الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة (الحدود النسبية)

ستكتشف في هذه المقالة كيفية حساب الحد الأقصى والأدنى للدالة، نشرحها لك من خلال حل مثالين خطوة بخطوة. بالإضافة إلى ذلك، سوف تكون قادرًا على التدرب من خلال تمارين خطوة بخطوة على الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة.

ما هو الحد الأقصى والحد الأدنى للوظيفة؟

الحد الأقصى للدالة هو أكبر قيم للدالة والحد الأدنى للدالة هو أصغر قيم للدالة. تعتبر الحدود القصوى والصغرى للدالة متطرفة نسبيًا عندما تمثل فقط أكبر أو أصغر القيم في بيئتها، ولكنها تكون متطرفة مطلقة عندما تمثل أكبر أو أصغر قيم الدالة بأكملها.

الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة

يمكنك أيضًا تحديد الحدود القصوى النسبية من خلال دراسة نمو الوظيفة وانخفاضها :

  • النقطة هي الحد الأقصى النسبي عندما تنتقل الدالة من الزيادة إلى التناقص.
  • النقطة هي الحد الأدنى النسبي عندما تنتقل الدالة من التناقص إلى الزيادة.

كيفية العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة

من المشتقة الأولى والثانية للدالة، يمكننا معرفة ما إذا كانت الدالة لها حد أقصى نسبي عند نقطة ما وإذا كانت النقطة المذكورة هي قيمة عظمى نسبية أو قيمة صغرى نسبية:

  • الدالة لها حد أقصى بالنسبة للنقاط التي تلغي مشتقتها الأولى.

    • f'(a)=0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un extremo relativo}

  • وتحدد إشارة المشتقة الثانية للدالة ما إذا كانت النقطة قيمة عظمى أم صغرى:
    • إذا كانت المشتقة الثانية سالبة، فإن الدالة لها قيمة عظمى نسبية عند تلك النقطة.

      • f''(a)<0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\'aximo relativo}

    • إذا كانت المشتقة الثانية موجبة، يكون للدالة قيمة صغرى نسبية عند تلك النقطة.

      • f''(a)>0 \quad \bm{\longrightarrow} \quad x=a \text{ es un m\’inimo relativo}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”19″ width=”356″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> </ul> </li> </ul> </div> <h2 class= مثال 1: كيفية حساب الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة

      بعد أن رأينا تعريفات الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة، سنحل مثالًا خطوة بخطوة حتى تتمكن من معرفة كيفية حساب الحد الأقصى والحد الأدنى للدالة.

      • احسب القيم القصوى النسبية للدالة التالية وحدد ما إذا كانت قيمًا عظمى أم صغرى:

      f(x)=x^3-3x

      ستكون الحدود المتطرفة النسبية للوظيفة هي النقاط التي تُرضي

      f'(x)=0

      . لذلك، نحسب أولاً مشتقة الدالة:

      f(x)=x^3-3x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-3

      والآن نجعل مشتقة الدالة تساوي الصفر ونحل المعادلة التربيعية الناتجة:

      f'(x)=0

      3x^2-3=0

      3x^2=3

      x^2=\cfrac{3}{3}

      x^2=1

      x= \pm 1

      ولذلك، فإن الحدود النسبية للدالة هي x=+1 وx=-1.

      بمجرد أن نعرف القيمتين النسبيتين للدالة، يمكننا معرفة ما إذا كانت قيمة عظمى أم قيمة صغرى باستخدام إشارة المشتقة الثانية. لذلك نحسب المشتقة الثانية للدالة:

      f'(x)=3x^2-3 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x

      والآن نحسب في المشتقة الثانية القيم النسبية التي وجدناها من قبل لنعرف هل هي قيمة عظمى أم صغرى نسبية:

      f''(1)=6\cdot 1 = 6 \ \longrightarrow

      الحد الأدنى النسبي

      f''(-1)=6\cdot (-1) = -6 \ \longrightarrow

      الحد الأقصى النسبي

      المشتق الثاني عند x=1 موجب، لذا فإن x=1 هو الحد الأدنى النسبي . من ناحية أخرى، المشتق الثاني عند x=-1 سالب، لذا فإن x=-1 هو الحد الأقصى النسبي .

      أخيرًا، نعوض بالنقاط الموجودة في الدالة الأصلية لإيجاد الإحداثي Y للنهايات النسبية:

      f(1)=1^3-3\cdot 1=-2 \ \longrightarrow \ (1,-2)

      f(-1)=(-1)^3-3\cdot(-1)= 2 \ \longrightarrow \ (-1,2)

      في الختام، النهايات النسبية للدالة هي:

      الحد الأدنى للنقطة

      \bm{(1,-2)}

      الحد الأقصى على النقطة

      \bm{(-1,2)}

      مثال 2: دراسة الرتابة والعظمى والصغرى للدالة

      الآن دعونا نرى كيف يتم حل نوع آخر من التمارين. في هذه الحالة سنشرح كيفية العثور على الحد الأقصى والحد الأدنى من رتابة الدالة.

      • دراسة الرتابة وحساب الحدود القصوى للدالة التالية:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1}

      أول شيء يجب فعله هو حساب مجال تعريف الدالة. كونها دالة عقلانية، نحتاج إلى جعل المقام يساوي 0 لمعرفة الأرقام التي لا تنتمي إلى مجال الدالة:

      x-1=0

      x=1

      \text{Dom } f= \mathbb{R}-\{1 \}

      بمجرد أن نحسب مجال تعريف الدالة، علينا دراسة النقاط التي تلغي المشتقة الأولى. لذلك نستنتج الدالة:

      f(x)=\cfrac{x^2}{x-1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{2x\cdot (x-1) - x^2\cdot 1}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{2x^2-2x - x^2}{\left(x-1\right)^2}

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      والآن نجعل المشتقة تساوي 0 ونحل المعادلة:

      f'(x)=0

      \cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}=0

      على المدى

      \left(x-1\right)^2}

      يتضمن ذلك تقسيم الجانب الأيسر بأكمله، حتى نتمكن من ضربه في الجانب الأيمن بأكمله:

      x^2-2x=0\cdot \left(x-1\right)^2

      x^2-2x=0

      نستخرج العامل المشترك لحل المعادلة التربيعية:

      x(x-2)=0

      لكي يكون الضرب يساوي 0، يجب أن يكون أحد عنصري الضرب صفراً. لذلك نجعل كل عامل يساوي 0 ونحصل على حلين للمعادلة:

      \displaystyle x\cdot(x-2) =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] x-2=0 \ \longrightarrow \ \bm{x= 2} \end{cases}

      بمجرد أن نحسب مجال الوظيفة و

      f'(x)=0

      ، نحن نمثل جميع النقاط الحرجة الموجودة على السطر:

      ونحسب إشارة المشتقة في كل فترة لنعرف ما إذا كانت الدالة تزيد أم تنقص. للقيام بذلك، نأخذ نقطة في كل فترة (وليس النقاط الحرجة أبدًا) وننظر إلى الإشارة التي يحملها المشتق عند تلك النقطة:

      f'(x)=\cfrac{x^2-2x}{\left(x-1\right)^2}

      f'(-1) = \cfrac{(-1)^2-2(-1)}{\left((-1)-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(0,5) = \cfrac{0,5^2-2\cdot0,5}{\left(0,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(1,5) = \cfrac{1,5^2-2\cdot1,5}{\left(1,5-1\right)^2} = \cfrac{-0,75}{+0,25} = -3 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(3) = \cfrac{3^2-2\cdot3}{\left(3-1\right)^2} =\cfrac{+3}{+4} = +0,75 \ \rightarrow \ \bm{+}

      إذا كانت المشتقة موجبة، فهذا يعني أن الدالة تتزايد، وإذا كانت المشتقة سالبة، فهذا يعني أن الدالة تتناقص. وبالتالي فإن فترات النمو والانخفاض هي:

      نمو:

      \bm{(-\infty, 0)\cup (2,+\infty)}

      ينقص:

      \bm{(0,1)\cup (1,2)}

      علاوة على ذلك، عند x=0، تنتقل الدالة من الزيادة إلى التناقص، لذا فإن x=0 هو الحد الأقصى النسبي للدالة . وعند x=2، تنتقل الدالة من التناقص إلى الزيادة، لذا فإن x=2 هو الحد الأدنى النسبي للدالة.

      وأخيرًا، نعوض بالنقاط الموجودة في الدالة الأصلية لإيجاد إحداثي Y للنهايات:

      f(0)=\cfrac{0^2}{0-1} = \cfrac{0}{-1} = 0 \ \longrightarrow \ (0,0)

      f(2)=\cfrac{2^2}{2-1} = \cfrac{4}{1} = 4 \ \longrightarrow \ (2,4)

      باختصار، النهايات النسبية للدالة هي:

      الحد الأقصى على النقطة

      \bm{(0,0)}

      الحد الأدنى للنقطة

      \bm{(2,4)}

      تمارين محلولة على القيم العظمى والصغرى للدالة

      التمرين 1

      احسب الحدود القصوى النسبية للدالة متعددة الحدود التالية وحدد ما إذا كانت قيمًا عظمى أم صغرى:

      f(x)=x^3-3x^2-9x

      النهايات النسبية للدالة هي النقاط التي يكون عندها المشتق الأول للدالة يساوي صفرًا. لذلك نحسب مشتقة الدالة:

      f(x)=x^3-3x^2-9x \ \longrightarrow \ f'(x)=3x^2-6x-9

      والآن نحل المعادلة

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      3x^2-6x-9=0

      لدينا معادلة تربيعية، لذلك نطبق الصيغة العامة لحلها:

      \begin{aligned} x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2-4\cdot 3 \cdot (-9)}}{2\cdot 3}=\\[1.5ex]&=\cfrac{6 \pm \sqrt{144}}{6}=\cfrac{6 \pm 12}{6} =\begin{cases} \cfrac{6 + 12}{6}=\cfrac{18}{6}= 3 \\[4ex] \cfrac{6 - 12}{6}=\cfrac{-6}{6}=-1 \end{cases} \end{aligned}

      ولذلك، فإن النهايات النسبية للدالة هي النقطتان x=3 وx=-1.

      بمجرد أن نعرف القيمتين النسبيتين للدالة، يمكننا معرفة ما إذا كانت قيمة عظمى أم قيمة صغرى باستخدام إشارة المشتقة الثانية. لذلك نفرق الدالة مرة أخرى:

      f'(x)=3x^2-6x-9 \ \longrightarrow \ f''(x)=6x-6

      والآن نحسب النقاط التي حسبناها من قبل في المشتقة الثانية:

      f''(3)=6(3)-6=18-6 = +12 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      f''(-1)=6(-1)-6=-6-6 = -12 \ \longrightarrow \ \text{M\'aximo}

      المشتق الثاني عند x=3 موجب، لذا فإن x=3 هو الحد الأدنى . والمشتق الثاني عند x=-1 سالب، لذا x=-1 هو الحد الأقصى .

      وأخيرًا، نعوض بالنقاط الموجودة في الدالة الأصلية لإيجاد إحداثي Y للنهايات:

      f(3)=3^3-3\cdot 3^2-9\cdot3=-27 \ \longrightarrow \ (3,-27)

      f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)=5 \ \longrightarrow \ (-1,5)

      باختصار، النهايات النسبية للدالة هي:

      الحد الأدنى بالنسبة للنقطة

      \bm{(3,-27)}

      الحد الأقصى بالنسبة للنقطة

      \bm{(-1,5)}

      تمرين 2

      احسب الحدود القصوى النسبية للدالة الأسية التالية وحدد ما إذا كانت قيمًا عظمى أم صغرى:

      f(x)=e^x(x-1)

      أولا، نحن بحاجة إلى التمييز بين الوظيفة. للقيام بذلك، نطبق صيغة مشتق المنتج:

      f'(x)=e^x\cdot (x-1)+ e^x\cdot 1

      f'(x)=xe^x -e^x +e^x = xe^x

      والآن نحل المعادلة

      f'(x)=0:

      f'(x)=0

      xe^x=0

      \displaystyle x\cdot e^x =0 \longrightarrow \begin{cases} \bm{x=0} \\[2ex] e^x=0 \ \color{red}\bm{\times} \end{cases}

      الرقم المرفوع إلى آخر لا يمكن أن يؤدي أبدًا إلى 0. لذلك،

      e^x=0

      ليس له حل والمتطرف النسبي الوحيد هو

      x=0

      .

      الآن نحسب المشتقة الثانية للدالة لنعلم أن الحد الأقصى النسبي هو الحد الأقصى أو الحد الأدنى:

      f'(x)= xe^x \ \longrightarrow \ f''(x)= 1\cdot e^x + x \cdot e^x = e^x+xe^x

      والآن نحسب في المشتقة الثانية القيمة القصوى التي وجدناها من قبل، لنرى هل هي قيمة عظمى أم صغرى:

      f''(0)= e^{0}+0\cdot e^{0} = 1+0\cdot 1 = 1 \ \longrightarrow \ \text{M\'inimo}

      بما أن المشتق الثاني عند x=0 موجب، فإن x=0 هو الحد الأدنى النسبي أو المحلي .

      أخيرًا، نعوض بالنقطة الموجودة في الدالة الأصلية لإيجاد إحداثي الطرف الآخر:

      f(0)=e^{0}(0-1) =1\cdot (-1)=-1 \ \longrightarrow \ (0,-1)

      وبالتالي فإن الحد الأقصى النسبي الوحيد للدالة هو:

      الحد الأدنى للنقطة

      \bm{(0,-1)}

      التمرين 3

      ادرس الرتابة وابحث عن الحدود القصوى للدالة العقلانية التالية:

      \displaystyle f(x)=\frac{x -1 }{x^2+1}

      أولا، نحدد مجال الدالة. للقيام بذلك، نجعل مقام الكسر يساوي الصفر ونحل المعادلة التربيعية الناتجة:

      x^2+1 = 0

      التعبير

      x^2+1

      لن تكون 0 أبدًا، نظرًا لأن نتيجة x 2 ستكون دائمًا رقمًا موجبًا أو 0. لذلك، فإن إضافة 1 لن يعطي 0 أبدًا. وبالتالي، يتكون مجال الدالة من أرقام حقيقية فقط:

      \text{Dom } f= \mathbb{R}

      بعد ذلك، ندرس النقاط التي تلتقي

      f'(x)=0.

      نحن نفرق الدالة باستخدام قاعدة القسمة:

      f(x)=\cfrac{x -1 }{x^2+1} \ \longrightarrow \ f'(x)= \cfrac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x }{\left(x^2+1}\right)^2}

      f'(x)= \cfrac{x^2+1-(2x^2-2x)}{\left(x^2+1\right)^2} = \cfrac{x^2+1-2x^2+2x}{\left(x^2+1\right)^2}= \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}

      نجعل المشتق يساوي 0 ونحل المعادلة:

      f'(x)= 0

      \cfrac{-x^2+2x+1}{\left(x^2+1\right)^2}=0

      -x^2+2x+1=0\cdot \left(x^2+1\right)^2

      -x^2+2x+1=0

      لدينا معادلة تربيعية، لذلك نستخدم الصيغة العامة لحلها:

      \begin{aligned}x &=\cfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} =\cfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot (-1) \cdot 1}}{2\cdot (-1)} = \\[1.5ex]&=\cfrac{-2 \pm \sqrt{8}}{-2} =\begin{cases} \cfrac{-2 + \sqrt{8}}{-2}= -0,41 \\[4ex] \cfrac{-2 - \sqrt{8}}{-2}= 2,41\end{cases} \end{aligned}

      بمجرد أن نحسب مجال الوظيفة و

      f'(x)=0

      ، فإننا نمثل جميع النقاط المفردة الموجودة على خط الأعداد:

      والآن نوجد إشارة المشتقة في كل فترة لمعرفة ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية. لذلك نأخذ نقطة في كل فترة (وليس النقاط المفردة أبدًا) وننظر إلى الإشارة التي يحملها المشتق عند هذه النقطة:

      f'(-1)= \cfrac{-(-1)^2+2(-1)+1}{\left((-1)^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+4} =-0,5 \ \rightarrow \ \bm{-}

      f'(0)= \cfrac{-0^2+2(0)+1}{\left(0^2+1\right)^2}}= \cfrac{+1}{+1} =+1 \ \rightarrow \ \bm{+}

      f'(3)= \cfrac{-3^2+2\cdot 3+1}{\left(3^2+1\right)^2}}= \cfrac{-2}{+100} =-0,02 \ \rightarrow \ \bm{-}

      إذا كانت المشتقة موجبة، فهذا يعني أن الدالة تتزايد في تلك الفترة، ولكن إذا كانت المشتقة سالبة، فهذا يعني أن الدالة تتناقص. وبالتالي فإن فترات النمو والانخفاض هي:

      نمو:

      \bm{(-0,41 \ , \ 2,41)}

      ينقص:

      \bm{(-\infty \ , \ -0,41)\cup (2,41 \ , \ +\infty)}

      تتغير الدالة من التناقص إلى الزيادة عند x=-0.41، لذا فإن x=-0.41 هو الحد الأدنى المحلي للدالة. وتنتقل الدالة من الزيادة إلى التناقص عند x=2.41، لذا فإن x=2.41 هي قيمة عظمى محلية للدالة.

      أخيرًا، نعوض الحدود القصوى الموجودة في الدالة الأصلية لإيجاد إحداثيات Y للنقاط:

      f(-0,41)=\cfrac{-0,41 -1 }{(-0,41)^2+1} = \cfrac{-1,41}{1,17}= -1,21 \ \longrightarrow \ (-0,41 \ , \ -1,21)

      f(2,41)=\cfrac{2,41 -1 }{2,41^2+1} = \cfrac{1,41}{6,81}= 0,21 \ \longrightarrow \ (2,41 \ , \ 0,21)

      وبالتالي فإن الحدود النسبية للوظيفة هي:

      الحد الأدنى للنقطة

      \bm{(-0,41 \ , \ -1,21)}

      الحد الأقصى على النقطة

      \bm{ (2,41 \ , \ 0,21)}

      التمرين 4

      نحن نعلم أن الدالة

      f(x)=x^2+ax+b

      تمر عبر النقطة

      (1,-2)

      ولها تطرف نسبي في

      x= -1 .

      تحديد قيمة المجهولين

      a

      وقيمة

      b .

      دع الوظيفة لها حد نسبي

      x= -1

      وهذا يعني أنه تم إنجازه

      f'(-1)=0.

      ولذلك، فإننا نحسب مشتق الدالة في

      x= -1

      ونجعلها تساوي 0:

      f(x) = x^2+ax+b \ \longrightarrow \ f'(x)=2x+a

      \left. \begin{array}{l} f'(-1)=2(-1)+a\\[2ex] f'(-1)=0\end{array} \right\} \longrightarrow 2(-1)+a=0

      ونحل المعادلة التي تم الحصول عليها لإيجاد قيمة المعلمة أ:

      2(-1)+a=0

      -2+a=0

      \bm{a=2}

      وبالتالي ستكون الوظيفة:

      f(x)=x^2+ax+b \ \xrightarrow{a \ = \ 2} \ f(x)=x^2+2x+b

      ومن ناحية أخرى، يخبروننا أن الدالة تمر عبر النقطة

      (1,-2) .

      هذا لأقول،

      f(1)=-2 .

      لذلك يمكننا تطبيق هذا الشرط لإيجاد قيمة المتغير b:

      \left. \begin{array}{l} f(1)=1^2+2\cdot1+b \\[2ex] f(1)=-2 \end{array} \right\} \longrightarrow 1^2+2\cdot 1+b = -2

      ونحل المعادلة التي تم الحصول عليها لإيجاد قيمة المعلمة b:

      1^2+2\cdot1+b=-2

      1+2+b=-2

      b=-2-1-2

      \bm{b=-5}

      وبالتالي فإن الوظيفة هي:

      f(x)=x^2+2x+b \ \xrightarrow{b \ = \ -5} \ f(x)=x^2+2x-5

اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

Scroll to Top