الزاوية بين مستويين في الفضاء (الصيغة)

ستجد في هذه الصفحة كيفية حساب الزاوية التي تشكلها طائرتان في الفضاء (الصيغة). بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها.

صيغة الزاوية بين طائرتين

الزاوية بين طائرتين تساوي الزاوية التي تشكلها المتجهات العادية للطائرات المذكورة. ولذلك، لإيجاد الزاوية بين مستويين، يتم حساب الزاوية التي تشكلها متجهاتها العادية، لأنها متكافئة.

لذلك، بمجرد أن نعرف بالضبط ما هي الزاوية بين مستويين، دعونا نلقي نظرة على صيغة حساب الزاوية بين مستويين في الفضاء (في R3)، والتي يتم استنتاجها من صيغة الزاوية بين متجهين :

بالنظر إلى المعادلة العامة (أو الضمنية) لطائرتين مختلفتين:

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

المتجه الطبيعي لكل مستوى هو :

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

ويتم تحديد الزاوية التي تشكلها هاتان المستويتان من خلال حساب الزاوية التي تشكلها متجهاتها العادية باستخدام الصيغة التالية:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

لذا، لتحديد الزاوية بين مستويين، يجب عليك إتقان حساب حاصل الضرب النقطي لمتجهين . إذا كنت لا تتذكر كيف تم ذلك، فستجد في الرابط خطوات حل حاصل الضرب النقطي بين متجهين. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

من ناحية أخرى، عندما يكون المستويان متعامدين أو متوازيين، ليس من الضروري تطبيق الصيغة، لأنه يمكن تحديد الزاوية بين المستويين مباشرة:

الزاوية بين مستويين متوازيين هي 0 درجة، لأن متجهاتهما العادية لها نفس الاتجاه.
الزاوية بين مستويين متعامدين هي 90 درجة، لأن متجهاتها العادية متعامدة أيضًا (أو متعامدة) مع بعضها البعض، وبالتالي تشكل زاوية قائمة.

مثال لحساب الزاوية بين طائرتين

فيما يلي مثال ملموس حتى تتمكن من معرفة كيفية تحديد الزاوية بين طائرتين مختلفتين:

احسب الزاوية بين المستويين التاليين:

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

أول ما علينا فعله هو إيجاد المتجه العمودي لكل مستوى. وبالتالي، فإن إحداثيات X وY وZ للمتجه المتعامد مع المستوى تتطابق على التوالي مع المعاملات A وB وC لمعادلته العامة (أو الضمنية):

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

وبمجرد أن نعرف المتجه الطبيعي لكل مستوى، نحسب الزاوية التي يشكلونها بالصيغة:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

لذلك يجب علينا إيجاد حجم كل متجه عادي:

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

الآن نعوض بقيمة كل مجهول في الصيغة:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

نحسب جيب تمام الزاوية عن طريق حل المنتج النقطي للمتجهين:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

وأخيرًا، نحدد الزاوية عن طريق إجراء معكوس جيب التمام باستخدام الآلة الحاسبة:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

حل مسائل الزاوية بين طائرتين

التمرين 1

أوجد الزاوية المحصورة بين المستويين التاليين:

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

انظر الحل

أول ما علينا فعله هو إيجاد المتجه العمودي لكل مستوى. وبالتالي، فإن إحداثيات X وY وZ للمتجه المتعامد مع المستوى تعادل على التوالي المعاملات A وB وC لمعادلته العامة (أو الضمنية):

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

بمجرد أن نعرف المتجه الطبيعي لكل مستوى، نحسب الزاوية التي يشكلها باستخدام الصيغة:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

لذلك يجب علينا إيجاد حجم كل متجه عادي:

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

نعوض بقيمة كل مجهول في الصيغة:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

نحسب جيب تمام الزاوية:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

وأخيرًا، نجد الزاوية بين المستويين عن طريق قلب جيب التمام بالآلة الحاسبة:

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

تمرين 2

ما الزاوية المحصورة بين المستويين التاليين؟

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

انظر الحل

أول ما علينا فعله هو إيجاد المتجه العمودي لكل مستوى. وبالتالي، فإن إحداثيات X وY وZ للمتجه المتعامد مع المستوى تساوي على التوالي المعلمات A وB وC لمعادلته العامة (أو الضمنية):

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

بمجرد أن نعرف المتجه الطبيعي لكل مستوى، نحسب الزاوية التي يشكلها باستخدام الصيغة:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

لذلك يجب علينا إيجاد حجم كل متجه عادي:

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

نعوض بقيمة كل متغير في الصيغة:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

نحسب جيب تمام الزاوية:

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$