نظرية المجموعات هي أحد العناصر الأربعة للمنطق الرياضي . تحلل هذه النظرية تجميع العناصر من خلال دراسة صفاتها والروابط بين الأشياء التي تشكل الكل.
عندما نتحدث عن المجموعات، فإننا نشير في هذه النظرية إلى مجموعات مجردة من الهياكل التي لها خاصية مماثلة. في هذه النظرية، يتم تنفيذ عمليات مثل التقاطع والتكملة والفرق والاتحاد مع الأشياء التي تخلق الكل على هذا النحو.
وببساطة أكثر، نظرية المجموعات هي فرع من الرياضيات يعتمد على المجموعات. ولذلك، فهو يقوم بتقييم جميع خصائص كل عنصر، وكذلك الاتصالات التي تحدث بينهما.
كما أوضحنا من قبل، المجموعات ليست أكثر من مجموعات من الكائنات. أي أنها يمكن أن تكون رموزًا وكلمات وأرقامًا وأشكالًا هندسية وحروفًا وغيرها.
ما هي أنواع المجموعات الموجودة؟
اعتمادًا على عدد العناصر الموجودة في المجموعة، يتم تصنيفها بطرق مختلفة. هؤلاء هم:
- المجموعات المنتهية : هي كل المجموعات التي تحتوي على عدد مشترك من العناصر. على سبيل المثال، كل أيام الأسبوع، جميع حروف العلة، من بين أمور أخرى.
- مجموعات لا حصر لها – تحتوي على عدد لا حصر له من الكائنات. على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية.
- المجموعة العالمية : تجمع كل الأشياء التي تم أخذها بعين الاعتبار في حالة معينة. على سبيل المثال، إذا كنت تريد استخدام مجموعة أرقام حجر النرد، فالمجموعة العامة هي U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
- المجموعة الفارغة : هي المجموعة التي لا تحتوي على عناصر. على سبيل المثال، جميع أشهر السنة التي تحتوي على 27 يوما.
ما هي طرق تحديد المجموعة؟
لتعريف مجموعة ، علينا أولاً تحديد جانب مشترك لعناصر المجموعة. على سبيل المثال، المجموعة الأولى التي تحتوي على أعداد صحيحة موجبة، وأرقام زوجية أقل من 20. ستبدو كما يلي:
أ= {2، 4، 6، 8، 10، 12، 14، 16، 18}.
من هنا، يمكن استخدام طريقتين لتحديد المجموعة. يُعرف أول هذه الطرق بطريقة الترقيم أو التمديد . والثاني يسمى طريقة الوصف . في الأول، يتم سرد عناصر المجموعة بشكل محدد، بينما في الثاني، يتم بناء الخاصية التي يجب أن تستوفيها العناصر.
النظام الأول مفيد جداً لوصف المجموعات التي تحتوي على عناصر قليلة ، وإليك بعض الأمثلة:
رمي النرد العادي M= {1، 2، 3، 4، 5، 6} (محدود).
حروف العلة الموجودة في الأبجدية G= {a، e، i، o، u} (محدود).
بينما الطريقة الثانية هي أكثر عملية لتحديد المجموعات ذات عدد كبير من العناصر ، أو المجموعات اللانهائية. وبعد ذلك نعرض لك بعض الأمثلة:
جميع الأعداد الطبيعية الأصغر من 32 S = {x ∈ ℕ | س <32} (انتهى).
جميع الأعداد الطبيعية N = {x ∈ ℕ} (اللانهاية).
ما هي مجموعة الأرقام؟
في الأساس، يُعرف التصنيف الذي تندرج فيه الأرقام باسم مجموعات الأرقام . وذلك بالنسبة لخصائص كل منهم. أي، على سبيل المثال، إذا كان الرقم يحتوي على منازل عشرية أو إذا كان يحتوي على علامة سالبة.
مجموعات الأرقام هي كل الأرقام التي نحتاجها لإجراء عمليات رياضية مختلفة. ينطبق هذا في الحياة اليومية وفي السيناريوهات الأكثر تعقيدًا مثل العلوم أو الهندسة.
هذه المجموعات تأتي من إبداعات العقل البشري. ولذلك فهي تشكل في الملخص. وبعبارة أخرى، فإن الأجهزة الرقمية غير موجودة ماديا . يتم بعد ذلك تقسيم مجموعات الأرقام إلى عدة أنواع من الأرقام.
- الأعداد الطبيعية : هذه هي الأعداد التي نستخدمها جميعًا لحسابها. إنها تمتد إلى ما لا نهاية وتأخذ أجزاء صغيرة من الوحدة. رسمياً يتم التعبير عن مجموعة الأعداد الطبيعية بالحرف N وكما يلي: ℕ = {1, 2, 3 …} = ℕ \ {0}
- الأعداد الصحيحة : هذه الأعداد تشمل الأعداد الطبيعية. وكذلك جميع الأرقام التي تشغل كسورًا حذرة، ولكن أمامها إشارة سالبة. وبالمثل، يضاف الصفر أيضا. ويمكن التعبير عنها على النحو التالي: ℤ = {…، -7، -6، -5، -4، -3، -2، -1، 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، …}. في هذه المجموعة، كل رقم له ما يعادله بالإشارة المعاكسة. وبعبارة أخرى، عكس 8 هو – 8.
- الأعداد النسبية : تغطي الأعداد النسبية الأرقام التي يتم التعبير عنها كحاصل عددين صحيحين وجميع الأعداد الصحيحة. هذا يعني أنه يمكن أن يكون لديهم رقم عشري دون أي مشكلة. يمكن التعبير عن هذه المجموعة على النحو التالي: ℚ = ℤ/ℤ.
- الأعداد غير النسبية : لا يتم التعبير عن هذه الأرقام كحاصل عددين صحيحين. كما أنها غير محددة في مقطع دوري مستمر، وإن كانت تمتد إلى ما لا نهاية. من الضروري توضيح أن الأعداد غير العقلانية والعقلانية جزء من مجموعات مختلفة. وبالتالي ليس لديهم خصائص مشتركة. مثال على عدد غير نسبي هو: √123. 11.0905365064.
- الأعداد الحقيقية : تشمل هذه الأعداد أعدادًا عقلانية وغير عقلانية. وهذا يعني أن هذه المجموعة تتضمن أرقامًا من ناقص ما لا نهاية إلى ما لا نهاية.
- الأعداد التخيلية : يتم الحصول على هذه الأعداد نتيجة ضرب الوحدة التخيلية في أي عدد حقيقي. تُترجم الوحدة التخيلية إلى الجذر التربيعي لـ – 1. ولا علاقة لهذه الأرقام بالأعداد الحقيقية. يتم التعبير عنها على النحو التالي: p= r * s. في هذه الحالة: p هو عدد وهمي، r هو عدد حقيقي وs هي الوحدة التخيلية.
- الأعداد المركبة – الأعداد المركبة لها جزء وهمي وجزء حقيقي. يتم التعبير عن هيكلها على النحو التالي: v + ri. في هذه الحالة: v هو عدد حقيقي، r هو الجزء التخيلي، i هي الوحدة التخيلية
ما هو اتحاد المجموعات؟
يمكننا أن نعتبر أن اتحاد المجموعات ليس سوى عملية ثنائية يتم تنفيذها على مجموعة جميع المجموعات الداخلية لـ U. افهم من خلال العملية الثنائية ما يعتمد على العامل والوسيطين لوجود معين عملية حسابية.
وبهذا المعنى، فإن كل زوج من المجموعتين A وB يشكلان جزءًا من U يرتبط بمجموعة أخرى (AUB) من U. وبالتالي، إذا كانت A وB مجموعتين مختلفتين، يتم التعبير عن اتحاد المجموعتين على النحو التالي: A={ لويس، كارلوس}، ب={كارلا، لويزا، باولا}؛ AUB={لويس، كارلوس، كارلا، لويزا، باولا}.
ما هو تقاطع المجموعات؟
مجموعة التقاطع هي عملية مشتقة من مجموعة أخرى تحتوي على كائنات متكررة أو متكررة إلى المجموعات الأصلية. في حالة حدوث تقاطع بين المجموعات الفارغة، يتم تعريفه على أنه منفصل. وفي هذه الحالة يتم التعبير عنها على النحو التالي: S ∩ D = Ø.
الرمز ∩ في هذه العملية يستجيب للتقاطع. لفهم أفضل، دعونا نلقي نظرة على المثال التالي:
م= {أخضر، أسود، أبيض، أرجواني}.
J = {أسود، أخضر، وردي، أزرق}.
في هذه الحالة: M ∩ J = {green, black} لأن هذه هي الكائنات التي تتكرر في المجموعتين الأوليتين.
ما هو الفرق الشامل؟
فرق المجموعة هو العملية الثالثة التي تعد جزءًا من نظرية المجموعات. يتم تعريفها على أنها العملية التي تتيح الحصول على مجموعة جديدة من كائنات A غير الموجودة في B. على سبيل المثال:
أ = {4، 6، 8، 10، 12، 14}.
ب = {2، 4، 6، 8}.
لذلك يتم الحصول على فرق المجموعة من العناصر التي تشكل جزءًا من المجموعة A، ولكن ليس المجموعة B. وينتج عن ذلك {10، 12، 14}.
ما هو تكملة المجموعة؟
يتم تعريف تكملة المجموعة على أنها جميع كائنات U التي لا تشكل جزءًا من المجموعة. بمعنى آخر، هي مجموعة تحتوي على عناصر لا تشكل المجموعة الأصلية. لفهم هذا المفهوم بشكل أفضل، من الضروري معرفة الأشياء المستخدمة، أو على العكس من ذلك نوع المجموعة العالمية.
بمعنى آخر، إذا كنا نتحدث على سبيل المثال عن الأعداد الأولية ، فإن المجموعة التكميلية هي مجموعة الأعداد غير الأولية. وفي الوقت نفسه، فإن مجموعة الأعداد الأولية هي مكملة للأعداد غير الأولية.
ما هو الفرق المتماثل بين المجموعات؟
الفرق المتماثل بين المجموعات هو مجموعة تكون كائناتها جزءًا من مجموعة أولية، دون أن يكون لها أي علاقة بالمجموعتين الأخريين في نفس الوقت. إذا قمنا بمثال هذه العملية من نظرية المجموعات، فلدينا ما يلي:
{1، 2، 3} و {2، 3، 4، 6، 9، 8} = الفرق المتماثل سيكون {1، 4، 6، 9، 8}.
ما هو مخطط فين؟
الرسوم البيانية التي تشكل جزءًا من مخطط فين هي جميعها التي يتم التعبير عنها بخط مغلق متصل. وهذا يعني الأشكال البيضاوية والمثلثات والدوائر وغيرها. بشكل عام، يتم التعبير عن المجموعة الشاملة على شكل مستطيل. يتم التعبير عن باقي المجموعات هندسيًا بالدوائر أو الأشكال البيضاوية.
من المهم أن تضع في اعتبارك أن هذا المخطط لا يتضمن أي دليل رياضي. ومع ذلك، من المفيد أن يكون لديك حدس حول العلاقة بين مجموعة معينة وأخرى.
أين تنطبق نظرية المجموعات؟
مجالات تطبيق نظرية المجموعات عديدة. ويستخدم بشكل رئيسي في صياغة القواعد المنطقية الهندسية. ومع ذلك، فإن لها تطبيقات أخرى مثل الطوبولوجيا . بشكل عام، هذه النظرية ذات صلة بالعلوم والرياضيات والفيزياء والأحياء والكيمياء وحتى الهندسة.
لفهم المنطق الرياضي بشكل أفضل، من الضروري معرفة هذا العنصر جيدًا، وتعتبر نظرية المجموعات واحدة من أهمها. علاوة على ذلك، ليس لها تطبيق في الرياضيات فقط، كما وضحنا من قبل.
كيف نتحدث عن نظرية المجموعات في اللغة اليومية؟
نظرية المجموعات هي جزء أساسي من الرياضيات. ولكن هذا يتعلق أيضًا بالمناطق التي تكون أكثر يومية من العمليات. وبعبارة أخرى، فهي ليست دائما مجموعات رقمية. في اللغة التقليدية، تكون الإشارة إلى مجموعة أكثر تعقيدًا بعض الشيء.
والسبب هو أننا إذا أردنا أن نشكل مجموعة من أهم الرسامين مثلاً، فستتنوع التصورات. ولذلك فإن الإجماع يكاد يكون مستحيلا . باختصار، ليس من السهل تحديد من هو أو لا ينتمي إلى المجموعة بناءً على صفاتهم.
بعض هذه المجموعات المعينة هي تلك التي تم تعريفها على أنها مجموعات فارغة أو لا تحتوي على عناصر. بالإضافة إلى ذلك، يمكننا أن نتعامل مع مجموعات من عنصر واحد أو وحدات واحدة.
ما هو تاريخ نظرية المجموعات؟
نشأت نظرية المجموعات نتيجة لأبحاث الألماني جورج كانتور . كانت هذه الشخصية عالم رياضيات مشهور. وفي الواقع، فهو يُعرف حتى يومنا هذا بأنه أبو هذه النظرية. من بين التحقيقات الأكثر صلة بالباحثين هي المجموعات العددية واللانهائية.
كان أول بحث كانتور يتعلق بنظرية المجموعات في عام 1874. بالإضافة إلى ذلك، من المهم الإشارة إلى أن عمله ظل مرتبطًا بأبحاث ريتشارد ديديكيند ، وهو عالم رياضيات مهم في ذلك الوقت. وحتى الأخير لعب دورًا أساسيًا في دراسة الأعداد الطبيعية.
ما مدى أهمية نظرية المجموعة؟
ودراسة هذه النظرية ضرورية لتحليل الاحتمالات ، والرياضيات في كل ما يتعلق بها، والإحصاء. تُستخدم كل العمليات التي تشكل جزءًا من هذه النظرية لإجراء تجارب من أجل الحصول على نتيجة محددة.
تتعلق الإجابات دائمًا بالظروف التي تُجرى فيها التجربة. ولهذا السبب، تلعب المجموعات دورًا أساسيًا في هذا النوع من الأبحاث .