متعددة الحدود متجانسة

تشرح هذه الصفحة ماهية كثيرات الحدود المتجانسة. سترى أيضًا أمثلة على كثيرات الحدود المتجانسة وخصائص هذا النوع من كثيرات الحدود. وبالإضافة إلى ذلك، سوف تجد الفرق بين كثيرات الحدود المتجانسة ومتعددات الحدود غير المتجانسة.

ما هو كثير الحدود متجانسة؟

تعريف كثير الحدود المتجانس هو كما يلي:

في الرياضيات، كثيرة الحدود المتجانسة هي كثيرة الحدود التي تكون فيها جميع الحدود من نفس الدرجة.

مثال على كثيرات الحدود المتجانسة سيكون:

$P(x,y,z)=x^3+5x^2y-4xyz$

في هذه الحالة، فهي كثيرة الحدود متجانسة من الدرجة 3، لأن جميع أحاديات الحد التي تشكل جزءًا من كثيرة الحدود هي من الدرجة الثالثة.

إذا كانت لديك أي شكوك حول كيفية حساب درجة حد كثيرة الحدود المتجانسة، يمكنك الرجوع إلى صفحتنا حول ما هي أجزاء أحادية الحد ، حيث لن تجد فقط كيفية العثور على درجة أحادية الحد، ولكن أيضًا شرح جميع أجزاء أحادية الحد وكيفية التعرف عليها. بالإضافة إلى ذلك، ستتمكن من رؤية الأمثلة والتدرب على التمارين التي تم حلها خطوة بخطوة.

أمثلة على كثيرات الحدود المتجانسة

بمجرد أن رأينا ما يعنيه أن تكون كثيرة الحدود متجانسة، دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة على كثيرات الحدود المتجانسة لإنهاء فهم المفهوم:

مثال على كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة 5:

$P(x,y)=x^5+3x^2y^3-6x^4y+10xy^4$

مثال على كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة 7:

$P(x,y,z)=x^3y^4+2x^5y^2+4x^2y^2z^3-x^2y^4z$

مثال على كثيرات الحدود المتجانسة من الدرجة 13:

$P(a,b,c)=7a^6b^4c^3+2a^8b^3c^2+5a^4b^8c$

متعددة الحدود متجانسة ومتعددة الحدود غير متجانسة

تجدر الإشارة إلى أن كثيرة حدود أخرى تشبه إلى حد كبير كثيرة الحدود المتجانسة هي كثيرة الحدود غير المتجانسة، على الرغم من وجود فرق جوهري بينهما:

كثيرة الحدود غير المتجانسة هي كثيرة الحدود التي لا تحتوي جميع حدودها على نفس الدرجة.

لذلك، فقط عندما تكون درجة أحادية الحد من كثير الحدود مختلفة عن بقية العناصر، فإن كثير الحدود المذكور سيكون غير متجانس.

على سبيل المثال، كثيرة الحدود التالية غير متجانسة:

$P(x,y)=x^4+2x^3y+8x^2$

على الرغم من أن اثنين من الحدود في كثيرة الحدود من الدرجة 4 (x ⁴ ، 2x ³ y)، إلا أنها في الواقع كثيرة الحدود غير متجانسة لأنها تحتوي على حد آخر من الدرجة المختلفة (8x ² من الدرجة 2).

كما ترون، كثيرات الحدود المتجانسة وغير المتجانسة متشابهة جدًا مع بعضها البعض ويمكن الخلط بينها بسهولة، لذلك علينا أن نكون حذرين.

خصائص كثيرات الحدود المتجانسة

كثيرات الحدود المتجانسة لها الخصائص التالية

يمكن حساب عدد أحاديات الحد المتجانسة المختلفة من الدرجة M في متعدد الحدود من المتغيرات N باستخدام الصيغة التالية:

$\cfrac{(M+N-1)!}{M!(N-1)!}$

ربما ” ! » » يبدو غريباً بالنسبة لك أن يتم استخدامه في الجبر. حسنًا، يجب أن تعلم أنه يتم استخدامه للإشارة إلى عملية رياضية خاصة تسمى مضروب الرقم . يمكنك معرفة مما تتكون هذه العملية وما يتم استخدامه من أجله في الرابط السابق.

التعبير عن سلسلة تايلور الذي يتوافق مع كثيرة الحدود المتجانسة الممتدة عند النقطة x هو كما يلي:

$P(x+y)= \sum_{j=0}^n {n \choose j} \check{P} (\underbrace{x,x,\dots ,x}_{j} & \underbrace{y,y,\dots ,y}_{n-j})$

ومع ذلك، لتتمكن من تطبيق (وفهم) هذه الخاصية، عليك أن تعرف كيفية حساب التعبير

$\begin{pmatrix} n \\ j \end{pmatrix} ,$

يسمى رقم اندماجي. لذلك، إذا لم تفهم الخاصية السابقة، أنصحك بمعرفة ما هي صيغة الرقم التوافقي .

ما هو كثير الحدود متجانسة؟

أمثلة على كثيرات الحدود المتجانسة

متعددة الحدود متجانسة ومتعددة الحدود غير متجانسة

خصائص كثيرات الحدود المتجانسة

اترك تعليقاً إلغاء الرد