من الناحية الاشتقاقية، تأتي الكواترنيونات أو الكواترنيونات من الكلمة اللاتينية quaterni . في الإسبانية، تُترجم الكلمة إلى “بأربعة”. إلا أن تفسيرها يعني “عدد العناصر الأربعة”.
الرباعيات هي عناصر من حقل غير متبدل تم إنشاؤه في البداية بواسطة ويليام روان هاميلتون. يتم تعريف Quaternions على أنها امتداد للأعداد الحقيقية التي تشكل رقمًا فائق التعقيد. في الواقع، فهي تشبه إلى حد كبيرالأعداد المركبة .
وهذا يعني أن الكواترنيونات تحدث بسبب التضخيم الناتج بشكل قياسى. من ناحية أخرى، يتم إنتاج الأعداد المركبة كامتداد للأعداد الحقيقية من خلال مجموع الوحدة التخيلية i ، لذا i تربيع يساوي -1. في الحالة الأولى، يتم إضافة الوحدات التخيلية k و i و j إلى الأعداد الحقيقية.
لذلك، فيما يتعلق بالكواتيرنيونات، لدينا ما يلي: i 2 = j 2 = k 2 = ijk = -1. يتوافق هذا التمثيل مع تلك المرتبة في جدول كايلي . في هذه المرحلة، تجدر الإشارة إلى أن i و j و k و 1 هي الركائز الأساسية الأربعة للكواتيرنيونات.
| × | 1 | يو | ي | ماذا |
| 1 | 1 | يو | ي | ماذا |
| يو | يو | -1 | ماذا | -ي |
| ي | ي | -ك | -1 | يو |
| ماذا | ماذا | ي | -يو | -1 |
اخترع ويليام هاميلتون الكواترنيونات في عام 1843 كوسيلة سمحت له بضرب المتجهات وتقسيمها، وتدويرها، وتمديدها.
كيف يتم صنع الكواترنيونات؟
تشكل الرباعيات جبرًا جميلًا يحتوي كل كائن فيه على 4 متغيرات . في الواقع، تسمى أحيانًا بارامترات أويلر والتي لا ينبغي الخلط بينها وبين زوايا أويلر. ويمكن جمع هذه العناصر وضربها كوحدة واحدة بطريقة مشابهة لجبر الأعداد العادية.
و مع ذلك، هناك إختلاف. من الناحية الرياضية، ضرب الكواترنيون ليس عملية تبادلية.
الرباعيات لها 4 أبعاد. يتكون كل رباعي من 4 أرقام قياسية ، وبعد حقيقي و3 أبعاد خيالية. كل من هذه الأبعاد التخيلية له قيمة وحدة للجذر التربيعي لـ -1. ومع ذلك، فهذه جذور تربيعية مختلفة للعدد -1، كلها متعامدة مع بعضها البعض، تسمى i و j و k . وبالتالي يمكن تمثيل الرباعي على النحو التالي:
x = (a, b, c, d) وهو مكتوب x = a + bi + cj + dk
وبناءً على ذلك، تمثل a وb وc وd أرقامًا حقيقية محددة بشكل لا لبس فيه بواسطة كل كواترنيون. من ناحية أخرى، الأرقام 1، i ، j و k أساسية. إذا أردنا تمثيل الكواترنيونات باستخدام مجموعة، فيمكننا القيام بما يلي: بافتراض أن IR 4 يمثل المجموعة، فإن التعبير هو: IR4= {a + bi + cj + dk: a, b, c, d ∈ IR}
تتوافق هذه المجموعة مع الفضاء الحقيقي رباعي الأبعاد. كما أن مجموعة الأعداد الحقيقية تتوافق مع الفضاء الموجود في بعد واحد، ومجموعة الأعداد المركبة تتوافق مع الفضاء الموجود في بعدين.
ما هو البناء الجبري للكواتيرنيونات؟
يوضح الرباعي جسمًا غير منتظم . وهذا يعني أنها بنية جبرية مشابهة للمجال. ومع ذلك، فهي ليست تبادلية في الضرب. وبعبارة أخرى، فهو يفي بجميع صفات الجسم، ولكن نتيجته ليست تبادلية.
الضرب الرباعي هو ترابطي. بالإضافة إلى ذلك، كل كواترنيون غير صفري له معكوس فريد . لا تشكل الرباعيات جبرًا ترابطيًا مقارنة بالأعداد المركبة.
أخيرًا، بنفس الطريقة التي تمثل بها الأعداد المركبة والأعداد الحقيقية أبعاد المتجهات الإقليدية للوحدة أو المساحات المزدوجة، فإن الكواترنيونات تنشئ منطقة متجهة إقليدية رباعية الأبعاد.
كيف يتم تمثيل الكواترنيونات في المصفوفات؟
تعتبر تمثيلات المصفوفة أيضًا من سمات الكواترنيونات. في هذه الحالة، يتم تطبيق المصفوفات الرياضية للتعبير عنها. على سبيل المثال، إذا كان لدينا الكواترنيون p = a + bi + cj + dk فمن الممكن تمثيله في مصفوفة معقدة 2 × 2 كما يلي:
هناك طريقة أخرى لاستخدام تمثيلات المصفوفات في الكواترنيونات وهي استخدام مصفوفات حقيقية 4 × 4 . بالإضافة إلى ذلك، باستخدام المصفوفات لتمثيل الكواترنيونات، من الممكن التعبير عنها كناتج داخلي لمتجهين. وبالتالي، سيكون أحد المكونين: = (a1, a2, a3, a4) والآخر {1, i, j, k }.
في هذه الحالة، تتم كتابة العنصر a 1 الذي يولد المكون الحقيقي بشكل منفصل. علاوة على ذلك، بالنسبة للمنتج العددي، يتم أخذ القواعد الثلاثة i، j، k فقط بعين الاعتبار:
س = (a1، أ) = (a1، a2، a3، a4)
ما هي العمليات الأساسية التي يمكن القيام بها مع الكواترنيونات؟
لجمع والحصول على منتج بين كواترنيون وآخر، يتم تطبيق حساب الأعداد المركبة. يعمل هذا بنفس الطريقة كما في حالة مجموعة IR 4 السابقة . وهذا يعني أن المجموعة المذكورة بالإضافة إلى بقية العمليات تعوض عن جميع صفات الجسم. الأهمية الوحيدة في هذه الحالة هي أن المنتج لا يتنقل.
وفي حالة الإضافة، يتم تنفيذها فصلاً بعد فصل. على أية حال، فهو يعمل بنفس الطريقة التي تعمل بها الأعداد المركبة. هذا لأقول:
(a1 + b1i + c1j + d1k) + (a2 + b2i + c2j + d2k) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i + (c1 + c2)j + (d1 + d2)ك.
بالنسبة للمنتج، يتم تطبيقه من مكون إلى مكون . ووفقا لهذا، يبدو الأمر كما يلي:
أب = (a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)i + (a1b3 – a2b4 + a3b1 – a4b2)ي + (a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b3)ك
وكما أشرنا سابقًا، فإن حاصل ضرب الكواترنيونات ليس تبادليًا أبدًا. على العكس من ذلك، فهو دائما النقابي . يمكن تنفيذ العمليات الموضحة مسبقًا عن طريق استبدال التمثيلات.
ما هي تطبيقات الكواترنيونات؟
إن الكواترنيون يذهب إلى ما هو أبعد من التحقيق الرياضي. حاليا لديهم تطبيقات مختلفة. أولاً، يتم استخدامها للتحقق من الإجابات في نظرية الأعداد . مثال على ذلك هو نظرية لاغرانج التي تنص على أنه يتم التعبير عن أي عدد طبيعي كمجموع 4 مربعات كاملة.
ومن ناحية أخرى، فإن لها تطبيقات في مجال الفيزياء. تعتبر الرباعيات مفيدة جدًا لميكانيكا الكم والكهرومغناطيسية وغير ذلك الكثير.