احسب محدد مصفوفة 3×3 باستخدام قاعدة ساروس

في هذه الصفحة سوف تتعلم ما هو محدد المصفوفة المربعة 3×3. سترى كيفية حل محددات الترتيب 3 باستخدام قاعدة ساروس. وبالإضافة إلى ذلك، لديك أمثلة وتمارين تم حلها خطوة بخطوة، حتى تتمكن من التدرب عليها وفهمها بشكل مثالي.

ما هو محدد المصفوفة 3×3؟

محدد الرتبة 3 هو مصفوفة البعد 3×3 ممثلة بشريط رأسي على كل جانب من المصفوفة. على سبيل المثال، إذا كان لدينا المصفوفة التالية:

\displaystyle A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{pmatrix}

يتم تمثيل محدد المصفوفة A على النحو التالي:

\displaystyle \lvert A \rvert = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 4 \\[1.1ex] 3 & -1 & 5 \\[1.1ex] 1 & 6 & -2 \end{vmatrix}

كما رأيت، فإن كتابة محدد مصفوفة مربعة من الرتبة 3 أمر سهل. الآن دعونا نرى كيفية حلها:

كيفية حساب محدد الطلب 3؟

لإنشاء محددات المصفوفات 3×3 عليك تطبيق قاعدة ساروس :

حكم ساروس

تنص قاعدة ساروس على أنه لحساب محدد الرتبة 3، يجب أن نجمع حاصل ضرب عناصر القطر الأكبر وحاصل أقطاره المتوازية مع رءوسها المقابلة المقابلة، ثم نطرح حاصل ضرب عناصر القطر الأصغر و حاصل ضرب قطريها المتوازيين في رءوسهما المقابلة لها.

إذا تمت كتابتها بهذه الطريقة، فقد يكون من الصعب فهمها بعض الشيء، ولكن انظر إلى كيفية إجراء حساب محددات 3×3 باستخدام الرسم البياني والأمثلة التالية:

أمثلة على محددات 3×3:

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\[1.1ex] -1 & 1 & 0 \\[1.1ex] -2 & 4 & 1 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2) + (-1) \cdot 4 \cdot 3 - (-2) \cdot 1 \cdot 3 - 4 \cdot 0 \cdot 2- (-1) \cdot 1 \cdot 1 \\ & = 2 + 0 -12 +6 - 0 +1 \\[2ex] & = \bm{-3} \end{aligned}

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\[1.1ex] 3 & 2 & 1 \\[1.1ex] 4 & -3 & -1 \end{vmatrix} & = 1\cdot 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 \cdot 4 +3 \cdot (-3) \cdot 2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 - (-3) \cdot 1 \cdot 1- 3 \cdot 0 \cdot (-1) \\ & = -2 +0 -18 - 16 +3- 0 \\[2ex] & = \bm{-33} \end{aligned}

حل مسائل محددات المصفوفات 3 × 3

التمرين 1

حل المحدد 3×3 التالي:

مثال ملموس لمحدد مصفوفة 3x3

لحل محدد مصفوفة 3×3 يجب علينا تطبيق قاعدة ساروس:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\[1.1ex] 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 2 & 0 & 4 \end{vmatrix} & = 2 \cdot 1 \cdot 4 + 1 \cdot (-1) \cdot 2 + 3 \cdot 0 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \cdot 0 - 0 \cdot (-1) \cdot 2- 3 \cdot 1 \cdot 4 \\ & = 8 -2 +0 -0- 0-12 \\[2ex] & = \bm{-6} \end{aligned}

تمرين 2

احسب المحدد التالي للترتيب 3:

تمرين تم حله خطوة بخطوة لمحدد مصفوفة 3×3

لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة، يجب علينا استخدام قاعدة ساروس:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 1 & -2 & 1 \\[1.1ex] 4 & 2 & 1 \\[1.1ex] 3 & -1 & 2 \end{vmatrix} & = 1 \cdot 2 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-1) \cdot 1 - 3 \cdot 2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1 \cdot 1 - 4 \cdot (-2) \cdot 2 \\ & = 4 -6 -4 -6+1+16 \\[2ex] & = \bm{5} \end{aligned}


التمرين 3

أوجد حل محدد المصفوفة 3×3 التالية:

تمارين محلولة خطوة بخطوة لمحددات المصفوفات 3x3

لتحديد مصفوفة 3×3، يجب علينا استخدام قاعدة ساروس:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix}1 & 3 & -2 \\[1.1ex] 2 & -3 & 4 \\[1.1ex] -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} & = \\ & = 1 \cdot (-3) \cdot 5 + 3 \cdot 4 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 \cdot (-2) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - (-1) \cdot (-3) \cdot (-2) - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \\[2.5ex] & = -15 -12 -8 +6-8-30 \\[2.5ex] & = \bm{-67} \end{aligned}

التمرين 4

أوجد حل محدد المصفوفة من الرتبة الثالثة التالية:

حل تمرين محدد مصفوفة 3x3

لإيجاد حل محدد مصفوفة 3×3 يجب علينا تطبيق صيغة ساروس:

\displaystyle\begin{aligned} \begin{vmatrix} 3 & 1 & -1 \\[1.1ex] 6 & 1 & -2 \\[1.1ex] 4 & -3 & 2 \end{vmatrix} & = \\ & = 3 \cdot 1 \cdot 2 + 1 \cdot (-2) \cdot 4 + 6 \cdot (-3) \cdot (-1) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) - (-3) \cdot (-2) \cdot 3 - 6 \cdot 1 \cdot 2 \\[2.5ex] & =6 -8 +18 +4-18-12 \\[2.5ex] & = \bm{-10} \end{aligned}

التمرين 5

أوجد قيمة

a

والذي يلغي المحدد الثالث التالي:

تمارين محلولة خطوة بخطوة لمحددات الرتبة 3

نحسب أولاً، باستخدام قاعدة ساروس، قيمة المحدد كدالة لـ

a :

\displaystyle\begin{aligned}\begin{vmatrix} 4 & 6 & -5 \\[1.1ex] -2 & 4 & 2 \\[1.1ex] -1 & 2 & a \end{vmatrix} & = \\ & = 4 \cdot 4 \cdot a + 6 \cdot 2 \cdot (-1) + (-2) \cdot 2 \cdot (-5) \ - \\[1.1ex] & \phantom{=}- (-1) \cdot 4 \cdot (-5) - 2 \cdot 2 \cdot 4 - (-2) \cdot 6 \cdot a \\[2.5ex] & = 16a -12 + 20 - 20 - 16 +12a \\[2.5ex] & = 28a -28 \end{aligned}

لكي يختفي المحدد يجب أن تكون النتيجة 0. لذلك، نجعل النتيجة تساوي 0 ونحل المعادلة:

28a-28=0

28a=28

a=\cfrac{28}{28} = \bm{1}


اترك تعليقاً

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *

Scroll to Top