ما هو الوسط الحسابي وكيف يتم حسابه؟ المتوسط هو قيمة عددية يتم الحصول عليها عن طريق إضافة مجموعة معينة من الأرقام وتقسيم النتيجة على عدد القيم. على سبيل المثال، إذا أردنا حساب الوسط الحسابي للبيانات 2 و4 و1 و6، فعلينا إجراء العملية الحسابية التالية: (2 + 4 + 1 + 5) / 4 = 3. لاحقًا في هذه المقالة سنقوم سوف يشرح بمزيد من التفصيل كيفية العثور على متوسط مجموعة من الأرقام. بالإضافة إلى ذلك، سيكون تحت تصرفك حاسبة المتوسط الحسابي التالية، حتى تتمكن من التحقق مما إذا كانت نتائجك صحيحة.
آلة حاسبة للمتوسط على الإنترنت
إذا كنت تريد حساب متوسط سلسلة من الأرقام، فيمكنك استخدام حاسبة المتوسط الحسابي المتوفرة عبر الإنترنت ، والتي يمكنك من خلالها التحقق من نتائج تمارينك ومعرفة ما إذا كنت قد قمت بحلها بشكل صحيح. استخدامه بسيط للغاية، حيث أن كل ما عليك فعله هو إدخال الأرقام التي تشكل المجموعة (مفصولة بفواصل) ثم يجب عليك النقر على زر الحساب. تذكر إدخال الأرقام العشرية بنقطة (وليس فاصلة).
كيفية حساب المتوسط الحسابي؟
هناك صيغة للوسط الحسابي تسمح لنا بحسابه على أساس أي سلسلة أو مجموعة من الأرقام:
على سبيل المثال، إذا كنت تريد حساب متوسط مجموعة من الأرقام [1، 4، 7، 2، 5، 10]، فما عليك سوى جمعها معًا وتقسيم تلك النتيجة على عدد القيم التي أضفتها سابقًا: ( 1 + 4 + 7 + 3 + 5 + 10) / 6 = 5. رغم أننا سنحتاج أحيانًا إلى حساب الوسط الحسابي للقيم فيالجدول التكراري . في هذه الحالات يجب علينا تطبيق نفس الصيغة، ولكن بضرب كل رقم بعدد مرات ظهوره ( تكراره المطلق ) ومساواة N بمجموع التكرارات المطلقة. على سبيل المثال، (1 × 4 + 3 × 2 + 5 × 4) / (4 + 2 + 4) = 3.
يمكننا أيضًا التعبير عن هذه الصيغة كمجموع N مع الأساس i (Σ i N ) ثم مقسومًا على N. هذا التعبير الأخير هو طريقة أخرى لقول نفس الشيء كما في الصورة أعلاه. على الرغم من أن هذا عادة ما يكون موجودًا بشكل أكبر في كتب الرياضيات المدرسية، إلا أنه من المهم معرفة ذلك.
خصائص الوسط الحسابي
- مجموع الانحرافات: مجموع انحرافات جميع البيانات عن متوسط الكل يساوي صفر، ومن هذه الخاصية يمكننا استنتاج الصيغة التالية Σ(X i - x̄) = 0.
- مجموع مربعات الانحرافات: عندما نجمع مربعات انحرافات كافة البيانات عن الوسط الحسابي، نحصل على الحد الأدنى من القيمة العددية. ثم Σ(X i - x̄) 2 ≥ Σ(X i - a) 2 , أ ∈ ℝ.
- الوسط الحسابي المكافئ: إذا أضفنا قيمة x إلى جميع القيم التي تشكل المجموعة العددية، فإن متوسط هذه الأرقام سيكون مساوياً لمجموع الوسط الحسابي السابق والرقم الذي تم إضافته: x̄ = x̄ 0 + لديه. يحدث هذا أيضًا في حالة المنتج.
تطبيقات المتوسط
بشكل عام، نستخدم هذا المورد الرياضي لحساب قيمة تمثيلية لمجموعتنا ، والتي من خلالها يمكننا أن نفهم بطريقة مبسطة سلوك المجموعة العددية. على سبيل المثال، حساب متوسط درجة الفصل، وبهذه الطريقة يمكننا معرفة النتيجة التي تشير إلى إجمالي عدد الطلاب. نستخدم أيضًا المتوسط في التجارب العلمية لأننا سنحتاج غالبًا إلى جمع نتائج متعددة ومتوسطها للحصول على نتيجة أكثر دقة.
المتوسط الحسابي للمسائل التي تم حلها
بعد ذلك، سنقدم لك بعض التمارين على الأنواع الثلاثة الرئيسية للمتوسط الحسابي، تذكر أنه يتم حلها جميعًا بالطرق الموضحة في هذه المقالة . وإذا كنت ترغب في ذلك، يمكنك القيام بالجزء الرقمي (الحسابات) باستخدام الآلة الحاسبة أعلاه وبواسطة الآلة الحاسبة الخاصة بنا على الإنترنت . ومع ذلك، نسمح لك بالتدرب على:
الوسائل الحسابية الأساسية
حساب الوسط الحسابي لمجموعة البيانات التالية [2، 5، 3، 7، 6، 1]. بمجرد الانتهاء من ذلك، ستحتاج إلى حساب متوسط نفس مجموعة الأرقام، ولكن كلها مضروبة في 2:
لحل القسم الأول، سيتعين علينا ببساطة استخدام الصيغة التي علقنا عليها قليلًا أعلاه: x̄ = (2 + 5 + 3 + 7 + 6 + 1) / 6 = 4. ولحساب المتوسط في القسم الثاني، سيتعين علينا إجراء نفس العملية الحسابية ولكن بضرب كل رقم في 2: (2 × 2 + 5 × 2 + 3 × 2 + 7 × 2 + 6 × 2 + 1 × 2) / 6 = 8. كما نرى، وتكون نتيجة المتوسط مضاعفا في الحالة الثانية، وهو ما كان متوقعا لأنه تم التحقق من خاصية المنتج المكافئ.
المتوسط الحسابي للبيانات المجمعة
درجات الرياضيات لخمسة عشر طالبًا هي: 5، 8، 7، 4، 9، 3، 6، 8، 7، 8، 9، 7، 5، 8، 8. احسب متوسط الفصل:
في هذه الحالة سيتعين علينا حساب عدد المرات التي يظهر فيها كل رقم في القائمة، ثم سنحل العملية الحسابية باستخدام صيغة الوسط الحسابي المطبقة على البيانات المجمعة (الصيغة التي يتدخل فيها التكرار المطلق): x̄ = (3 x 1 + 4x1 + 5x2 + 6x1 + 7x3 + 8x5 + 9x2) / 15 = 6.8. في الختام، يمكننا أن نرى أنه على الرغم من بعض الدرجات العالية، إلا أن القيم المنخفضة لها تأثير سلبي للغاية على المتوسط العام.
الحساب من المتوسط المعلوم
إذا علمنا أن متوسط رقمين هو 9.25 وأحد الرقمين هو 6، فماذا سيكون الرقم الثاني؟
لحساب القيمة الثانية، سنحتاج إلى إنشاء معادلة بناءً على الصيغة التي استخدمناها طوال الوقت في التمارين: (6 + x) / 2 = 9.25. وأخيراً سنقوم بعزل x وسنحصل على قيمته العددية التي تعادل قيمة الرقم الثاني. في هذه الحالة س = 12.5.