}}, \vv{\text{v}}$

والمتجه المحدد بالنقاط

$A$

$B$

. ومن ناحية أخرى،

$\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert$

هو حجم المنتج المتجه لمتجهات الاتجاه للخطين المتقاطعين.

لذلك، للعثور على المسافة بين خطين متقاطعين، تحتاج إلى معرفة كيفية حساب منتج النقاط الثلاثية (أو المنتج المختلط لثلاثة ناقلات) ومنتج المتجه (أو منتج المتجه لمتجهين). يمكنك مراجعة كيفية القيام بذلك في الروابط السابقة، حيث ستجد الصيغ المقابلة والأمثلة والتدريبات المحلولة.

مثال على كيفية إيجاد المسافة بين خطين متقاطعين

ولكي تتمكن من معرفة كيفية تحديد المسافة بين خطين متقاطعين، سنحل مسألة كمثال:

ما المسافة بين الخطين المتقاطعين التاليين؟

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y-2}{4} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x-3}{1} = \cfrac{y+1}{3} = \cfrac{z-1}{-2}$

أولًا، علينا تحديد متجه الاتجاه ونقطة على كل خط. ويتم التعبير عن الخطين في شكل معادلة مستمرة، وبالتالي:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,4,-1) \\[2ex] A(1,2,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(1,3,-2) \\[2ex] B(3,-1,1)\end{cases}$

والآن نطبق صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

من ناحية نحل المنتج المختلط:

$\vv{AB} = B - A = (3,-1,1) - (1,2,-2) = (2,-3,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \\[1.1ex] 2&-3&3 \end{vmatrix}\right| = \left| -13 \right| =13$

ومن ناحية أخرى، نجد حجم المنتج المتجه:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&4&-1 \\[1.1ex] 1&3&-2 \end{vmatrix}=-5\vv{i} +3\vv{j}+2\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{5^2+3^2+2^2} = \sqrt{25+9+4} = \sqrt{38}$

أخيرًا، نعوض بقيمة كل حد في صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{13}{\sqrt{38}}= \bm{2,11}$

حل مسائل المسافة بين خطين متقاطعين

التمرين 1

أوجد المسافة بين الخطين التاليين المتقاطعين في نقطة ما:

$r: \ \cfrac{x-1}{2} = \cfrac{y+1}{1} = \cfrac{z+3}{2}$

$s: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{-1} = \cfrac{z-1}{2}$

انظر الحل

أولًا، علينا إيجاد متجه الاتجاه ونقطة على كل خط. يتم تعريف الخطين في شكل معادلة مستمرة، وبالتالي:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(2,1,2) \\[2ex] A(1,-1,-3) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,-1,2) \\[2ex] B(2,4,1)\end{cases}$

والآن نستخدم صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

نحدد المنتج المختلط:

$\vv{AB} = B - A = (2,4,1) - (1,-1,-3) = (1,5,4)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \\[1.1ex] 1&5&4 \end{vmatrix}\right| = \left| -6 \right| =6$

بعد ذلك، نحسب حجم المنتج الاتجاهي:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 2&1&2 \\[1.1ex] 3&-1&2 \end{vmatrix}=4\vv{i} +2\vv{j}-5\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{4^2+2^2+(-5)^2} = \sqrt{16+4+25} = \sqrt{45}$

وأخيرًا، نعوض بقيمة كل حد في صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{6}{\sqrt{45}}= \bm{0,89}$

تمرين 2

احسب المسافة بين الخطين المتقاطعين:

$r: \ \cfrac{x-2}{3} = \cfrac{y-4}{1} = \cfrac{z+2}{-1}$

$s: \ \cfrac{x+1}{2} = \cfrac{y+2}{-2} = \cfrac{z-1}{5}$

انظر الحل

أولًا، علينا تحديد متجه الاتجاه ونقطة على كل خط. ويتم التعبير عن الخطين في شكل معادلة مستمرة، وبالتالي:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(3,1,-1) \\[2ex] A(2,4,-2) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(2,-2,5) \\[2ex] B(-1,-2,1)\end{cases}$

والآن نستخدم صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

نحدد المنتج المختلط:

$\vv{AB} = B - A = (-1,-2,1) - (2,4.-2) = (-3,-6,3)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \\[1.1ex] -3&-6&3 \end{vmatrix}\right| = \left| 69 \right| =69$

بعد ذلك، نحسب حجم المنتج الاتجاهي:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] 3&1&-1 \\[1.1ex] 2&-2&5 \end{vmatrix}=3\vv{i} -17\vv{j}-8\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{3^2+(-17)^2+(-8)^2} = \sqrt{9+289+64} = \sqrt{362}$

وأخيرًا، نعوض بقيمة كل مجهول في صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{69}{\sqrt{362}}= \bm{3,63}$

التمرين 3

أوجد المسافة بين الخطين المتقاطعين:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} x= -4t \\[1.7ex] y=2+3t \\[1.7ex] z=-1+t \end{cases}$

$\displaystyle s: \ (x,y,z)=(4,2,1)+t(3,2,-5)$

انظر الحل

أولًا، علينا إيجاد متجه الاتجاه ونقطة على كل خط. الحق

$r$

في شكل المعادلات البارامترية والخط

$s$

في شكل معادلة متجهة، وبالتالي:

$\displaystyle r: \ \begin{cases} \vv{\text{u}} =(-4,3,1) \\[2ex] A(0,2,-1) \end{cases} \qquad \qquad s: \ \begin{cases} \vv{\text{v}}=(3,2,-5) \\[2ex] B(4,2,1)\end{cases}$

والآن نستخدم صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert}$

نحدد المنتج العددي الثلاثي:

$\vv{AB} = B - A = (4,2,-1) - (0,2,1) = (4,0,-2)$

$\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right| =\left| \begin{vmatrix} -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \\[1.1ex] 4&0&-2 \end{vmatrix}\right| = \left| -34 \right| =34$

بعد ذلك، نحسب حجم المنتج الاتجاهي:

$\vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} =\begin{vmatrix} \vv{i}& \vv{j}& \vv{k} \\[1.1ex] -4&3&1 \\[1.1ex] 3&2&-5 \end{vmatrix}=-17\vv{i} -17\vv{j}-17\vv{k}$

$\left| \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \right| =\sqrt{(-17)^2+(-17)^2+(-17)^2} = \sqrt{289+289+289} = \sqrt{867}$

وأخيرًا، نعوض بقيمة كل حد في صيغة المسافة بين خطين متقاطعين:

$d(r,s)=\cfrac{\left|\left[\vv{\text{u}},\vv{\text{v}},\vv{AB}\right]\right|}{\lvert \vv{\text{u}} \times \vv{\text{v}} \rvert} = \cfrac{34}{\sqrt{867}}= \bm{1,15}$

ما هما الخطان المتقاطعان؟

كيفية حساب المسافة بين خطين متقاطعين

مثال على كيفية إيجاد المسافة بين خطين متقاطعين

حل مسائل المسافة بين خطين متقاطعين

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

اترك تعليقاً إلغاء الرد