أنواع الانقطاعات

سبتمبر 17, 2023

هنا سوف تكتشف أنواع الانقطاعات الموجودة. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية أمثلة على جميع أنواع انقطاعات الوظائف وستكون قادرًا على التدرب على التمارين المحلولة على أنواع انقطاعات الوظائف.

ما هي جميع أنواع الانقطاعات؟

هناك ثلاثة أنواع من الانقطاعات، وهي:

الانقطاع الذي يمكن تجنبه : الحدود الجانبية للدالة عند نقطة ما لا تتطابق مع قيمة الوظيفة.
انقطاع القفز المحدود الذي لا مفر منه : الحدود الجانبية للدالة عند نقطة ما مختلفة.
انقطاع القفزة اللانهائية الحتمية : أحد الحدود الجانبية للدالة يعطي ما لا نهاية أو غير موجود.

ولإكمال فهم المفاهيم، سنشرح كل نوع من أنواع عدم الاستمرارية بمزيد من التفصيل وسنرى أمثلة على الدوال ذات الأنواع الثلاثة من انقطاعات الاتصال.

انقطاع يمكن تجنبه

الانقطاع الذي يمكن تجنبه هو نوع من الانقطاع الذي يكون له دالة عند نقطة ما إذا كان الحد موجودًا عند تلك النقطة ولكنه لا يتطابق مع قيمة الدالة أو أن صورة الدالة غير موجودة.

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a) \qquad | \qquad \displaystyle \exists\lim_{x \to a} f(x) \text{ y } \ \cancel{\exists} \ f(a)$

الحدود الجانبية لهذه الدالة متساوية مع بعضها البعض، ولكنها تختلف عن قيمة الدالة عند تلك النقطة. وبالتالي فإن الوظيفة تمثل انقطاعًا يمكن تجنبه.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad f(a)=c$

$\displaystyle \exists \lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$

الدالة في المثال السابق لها انقطاع يمكن تجنبه لأن الحدود الجانبية عند x=a لها نفس القيمة، لكن صورة الدالة عند هذه النقطة غير موجودة.

$\displaystyle \left. \begin{array}{l}\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) =b \\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to a^+} f(x)=b \end{array} \right\} \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to a} f(x)=b$

$\displaystyle \lim_{x \to a} f(x)=b \qquad \cancel{\exists} \ f(a)$

➤ انظر: الحدود الجانبية للدالة

الانقطاع الحتمي للقفزة المحدودة

انقطاع القفز المحدود الحتمي هو نوع من الانقطاع الذي يقدم دالة عند نقطة عندما تكون الحدود الجانبية للدالة عند تلك النقطة غير متساوية.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

على سبيل المثال، الحدود الجانبية للدالة التالية المحددة متعدد التعريف عند نقطة تغيير التعريف مختلفة، وبالتالي فإن الدالة لها انقطاع قفزة محدود لا مفر منه عند تلك النقطة.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=c$

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) \neq \lim_{x \to a^+} f(x)$

يظهر هذا النوع من عدم الاستمرارية عمومًا في الوظائف المحددة بالقطع (أو بالقطع).

➤ انظر: استمرارية دالة متعددة التعريف

القفزة اللانهائية انقطاع لا مفر منه

إن انقطاع القفزة اللانهائية الحتمية هو نوع من الانقطاع له وظيفة في بعض الأحيان إذا كان أحد الحدود الجانبية عند تلك النقطة لا نهائيًا أو غير موجود.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x) = \pm \infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)= \pm \infty$

الحد الأيسر للدالة التالية يعطي عددا حقيقيا، ولكن الحد الأيمن يعطي ما لا نهاية. وبالتالي فإن الوظيفة تقدم انقطاعًا لا نهائيًا للقفزة.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=b \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

يمكنك أدناه رؤية دالة بيانية يعطي حداها الجانبيان ما لا نهاية، وبالتالي فإن الدالة لها انقطاع لا نهائي في القفز.

$\displaystyle \lim_{x \to a^-} f(x)=-\infty \qquad \lim_{x \to a^+} f(x)=+\infty$

يحدث هذا النوع من الانقطاع عادةً في الدوال العقلانية (أو الكسرية) .

تمارين محلولة على أنواع الانقطاعات

التمرين 1

حدد نوع انقطاع الدالة المتعددة التعريف التالية عند النقطة x=3:

$\displaystyle f(x)= \left\{ \begin{array}{lcl} -2x+1 & \text{si} & x\leq 3 \\[2ex] 4x - 5 & \text{si} & x > 3 \end{array} \right.” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”232″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> <div class=$

انظر الحل

مجال العنصر الأول من الدالة

$-2x+1$

مثل القطعة الثانية

$4x-5$

، كلها أرقام حقيقية لأنها دوال متعددة الحدود.

إذن النقطة الوحيدة التي يمكن أن تكون الدالة عندها غير متصلة هي نقطة توقف الدالة متعددة التعريف. ولذلك سوف نقوم بحساب الحدود الجانبية في هذه المرحلة:

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=\lim_{x \to 3} (-2x+1) = -2\cdot 3+1=-5$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^+} f(x)=\lim_{x \to 3}(4x-5)=4\cdot 3-5=7$

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x) \neq \lim_{x \to 3^+} f(x)$

الحدان الجانبيان عند x=3 يعطيان نتائج مختلفة. ولذلك، فإن النقطة x=3 هي انقطاع قفزة محدود لا مفر منه.

تمرين 2

أوجد نوع الانقطاع الذي تظهره الدالة الكسرية التالية عند نقاط لا تنتمي إلى مجالها:

$f(x)= \cfrac{x^2-4}{x+2}$

انظر الحل

منطقيًا، لحل هذا التمرين، عليك أولًا إيجاد مجال الدالة. وبما أن هذه دالة عقلانية، فإننا نجعل المقام يساوي 0 ونحل المعادلة الناتجة:

$x+2=0$

$x=-2$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{-2\}$

وبالتالي فإن الدالة ستكون متصلة في جميع النقاط باستثناء x=-2، لذلك دعونا نرى ما هو نوع عدم الاتصال هو النقطة x=-2. للقيام بذلك، نحسب نهاية الدالة عند النقطة:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2} = \cfrac{ (-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{0}{0}$

لكننا نحصل على عدم تحديد صفري بين الصفر، لذلك نقوم بتحليل كثيرات حدود البسط والمقام ونبسط:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} \cfrac{x^2-4}{x+2}=\lim_{x \to -2} \cfrac{ (x-2)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x+2}} =\lim_{x \to -2} (x-2)$

الآن نحل الحد:

$\displaystyle \lim_{x \to -2} (x-2) =-2-2=-4$

وبالتالي، فإن نهاية الدالة عند النقطة x=-2 موجودة وتعطي -4. الآن دعونا نتحقق مما إذا كان موجودًا

$f(-2):$

$f(-2)=\cfrac{(-2)^2-4}{-2+2}= \cfrac{4-4}{0} = \cfrac{0}{0} \quad \bm{\longrightarrow} \quad \cancel{\exists} \ f(2)$

عند حساب صورة الدالة، لا يمكن تبسيط عدم التعيين 0/0 وليس له حل. لذا

$f(-2)$

غير موجود.

في الختام، نهاية الدالة عند x=-2 موجودة، ولكن

$f(-2)$

لا. لذلك، x=-2 هو انقطاع يمكن تجنبه.

التمرين 3

تحليل استمرارية الوظيفة العقلانية التالية:

$\displaystyle f(x)= \frac{2}{x-5}$

انظر الحل

لمعرفة ما إذا كانت دالة متصلة، علينا أولًا حساب مجالها. ولذلك، فإننا نجعل مقام الدالة الكسرية يساوي الصفر لمعرفة النقاط التي لا تنتمي إلى المجال:

$x-5=0$

$x=5$

$\text{Dom } f = \mathbb{R} - \{5\}$

وبالتالي ستكون الدالة متصلة في جميع النقاط باستثناء x=5. لذلك دعونا نرى ما هو نوع عدم الاستمرارية x=5 عن طريق حساب النهاية عند هذه النقطة:

$\displaystyle \lim_{x \to 5} \frac{2}{x-5} = \frac{2}{5-5} = \frac{2}{0} = \infty$

نجد أنفسنا مع عدم تحديد رقم مقسومًا على 0. لذلك نحسب الحدود الجانبية للدالة عند x=5:

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{-}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{4,999-5}=\frac{2}{-0}= \bm{-\infty}$

$\displaystyle \lim_{x \to 5^{+}} \frac{2}{x-5}=\frac{2}{5,001-5}=\frac{2}{+0}=\bm{+\infty}$

الحد الأيسر للدالة عند x=5 يعطي سالب ما لا نهاية والحد الأيمن يعطي زائد ما لا نهاية. ولذلك، فإن الدالة لها انقطاع لا نهائي لا مفر منه عند x = 5، حيث أن حدًا جانبيًا واحدًا على الأقل عند هذه النقطة يميل إلى اللانهاية.

التمرين 4

حدد جميع انقطاعات الدالة متعددة التعريف الموضحة في الرسم البياني التالي:

انظر الحل

لرسم الدالة يجب عليك رفع قلم الرصاص عند x=-2، عند x=1 وعند x=4. وبالتالي فإن الوظيفة متقطعة عند هذه النقاط الثلاث.

عند x=-2، حد الجانب الأيسر هو +∞ وحد الجانب الأيمن هو 3. لذا، نظرًا لأن أحد الحدود الجانبية لا نهائي، فإن الدالة لها انقطاع قفز لا نهائي لا مفر منه عند x=-2.

$\displaystyle \lim_{x \to -2^-} f(x) = +\infty \ \neq \ \lim_{x \to -2^+} f(x) = 3$

حد الدالة عند x=1 هو 0، ومن ناحية أخرى، قيمة الدالة عند x=1 تساوي 2. وبالتالي فإن الدالة تمثل انقطاعًا يمكن تجنبه عند x=1.

$\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = 0 \ \bm{\longrightarrow} \ \lim_{x \to 1} f(x) = 0$

$\displaystyle \lim_{x \to 1} f(x) = 0 \neq f(1) = 2$

عند x = 4، حد الجانب الأيسر هو -3 وحد الجانب الأيمن هو 1. لذلك، نظرًا لأن الحدين الجانبيين مختلفان ولا يعطي أي منهما ما لا نهاية، فإن الدالة لها حتماً انقطاع قفز محدود عند x =4.

$\displaystyle \lim_{x \to 4^-} f(x) = -3 \ \neq \ \lim_{x \to 4^+} f(x) = 1$

التمرين 5

أوجد جميع الخطوط المقاربة والانقطاعات للدالة الممثلة في الرسم البياني التالي:

انظر الحل

الخطوط المقاربة

الدالة قريبة جدًا من الخط الرأسي x=3 ولكنها لا تلمسه أبدًا. بالإضافة إلى ذلك، الحد الجانبي الأيسر عند x=3 هو +∞ والحد الجانبي الأيمن هو -∞. لذلك، x=3 هو خط مقارب عمودي.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

ويحدث نفس الشيء مع الخط الأفقي y=-1، حيث تقترب الدالة كثيرًا من y=-1 ولكنها لا تتجاوزه أبدًا. بالإضافة إلى ذلك، نهاية الدالة عندما تقترب x من +∞ و-∞ هي -1. لذلك، y=-1 هو خط مقارب أفقي.

$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)=-1 \qquad \lim_{x \to -\infty} f(x)=-1$

الانقطاعات

عند x=6 تمت مقاطعة الوظيفة بسبب وجود نقطة مفتوحة. الحد عندما تقترب x من 6 هو -1.4 لكن f(6)=1. وبالتالي فإن الدالة لها انقطاع يمكن تجنبه عند x=6 لأن قيمة الحد لا تتطابق مع قيمة الدالة:

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} \displaystyle \lim_{x \to 6^-} f(x)=-1,4\\[3ex] \displaystyle \lim_{x \to 6^+} f(x)=-1,4 \end{array} \right\} \bm{\longrightarrow} \lim_{x \to 6} f(x)=-1,4$

$\displaystyle\lim_{x \to 6} f(x)=-1,4 \neq f(6)=1$

عند x=-3 لا تتطابق الحدود الجانبية ولا شيء يعطي اللانهاية. وبالتالي فإن الدالة لها انقطاع قفزة محدود لا مفر منه عند x=-3.

$\displaystyle \lim_{x \to -3^-} f(x)=-2 \neq \lim_{x \to -3^+} f(x)=1$

وأخيرًا، الدالة لها انقطاع لا نهائي لا مفر منه عند x = 3، نظرًا لأن حدًا جانبيًا واحدًا على الأقل عند هذه النقطة يؤدي إلى ما لا نهاية.

$\displaystyle \lim_{x \to 3^-} f(x)=+\infty \qquad \lim_{x \to 3^+} f(x)=-\infty$

ما هي جميع أنواع الانقطاعات؟

انقطاع يمكن تجنبه

الانقطاع الحتمي للقفزة المحدودة

القفزة اللانهائية انقطاع لا مفر منه

تمارين محلولة على أنواع الانقطاعات

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

اترك تعليقاً إلغاء الرد