حساب رتبة المصفوفة بواسطة المحددات

في هذه الصفحة سترى ما هو وكيفية حساب مدى المصفوفة بواسطة المحددات. بالإضافة إلى ذلك، ستجد أمثلة وتمارين محلولة لتتعلم كيفية العثور على مدى المصفوفة بسهولة. بالإضافة إلى ذلك، سترى أيضًا خصائص نطاق المصفوفة.

ما هي رتبة المصفوفة؟

تعريف نطاق المصفوفة هو:

رتبة المصفوفة هي ترتيب أكبر مصفوفة فرعية مربعة يختلف محددها عن 0.

في هذه الصفحة، سوف نتعرف على مدى المصفوفة بطريقة المحددات، ولكن يمكن أيضًا تحديد مدى المصفوفة بالطريقة الغوسية، على الرغم من أنها أبطأ وأكثر تعقيدًا.

بمجرد أن نعرف مدى المصفوفة، سنرى كيفية إيجاد مدى المصفوفة باستخدام المحددات. لكن ضع في اعتبارك أنه لإيجاد مدى المصفوفة، عليك أولاً معرفة كيفية حساب المحددات 3×3 .

كيفية معرفة مدى المصفوفة؟ مثال:

احسب مدى المصفوفة التالية ذات البعد 3×4:

$\displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{array} \right)$

سنبدأ دائمًا بمحاولة معرفة ما إذا كانت المصفوفة لها أعلى رتبة عن طريق حل أكبر محدد للترتيب. وإذا كان محدد هذا الترتيب يساوي 0، فسنستمر في اختبار المحددات ذات الترتيب الأدنى حتى نجد محددًا آخر غير 0.

في هذه الحالة، فهي مصفوفة البعد 3 × 4. وبالتالي سيكون على الأكثر من الرتبة 3 ، حيث لا يمكننا إنشاء أي محدد من الرتبة 4. لذلك نأخذ أي مصفوفة فرعية 3×3 ونرى ما إذا كان محددها هو 0. على سبيل المثال، نحل محدد الأعمدة الثلاثة الأولى باستخدام قاعدة ساروس:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & 4 \\[1.1ex] 0 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 7 \end{vmatrix} = 14 + 9 + 0 - 24 + 1 - 0 = \bm{0}$

محدد الأعمدة 1 و2 و3 هو 0. يجب علينا الآن تجربة محدد آخر، على سبيل المثال محدد الأعمدة 1 و2 و4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & 4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &\cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}& & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 & 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\[1.1ex] 0 & 2 & -1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} = 4 -9 + 0 + 6-1 - 0 = \bm{0}$

لقد أعطتنا أيضًا 0. لذلك نواصل اختبار محددات الترتيب 3 لمعرفة ما إذا كان هناك أي محددات أخرى غير 0. نقوم الآن باختبار المحدد المكون من الأعمدة 1 و3 و4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 &2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex]\cellcolor[HTML]{ABEBC6} 3 & -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 4 & -1 \\[1.1ex] 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 2 -12+0 +3 +7- 0 = \bm{0}$

من بين محددات الترتيب 3، ما عليك سوى تجربة المحدد المكون من الأعمدة 2 و3 و4:

$\left( \begin{tabular}{cccc}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}4 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}-1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 \\ & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} &\cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} \\[-2ex] 3 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} -1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} 7 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 3 & 4 & -1 \\[1.1ex] 2 & 1 & -1 \\[1.1ex] -1 & 7 & 2 \end{vmatrix} = 6+4-14-1+21-16 = \bm{0}$

لقد جربنا بالفعل جميع المحددات 3×3 الممكنة للمصفوفة A، وبما أن أيا منها لا يختلف عن 0، فإن المصفوفة ليست من المرتبة 3 . لذلك، على الأكثر سيكون في المرتبة 2.

$\displaystyle rg(A) < 3$

سنرى الآن ما إذا كانت المصفوفة من الرتبة 2. للقيام بذلك، يجب علينا العثور على مصفوفة فرعية مربعة من الرتبة 2 يختلف محددها عن 0. سنجرب المصفوفة الفرعية 2×2 في الزاوية اليسرى العليا:

$\left( \begin{tabular}{cccc}\cellcolor[HTML]{ABEBC6}1 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}3 & 4 & -1 \\ \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & \cellcolor[HTML]{ABEBC6} & & \\[-2ex] \cellcolor[HTML]{ABEBC6}0 & \cellcolor[HTML]{ABEBC6}2 & 1 & -1 & & & \\[-2ex] 3 & -1 & 7 & 2 \end{tabular} \right)$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & 3 \\[1.1ex] 0 & 2 \end{vmatrix} = 2-0 = 2 \bm{ \neq 0}$

لقد وجدنا محددًا من الرتبة 2 يختلف عن 0 داخل المصفوفة. وبالتالي فإن المصفوفة من المرتبة 2:

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

حل مشاكل نطاق المصفوفة

التمرين 1

حدد رتبة المصفوفة 2×2 التالية:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{pmatrix}$

انظر الحل

نحسب أولاً محدد المصفوفة بأكملها:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\[1.1ex] 5 & 6 \end{vmatrix} = 18-5 = 13 \bm{\neq 0}$

لقد وجدنا أن محدد الرتبة 2 يختلف عن 0. وبالتالي فإن المصفوفة من الرتبة 2.

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

تمرين 2

أوجد مدى المصفوفة التالية ذات البعد 2 × 2:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{pmatrix}$

انظر الحل

أولاً، نقوم بحل محدد المصفوفة بأكملها:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2 & 3 \\[1.1ex] 4 & 6 \end{vmatrix} = 12-12 \bm{=0}$

المحدد الوحيد الممكن 2×2 يعطي 0، وبالتالي فإن المصفوفة ليست من الرتبة 2.

لكن داخل المصفوفة هناك محددات 1×1 غير 0، على سبيل المثال:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 \end{vmatrix} = 2 \bm{\neq 0}$

وبالتالي فإن المصفوفة من المرتبة 1.

$\displaystyle \bm{rg(A)=1}$

التمرين 3

ما مدى المصفوفة المربعة التالية 3×3؟

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{pmatrix}$

انظر الحل

أولاً، يتم حساب محدد المصفوفة بأكملها باستخدام قاعدة ساروس:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & -3 & 2 \\[1.1ex] 2 & 1 & 4 \\[1.1ex] 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2-12+16-2-16+12 \bm{=0}$

المحدد الوحيد الممكن 3×3 يعطي 0، وبالتالي فإن المصفوفة ليست من الرتبة 3.

لكن داخل المصفوفة هناك محددات من الرتبة 2 غير 0، على سبيل المثال:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 +6 = 7 \bm{\neq 0}$

ولذلك فإن المصفوفة من الرتبة 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

التمرين 4

احسب رتبة المصفوفة التالية من الرتبة 3:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{pmatrix}$

انظر الحل

أولاً، يتم حل محدد المصفوفة بأكملها بقاعدة ساروس:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 3 & -1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & 3 \\[1.1ex] 2 & 5 & 2 \end{vmatrix} = -12-6+20+4-45+8 = -31\bm{ \neq0}$

يتم تقييم محدد المصفوفة بأكملها إلى شيء آخر غير 0. لذلك، فإن المصفوفة لها رتبة قصوى، أي الرتبة 3.

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

التمرين 5

ما رتبة المصفوفة التالية من الرتبة 3؟

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{pmatrix}$

انظر الحل

أولاً، يتم حساب محدد المصفوفة بأكملها باستخدام قاعدة ساروس:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}2 & 5 & -1 \\[1.1ex] 3 & -2 & -4 \\[1.1ex] 5 & 3 & -5 \end{vmatrix} =20-100-9-10+24+75 \bm{= 0}$

المحدد الوحيد الممكن 3×3 يعطي 0، وبالتالي فإن المصفوفة ليست من الرتبة 3.

لكن داخل المصفوفة هناك محددات 2 × 2 غير 0، مثل:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 5 \\[1.1ex] 3 & -2 \end{vmatrix} = -4-15 = -19\bm{\neq 0}$

وبالتالي فإن المصفوفة من الرتبة 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

التمرين 6

أوجد مدى المصفوفة التالية 3×4:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 3 & 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 & 3 \end{pmatrix}$

انظر الحل

لا يمكن أن تكون المصفوفة من المرتبة 4، لأننا لا نستطيع تكوين محددات 4×4. لذلك دعونا نرى ما إذا كان من المرتبة 3 عن طريق حساب المحددات 3 × 3:

$\displaystyle \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}= \begin{vmatrix}3 & 2 & -4 \\[1.1ex] 2 & -2 & -3 \\[1.1ex] 5 & 0 & -7 \end{vmatrix} =42-30+0-40-0+28 \bm{= 0}$

محدد الأعمدة الثلاثة الأولى يعطي 0. ومع ذلك، فإن محدد الأعمدة الثلاثة الأخيرة يعطي شيئًا آخر غير 0:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & -4 & 1 \\[1.1ex] -2 & -3 & 5 \\[1.1ex] 0 & -7 & 3 \end{vmatrix} = -18+0+14-0+70-24 = 42 \bm{\neq 0}$

لذلك، بما أن هناك مصفوفة فرعية من الرتبة 3 يختلف محددها عن 0، فإن المصفوفة من الرتبة 3 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

التمرين 7

احسب مدى المصفوفة التالية 4×3:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{pmatrix}$

انظر الحل

لا يمكن أن تكون المصفوفة من المرتبة 4، لأننا لا نستطيع حل أي محدد 4×4. لذلك دعونا نرى ما إذا كان من المرتبة 3 عن طريق القيام بكل المحددات 3×3 الممكنة:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 & -2 \\[1.1ex] 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 4 & -5 \\[1.1ex] 5 & -2 & -9 \\[1.1ex] -2 & -7 & 3\end{vmatrix} \bm{= 0}$

بما أن جميع المحددات 3×3 الممكنة تعطي 0، فإن المصفوفة ليست من المرتبة 3 أيضًا. نحاول الآن استخدام المحددات 2×2:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 1 & -3 \\[1.1ex] 3 & 4 \end{vmatrix} =13 \bm{\neq 0}$

بما أنه يوجد داخل المصفوفة A مصفوفة فرعية من الرتبة 2 يختلف محددها عن 0، فإن المصفوفة من الرتبة 2 .

$\displaystyle \bm{rg(A)=2}$

التمرين 8

أوجد مدى المصفوفة التالية 4 × 4:

$\displaystyle A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4\end{pmatrix}$

انظر الحل

يجب علينا حل محدد المصفوفة بأكملها لمعرفة ما إذا كانت من المرتبة الرابعة.

ولحل المحدد 4×4، يجب عليك أولاً إجراء عمليات على الصفوف لتحويل جميع العناصر الموجودة في العمود باستثناء عنصر واحد إلى صفر:

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 3 & 2 & -4 \end{vmatrix} \begin{matrix} \\[1.1ex] \\[1.1ex]\xrightarrow{f_3 + 2f_2} \\[1.1ex] \xrightarrow{f_4 - 3f_2} \end{matrix} \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}$

نقوم الآن بحساب المحدد بواسطة النواب:

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 & -1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 0 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & 0 & -1 & -1 \end{vmatrix} \displaystyle = 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} +1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +0\bm{\cdot} \text{Adj(0)} + 0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}$

نحن نبسط الشروط:

$=\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}+1\bm{\cdot} \text{Adj(1)} +\cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}} + \cancel{0\bm{\cdot} \text{Adj(0)}}$

$= \text{Adj(1)}$

نحسب المجاورة لـ 1:

$\displaystyle = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix}2 & 1 & -1 \\[1.1ex] 10 & 1 & 1 \\[1.1ex] -10 & -1 & -1\end{vmatrix}$

وأخيرًا، نحسب المحدد 3×3 باستخدام قاعدة ساروس والآلة الحاسبة:

$\displaystyle = (-1)^{4} \cdot \bigl[-2-10+10-10+2+10 \bigr]$

$\displaystyle = 1 \cdot \bigl[0 \bigr]$

$\displaystyle = \bm{0}$

المحدد 4×4 للمصفوفة بأكملها يعطي 0، لذلك لن تكون المصفوفة A من الرتبة 4. والآن دعونا نرى ما إذا كان لديها محدد 3×3 غير 0 بداخلها:

$\displaystyle \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\[1.1ex] 3 & 1 & 1 \\[1.1ex] 4 & -2 & -1 \end{vmatrix} = -2+0-6-4+4-0=8 \bm{\neq 0}$

وبالتالي فإن المصفوفة A هي في المرتبة 3:

$\displaystyle \bm{rg(A)=3}$

خصائص نطاق المصفوفة

لا يتم تعديل النطاق إذا قمنا بحذف صف مليء بالأصفار، إما عمودًا أو صفًا مليئًا بالصفر.

مدى المصفوفة لا يتغير إذا غيرنا ترتيب صفين متوازيين، سواء كانوا صفوفًا أم أعمدة.

رتبة المصفوفة هي نفس رتبة تبديلها.

إذا قمت بضرب صف أو عمود برقم غير 0، فلن يتغير ترتيب المصفوفة.

لا يتغير نطاق الصبغة عندما نحذف خطًا (صف أو عمود) يمثل مجموعة خطية من الخطوط الأخرى الموازية له.

لا يتغير نطاق المصفوفة إذا أضفنا صفوفًا أخرى موازية لأي من الصفوف (الصفوف أو الأعمدة) مضروبة في أي رقم. ولهذا السبب يمكن أيضًا حساب رتبة المصفوفة بالطريقة الغوسية.

ما هي رتبة المصفوفة؟

كيفية معرفة مدى المصفوفة؟ مثال:

حل مشاكل نطاق المصفوفة

التمرين 1

تمرين 2

التمرين 3

التمرين 4

التمرين 5

التمرين 6

التمرين 7

التمرين 8

خصائص نطاق المصفوفة

اترك تعليقاً إلغاء الرد