Angle entre deux plans dans l'espace (formule)

Sur cette page, vous trouverez comment calculer l’angle formé par deux plans dans l’espace (formule). De plus, vous pourrez voir des exemples et pratiquer avec des exercices résolus.

Formule d’angle entre deux plans

L’angle entre deux plans est égal à l’angle formé par les vecteurs normaux desdits plans. Par conséquent, pour trouver l’angle entre deux plans, l’angle formé par leurs vecteurs normaux est calculé, car ils sont équivalents.

Alors, une fois que l’on sait exactement quel est l’angle entre deux plans, regardons la formule pour calculer l’angle entre deux plans dans l’espace (dans R3), qui se déduit de la formule de l’angle entre deux vecteurs :

Étant donné l’équation générale (ou implicite) de deux plans différents :

$\pi_1 : \ A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$

$\pi_2 : \ A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$

Le vecteur normal de chaque plan est :

$\vv{n}_1=(A_1,B_1,C_1)$

$\vv{n}_2=(A_2,B_2,C_2)$

Et l’angle formé par ces deux plans est déterminé en calculant l’angle formé par leurs vecteurs normaux à l’aide de la formule suivante :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Ainsi, pour déterminer l’angle entre deux plans, vous devez maîtriser le calcul du produit scalaire de deux vecteurs . Si vous ne vous souvenez pas comment cela a été fait, vous trouverez dans le lien les étapes à suivre pour résoudre le produit scalaire entre deux vecteurs. De plus, vous pourrez voir des exemples et des exercices résolus étape par étape.

Par contre, lorsque les deux plans sont perpendiculaires ou parallèles, il n’est pas nécessaire d’appliquer la formule, car l’angle entre les 2 plans peut être déterminé directement :

L’angle entre deux plans parallèles est de 0º, puisque leurs vecteurs normaux ont la même direction.
L’angle entre deux plans perpendiculaires est de 90º, car leurs vecteurs normaux sont également perpendiculaires (ou orthogonaux) l’un à l’autre et forment donc un angle droit.

Exemple de calcul de l’angle entre deux plans

Voici un exemple concret pour que vous puissiez voir comment déterminer l’angle entre deux plans différents :

Calculer l’angle entre les deux plans suivants :

$\pi_1 : \ 3x-5y+z+4=0$

$\pi_2 : \ 4x+2y+3z-1=0$

La première chose que nous devons faire est de trouver le vecteur normal de chaque plan. Ainsi, les coordonnées X, Y, Z du vecteur perpendiculaire à un plan coïncident respectivement avec les coefficients A, B et C de son équation générale (ou implicite) :

$\vv{n}_1 = (3,-5,1)$

$\vv{n}_2 = (4,2,3)$

Et une fois que l’on connaît le vecteur normal à chaque plan, on calcule l’angle qu’ils forment avec la formule :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Il faut donc trouver la magnitude de chaque vecteur normal :

$\sqrt{3^2+(-5)^2+1^2}= \sqrt{9+25+1} = \sqrt{35}$

$\sqrt{4^2+2^2+3^2}= \sqrt{16+4+9} = \sqrt{29}$

Maintenant, nous substituons la valeur de chaque inconnue dans la formule :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-5,1) \cdot (4,2,3)\rvert}{\sqrt{35} \cdot \sqrt{29} }$

Nous calculons le cosinus de l’angle en résolvant le produit scalaire des deux vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 4 + (-5)\cdot 2 +1 \cdot 3 \rvert}{\sqrt{35}\cdot \sqrt{29} }=\cfrac{\lvert 12-10+3 \rvert}{\sqrt{1015}}= \cfrac{5}{31,86}=0,16$

Et, enfin, nous déterminons l’angle en faisant l’inverse du cosinus à l’aide de la calculatrice :

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,16)=\bm{80,97º}$

Problèmes résolus de l’angle entre deux plans

Exercice 1

Trouvez l’angle entre les deux plans suivants :

$\pi_1 : \ x+2z-5=0$

$\pi_2 : \ 3x+y-4z+7=0$

voir solution

La première chose que nous devons faire est de trouver le vecteur normal de chaque plan. Ainsi, les coordonnées X, Y, Z du vecteur perpendiculaire à un plan sont respectivement équivalentes aux coefficients A, B et C de son équation générale (ou implicite) :

$\vv{n}_1 = (1,0,2)$

$\vv{n}_2 = (3,1,-4)$

Une fois que nous connaissons le vecteur normal de chaque plan, nous calculons l’angle qu’ils forment avec la formule :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Il faut donc trouver la magnitude de chaque vecteur normal :

$\sqrt{1^2+0^2+2^2}= \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

$\sqrt{3^2+1^2+(-4)^2}= \sqrt{9+1+16} = \sqrt{26}$

On substitue la valeur de chaque inconnue dans la formule :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (1,0,2) \cdot (3,1,-4)\rvert}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{26} }$

On calcule le cosinus de l’angle :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 1\cdot 3 + 0\cdot 1 +2 \cdot (-4) \rvert}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{26} }=\cfrac{\lvert 3-8 \rvert}{\sqrt{130}}= \cfrac{5}{11,4}=0,44$

Et enfin, on trouve l’angle entre les deux plans en inversant le cosinus avec la calculatrice :

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,44)=\bm{63,99º}$

Exercice 2

Quel est l’angle entre les deux plans suivants ?

$\pi_1 : \ 3x-2y+5z=0$

$\pi_2 : \ 6x+3y-z-2=0$

voir solution

La première chose que nous devons faire est de trouver le vecteur normal de chaque plan. Ainsi, les coordonnées X, Y, Z du vecteur perpendiculaire à un plan sont respectivement égales aux paramètres A, B et C de son équation générale (ou implicite) :

$\vv{n}_1 = (3,-2,5)$

$\vv{n}_2 = (6,3,-1)$

Une fois que nous connaissons le vecteur normal de chaque plan, nous calculons l’angle qu’ils forment avec la formule :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

Il faut donc trouver la magnitude de chaque vecteur normal :

$\sqrt{3^2+(-2)^2+5^2}= \sqrt{9+4+25} = \sqrt{38}$

$\sqrt{6^2+3^2+(-1)^2}= \sqrt{36+9+1} = \sqrt{46}$

Nous substituons la valeur de chaque variable dans la formule :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}=\cfrac{\lvert (3,-2,5) \cdot (6,3,-1)\rvert}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{46} }$

On calcule le cosinus de l’angle :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert 3\cdot 6 + (-2)\cdot 3 +5 \cdot (-1) \rvert}{\sqrt{38}\cdot \sqrt{46} }=\cfrac{\lvert 18-6-5 \rvert}{\sqrt{1748}}= \cfrac{7}{41,81}=0,17$

Et, pour finir, on détermine l’angle en inversant le cosinus avec la calculatrice :

$\displaystyle \alpha = \cos^{-1}(0,17)=\bm{80,36º}$

Exercice 3

Calculer la valeur du paramètre

$k$ de sorte que les deux plans suivants soient perpendiculaires :

$\pi_1 : \ x+2y-3z+1=0$

$\pi_2 : \ -2x+5y+kz+4=0$

voir solution

Tout d’abord, pour calculer des angles entre plans il faut toujours trouver le vecteur normal de chaque plan :

$\vv{n}_1 = (1,2,-3)$

$\vv{n}_2 = (-2,5,k)$

Deux plans perpendiculaires font un angle de 90º, donc leurs vecteurs normaux feront également 90º. Nous pouvons donc déterminer la valeur de l’inconnu.

$k$ avec la formule de l’angle entre deux vecteurs :

$\displaystyle \cos(\alpha) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$

$\displaystyle \cos(90º) =\cfrac{\lvert \vv{n}_1 \cdot \vv{n}_2\rvert}{\lvert \vv{n}_1 \rvert \cdot \lvert \vv{n}_2 \rvert}$